Рассмотрим топологически устойчивую интегрируемую систему с боттовским интегралом $f$ на изоэнергетической 3 -поверхности $Q$ и возьмем какой нибудь особый слой $L$ соответствующего слоения Лиувилля на $Q$.

Рассмотрим инвариантную окрестность $U(L)$ этого слоя. Как и в двумерном случае (см. главу 2), в качестве $U(L)$ естественно взять связную компоненту множества $f^{-1}(c-\varepsilon, c+\varepsilon)$, содержащую особый слой $L$ (здесь $c=f(L)$ – критическое значение функции $f$ ). Ясно, что $U(L)$ представляет собой трехмерное многообразие с естественной структурой слоения Лиувилля. Этот объект естественно назвать 3 -атомом. Однако, с формальной точки зрения, следует поступить более аккуратно. Будем считать два таких 3-многообразия со структурой слоения Лиувилля лиувиллево эквивалентными, если
1) существует диффеоморфизм между ними, сохраняющий структуру слоения Лиувилля (т.е. послойный),

2) этот диффеоморфизм сохраняет ориентацию 3-многообразий и ориентацию на критических окружностях, которая задается гамильтоновым потоком.

Определение 3.4. Класс лиувиллевой эквивалентности трехмерного многообразия $U(L)$ назовем 3 -атомом. Число критических окружностей в 3 -атоме назовем его атомным весом (или сложностью).

Отметим, что 3 -атом (т.е. любое представляющее его многообразие $U(L)$ ) всегда ориентируем, и эта ориентация считается фиксированной. При изменении ориентации мы можем получить, вообще говоря, другой атом.
Возникает естественная задача классификации 3 -атомов. Оказывается, она может быть решена в терминах 2 -атомов. Напомним для этого их определение. Рассмотрим функцию Морса $f$ на ориентированной поверхности $P^{2}$ с краем, и пусть $c$ – критическое значение функции $f$ на $P^{2}$.
Напомним (см. выше определение 2.4), что мы называем атомом окрестность критического слоя (задаваемую неравенством $c-\varepsilon \leqslant f \leqslant c+\varepsilon$ для достаточно
Рис. 3.18 малого $\varepsilon$ ), расслоенную на линии уровня функции $f$ и рассматриваемую с точностью до послойной эквивалентности, сохраняющей ориентацию поверхности.
Подчеркнем, что начиная с этого момента на протяжении всей книги мы будем рассматривать только ориентированные атомы, т.е. такие, у которых поверхность $P^{2}$ ориентируема и ориентация на ней фиксирована.

Напомним далее, что понятие атома можно сформулировать и по-другому, взяв вместо функции $f$ ее особый уровень $K=\{f=c\}$.

Другими словами, 2-атомом называется пара $\left(P^{2}, K\right)$, где $P^{2}$ – ориентированная связная компактная двумерная поверхность с краем, а $K$ – связный граф в ней такой, что выполняются следующие условия.
1) Либо $K$ состоит только из одной точки (т.е. изолированной вершины степени ноль), либо все вершины графа $K$ имеют степень 4.
2) Каждая связная компонента множества $P^{2} \backslash K$ гомеоморфна кольцу $S^{1} \times$ $\times(0,1]$, и множество этих колец можно разбить на два класса – положительные кольца и отрицательные кольца – так, чтобы к каждому ребру графа $K$ примыкало ровно одно положительное кольцо и ровно одно отрицательное.
Мы рассматриваем атомы с точностью до естественной эквивалентности: два 2 -атома $\left(P^{2}, K\right)$ и $\left(P^{2}, K^{\prime}\right)$ эквивалентны, если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм, переводящий $P^{\prime 2}$ в $P^{2}$, и $K^{\prime}$ в $K$.

Расширим теперь запас атомов, добавив новые объекты – атомы со звездочками.

Возьмем произвольный атом $\left(P^{2}, K\right)$ и рассмотрим его граф $K=\{f=c\}$. При этом наряду с прежними атомами рассмотрим еще один простой атом, получающийся следующим образом. В качестве поверхности $P$ мы возьмем кольцо и

объявим графом $K$ любую его осевую окружность (рис. 3.18). Этот атом можно рассматривать как окрестность неособого (регулярного) уровня функции $f$.
Рис. 3.19
Изготовим теперь новые атомы со звездочками. Отметим на некоторых ребрах графа $K$ произвольное число внутренних точек (т.е. не совпадающих с критическими точками функции). Объявим их новыми вершинами графа $K$ и обозначим их звездочками. См. примеры на рис. 3.19.
Определение 3.5. Атом $\left(P^{2}, K\right)$, у которого есть хотя бы одна вершиназвездочка, будем называть атомом со звездочками. Если таких вершин нет, то будем говорить об атоме без звездочек.
Определение 3.6. Будем называть 2-атомом ориентированный атом ( $\left.P^{2}, K\right)$ со звездочками или без.

Рассмотрим теперь 3 -атом $U(L)$ со структурой расслоения Зейферта на нем. Обозначим через
\[
\pi: U(L) \rightarrow P^{2}
\]

его проекцию на двумерную базу $P^{2}$ с графом $K$, где в качестве $K$ возьмем образ $\pi(L)$ особого слоя $L$ при проекции $\pi$. Далее, отметим на базе $P^{2}$ звездочками те точки, в которые проектируются особые слои расслоения Зейферта (т.е. слои типа $(2,1)$ ). Напомним, что на базе $P^{2}$ каноническим образом вводится ориентация. Дело в том, что на $U(L)$ ориентация уже фиксирована, а на слоях расслоения Зейферта она определяется гамильтоновым потоком $v=\operatorname{sgrad} H$. (см. следствие к предложению 3.8). Ясно, что в результате мы получили некоторый 2-атом $\left(P^{2}, K\right)$.
Теорема 3.4.
а) База расслоения Зейферта на 3-атоме $U(L)$ имеет естественную структуру 2-атома, описанную выше.
б) Проекция $\pi:(U(L), L) \rightarrow\left(P^{2}, K\right)$ устанавливает взаимно-однозначное соответствие между 3-атомами и 2-атомами.

Доказательство.
В доказательстве нуждается лишь пункт (б). Сейчас мы построим обратное отображение, которое будет сопоставлять каждому 2-атому некоторый 3 -атом. Возьмем 2-базу $P^{2}$ с графом $K$ и построим функцию Морса $f$ на $P^{2}$ такую, что ее единственный критический уровень совпадает с $K$. Такая функция определена однозначно с точностью до послойной эквивалентности. Она естественным образом расслаивает $P^{2}$ своими линиями уровня. Из теоремы 3.1 (см. выше) вытекает, что по базе $P^{2}$ с отмеченными на ней звездочками (если они

есть) однозначно (с точностью до послойной эквивалентности) восстанавливается 3 -многообразие $U(L)$ со структурой расслоения Зейферта. Чтобы получить теперь 3 -атом, нужно задать на $U(L)$ структуру слоения Лиувилля. Воспользуемся функцией $f$, уже имеющейся на базе $P^{2}$. Поднимем ее наверх, т. е. на $U(L)$ при помощи проекции $\pi$. Получим функцию $\widetilde{f}$ на $U(L)$, регулярные поверхности уровня которой являются 2-торами. Ясно, что функция $\widetilde{f}$ является функцией Ботта на $U(L)$. Ее критические окружности – это в точности прообразы всех вершин графа К, включая вершины-звездочки. Этот процесс построения 3-атома по 2-атому однозначен (с точностью до послойной эквивалентности). Ясно, что замена функции $f$ на базе $P^{2}$ на послойно эквивалентную ей функцию приводит к лиувиллеву слоению на $U(L)$, тоже послойно эквивалентному только что построенному.
Построив слоение $U(L)$ на 2-торы, мы должны теперь представить его как лиувиллево слоение некоторой интегрируемой боттовской гамильтоновой системы на подходящем 4-многообразии. Нужно ввести симплектическую структуру в 4-окрестности $V(L)=U(L) \times I$, где $I$ – некоторый интервал, для которой слоение на $U(L)$ было бы лагранжевым. Это действительно можно сделать, как мы покажем ниже при доказательстве более общей теоремы реализации.
Итак, мы построили соответствие $\left(P^{2}, K\right) \rightarrow(U(L), L)$
Рис. 3.20 между 2-атомами и 3 -атомами, которое, как несложно видеть, является обратным к соответствию, устанавливаемому проекцией $\pi$. Теорема 3.4 доказана.
Рис. 3.21
Подведем итоги, выделив три различных типа атомов.
1. 3-атом $A$. Этот 3 -атом отвечает невырожденной критической окружности, на которой функция $f$ имеет локальный минимум или локальный максимум. С точки зрения динамической системы $v=\operatorname{sgrad} H$ речь идет об окрестности устойчивой периодической траектории. Топологически 3 -атом $A$ представляет собой полноторие, расслоенное на концентрические торы, сжимающиеся на ось полнотория. Другими словами, 3 -атом $A$ является прямым произведением окружности и диска, расслоенного на концентрические окружности (см. рис. 3.20).
2. Седловые 3-атомы без звездочек. Рассмотрим произвольный 2-атом (без звездочек), т.е. двумерную ориентированную компактную поверхность $P$ с краем, на которой задана функция Mopca $f: P \rightarrow \mathbb{R}$, имеющая единственное критическое значение. Соответствующий 3 -атом является прямым произведением $U=P \times S^{1}$. Слоение Лиувилля на нем задает функция $f$, продолженная на $Q$ естественным образом
\[
f(x, \varphi)=f(x), \quad x \in P, \quad \varphi \in S^{1} .
\]

На рис. 3.21 показан пример простого 3 -атома $B$. Топологически этот атом представляет собой полноторие, из которого вырезаны два тонких полнотория. Особый слой $L$ является произведением восьмерки на окружность. При прохождении через особый уровень интеграла два тора Лиувилля перестраиваются в один тор (или наоборот).
3. Седловые 3-атомы со звездочками. Как и в предыдущем случае, мы рассмотрим сначала 2 -поверхность $\hat{P}$ с функцией Морса $\hat{f}$ на ней. Предположим, что на поверхности задана инволюция, т.е. гладкое отображение $\tau: \widehat{P} \rightarrow \widehat{P}$, обладающее следующими свойствами:
1) $\tau^{2}=\mathrm{id}$,
2) $\tau$ сохраняет функцию $\widehat{f}$, т. е. $\widehat{f}(\tau(x))=\widehat{f}(x)$ для любого $x \in \widehat{P}$,
3) $\tau$ сохраняет ориентацию,
4) неподвижными точками инволюции $\tau$ являются некоторые из критических точек функции $\widehat{f}$.

Для построения 3 -атома рассмотрим цилиндр $P \times[0,2 \pi]$ и склеим его основания по инволюции $\tau$, отождествляя точки $(x, 2 \pi)$ и $(\tau(x), 0)$. В результате мы получим ориентируемое 3 -многообразие $U$ с краем. Функция $\widehat{f}$ естественным образом продолжается на $U$, поскольку $\widehat{f}(\tau(x))=\widehat{f}(x)$, и ее поверхности уровня задают структуру слоения Лиувилля на $U$ с единственным особым слоем. Отметим, что топологически многообразие $U$ является расслоением над окружностью со слоем $\widehat{P}$.

На рис. 3.22 приведен пример простого 3 -атома $A^{*}$. Он устроен несколько сложнее атома $B$. Нужно удалить из полнотория лишь одно тонкое полноторие, но обходящее два раза вдоль оси (рис. 3.22). Особый слой $L$ получается протаскиванием вдоль окружности вращающейся восьмерки, успевающей повернуться на угол $\pi$ за один оборот. При прохождении через особый уровень один тор Лиувилля перестраивается в один тор. Отметим, что особый слой $L$ можно реализовать в $\mathbb{R}^{3}$ как погружение двумерной бутылки Клейна (рис. 3.24).

В случае 3-атома со звездочками соответствующий 2 -атом $(P, K)$ (где $K=\{f=c\}$ ) получается из пары ( $\widehat{P}, \widehat{K})$ факторизацией по инволюции $\tau$. Здесь $\widehat{K}=\{\widehat{f}=c\}$.
Определение 3.7. Пару ( $\widehat{P}, \widehat{K}$ ) назовем дублем 2-атома $(P, K)$ со звездочками.
Ясно, что дубль ( $\widehat{P}, \widehat{K}$ ) является разветвленным дву-
Рис. 3.22
листным накрытием над 2 -атомом $(P, K)$, причем точками ветвления являются как раз вершины-звездочки атома $(P, K)$.
Замечание. Следует иметь в виду, что у одного и того же 2-атома может быть несколько разных дублей, не гомеоморфных друг другу. Поэтому разные дубли ( $\left.\widehat{P}_{1}, \widehat{K}_{1}\right)$ и ( $\widehat{P}_{2}, \widehat{K}_{2}$ ) могут порождать один и тот же 3 -атом со звездочками. Приведем один из простейших примеров. Рассмотрим 2-атомы $C_{1}$ и $C_{2}$, изображенные на рис. 3.23 (см. также таблицу атомов). На каждом из них определена естественная инволюция,

являющаяся симметрией относительно оси, проходящей через вершины атомов. Применяя к каждому из этих атомов с инволюцией описанную выше конструкцию, мы получаем изоморфные между собой 3 -атомы, имеющие тип $A^{* *}$ (см. таблицу атомов ниже).