Не давая пока полного доказательства, сообщим конечный результат, а именно, опишем полный набор инвариантов действия группы замен. Этими инвариантами будут некоторые числовые метки, которые вычисляются явно через матрицы $C_i$ и обладают тем свойством, что, зная их, можно однозначно восстановить все матрицы склейки с точностью до замены допустимой системы координат.

4.3.1. Метки $r_i$ и ${\epsilon }_i$
Сопоставим матрице $C_i$ следующие две числовые метки.

Определение 4.3. Числовой рациональной меткой $r_i$ на ребре $e_i$ молекулы $W$ называется:
$$r_i=\{\begin{array}{ll}\frac{{\alpha }_i}{{\beta }_i}mod1\in \mathbb{Q}/\mathbb{Z},& \text{ если }{\beta }_{i}eq0,\\ \text{ символ }\mathrm{\infty },& \text{ если }{\beta }_i=0.\end{array}$$

Определение 4.4. Числовой целочисленной меткой ${\epsilon }_i$ на ребре $e_i$ молекулы $W$ называется:
$${\epsilon }_i=\{\begin{array}{lll}\mathrm{sign}{\beta }_i,& \text{ если }& {\beta }_{i}eq0,\\ \mathrm{sign}{\alpha }_i,& \text{ если }& {\beta }_i=0.\end{array}$$

Лемма 4.5. Метки $r_i$ и ${\epsilon }_i$ являются инвариантами действия группы замен допустимых систем координат на множестве всех избыточных оснащений, т. е. матрии $C_i$.
Доказательство.
Легко видеть, что каждая матрица $C_i$ при замене допустимых координат преобразуется по следующему правилу
$$C_i=\left(\begin{array}{cc}{\alpha }_i& {\beta }_i\\ {\gamma }_i& {\delta }_i\end{array}\right)\to C_i^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -k_i^{+}& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\alpha }_i& {\beta }_i\\ {\gamma }_i& {\delta }_i\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ k_i^{-}& 1\end{array}\right),$$

где $k_i^{+}$и $k_i^{-}$- некоторые целые числа. Отсюда видно, что
$$C_i^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}{\alpha }_i+k_i^{-}{\beta }_i& {\beta }_i\\ {\gamma }_i+k_i^{-}{\delta }_i-k_i^{+}{\alpha }_i-k_i^{+}{k}_i^{-}{\beta }_i& {\delta }_i-k_i^{+}{\beta }_i\end{array}\right).$$

Следовательно, при допустимых заменах указанные метки действительно не меняются. Лемма доказана.

4.3.2. Метки $n_k$ и семьи в молекуле

Метка $n$ может определяться несколькими слегка различными способами. Эта ситуация хорошо известна в теории инвариантов. Инвариант можно выбирать неоднозначно и его конкретный выбор диктуется спецификой задачи. Поэтому все определения метки $n$ в принципе эквивалентны, и каждый способ удобен для определенного класса задач. Мы выберем в качестве основного определения ту форму, которая наиболее удобна для построения общей теории. Позже мы дадим еще одно определение метки $n$ и укажем явную формулу, связывающую эти две метки.

Назовем бесконечным ребром молекулы ребро с меткой $r_i$, равной $\mathrm{\infty }$. Остальные ребра будем называть конечными. Разрежем молекулу по всем конечным ребрам. В результате молекула распадется на некоторое число связных кусков.

Определение 4.5. Мы будем называть семьями те из них, которые не содержат атомов $A$.

Например, если все ребра молекулы конечны, то каждый ее седловой атом является по определению семьей.

Рассмотрим отдельную семью. Все ее ребра можно разделить на три класca: входящие, выходящие и внутренние (см. рис. 4.8).
Определение 4.6. Сопоставим каждому из
Рис. 4.8 этих ребер $e_i$ целое число ${\mathrm{\Theta }}_i$ по следующему правилу:
$${\mathrm{\Theta }}_i=\{\begin{array}{ll}\left[\frac{{\alpha }_i}{{\beta }_i}\right],& \text{ если }{e}_i-\text{ выходящее ребро }\\ [-\frac{{\delta }_i}{{\beta }_i}],& \text{ если }{e}_i-\text{ входнщее ребро }\\ [-\frac{{\gamma }_i}{{\alpha }_i}],& \text{ если }{e}_i-\text{ внутреннее ребро. }\end{array}$$

Определим теперь для каждой семьи целое число, полагая
$$n_k=\sum {\mathrm{\Theta }}_i$$

где сумма берется по всем ребрам данной семьи, а $k$ — номер семьи. Отметим, что $n_k$ — всегда целое число, так как для внутреннего ребра всегда имеем: $\left|{\alpha }_i\right|=1$, поскольку здесь ${\beta }_i=0$. Напомним, что на внутренних ребрах метка $r_i$ равна бесконечности.
Лемма 4.6. Число $n_k$ не меняется при заменах допустимых систем координат. Доказательство.

Грубо говоря, дело в том, что числа ${\mathrm{\Theta }}_i$ подобраны таким образом, чтобы каждое из них менялось по простому правилу
$${\mathrm{\Theta }}_i\to {\mathrm{\Theta }}_i^{\prime }={\mathrm{\Theta }}_i+k_i.$$

Но сумма чисел $k_i$ по всем ребрам, выходящим и входящим в некоторый атом, равна нулю (см. выше формулы для замены допустимой системы координат на атоме). Это и приводит к инвариантности числа $n_k$.

Проверим теперь утверждение леммы прямым вычислением. Посмотрим как меняются числа ${\mathrm{\Theta }}_i$ при заменах допустимых систем координат. Используя явный вид формул преобразования матрицы $C_i$, получаем
$${\mathrm{\Theta }}_i^{\prime }=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{\Theta }}_i+k_i^{-},& \text{если }{e}_i-\text{ выходящее ребро }\\ {\mathrm{\Theta }}_i+k_i^{+},& \text{если }{e}_i-\text{ входящее ребро }\\ {\mathrm{\Theta }}_i+k_i^{-}+k_i^{+},& \text{если }{e}_i-\text{ внутреннее ребро. }\end{array}$$

Беря сумму по всем ребрам данной семьи, мы видим, что метка $n$ изменяется на сумму всех чисел $k_s$, где индекс $s$ нумерует все граничные торы всех атомов, входящих в данную семью. Складывая все ${\mathrm{\Theta }}_i^{\prime }$, мы суммируем числа $k_s$, которые можно сгруппировать по каждому атому в семье. Но для каждого атома сумма чисел $k_s$ равна нулю. См. выше лемму 4.3. Таким образом, $\sum _i{\mathrm{\Theta }}_i^{\prime }=\sum _i{\mathrm{\Theta }}_i$, что и требовалось. Лемма доказана.

Метка $n$ допускает интересную топологическую интерпретацию. В некотором смысле она описывает препятствие к распространению сечения с границы семьи внутрь семьи. Дело в том, что семьн имеет естественную структуру расслоения Зейферта. Действительно, определение семьи в точности означает, что мы склеиваем два соседних седловых атома по граничному тору в одну семью тогда и только тогда, когда расслоения Зейферта на этом торе, пришедшие из этих двух атомов, совпадают и, следовательно, допускают продолжение на всю семью.

На каждом граничном торе семьи имеется внешний цикл типа $\mu$, пришедший сюда из наружных, т.е. не входящих в семью атомов. Каждый такой внешний цикл $\mu$ пересекает трансверсально слои расслоения Зейферта на граничном торе, т.е. определяет многозначное сечение расслоения Зейферта на границе семьи. Грубо говоря, при попытке продолжить это многозначное сечение внутрь семьи возникает некоторое препятствие. Оно и определяется целым числом $n$. Мы не будем здесь обсуждать это представление числа $n$ более детально, так как в дальнейшем оно нам не потребуется. Но отметим, что в том частном случае, когда вся молекула $W$ является одной семьей, а ее атомы не имеют звездочек, расслоение Зейферта имеет естественно определенный эйлеров класс, который и задается целым числом $n$.