Пусть $x$ – особая точка типа центр-центр в 4-многообразии $M, L$ – проходящий через нее особый слой, и $U(L)$ – его 4-мерная окрестность в $M$.
Теорема 9.1. Существует ровно одна, с точностью до лиувиллевой эквивалентности, особенность типа центр-центр. Ее структура такова.
a) Особый слой $L$ совпадает с самой точкой $x$.
б) Окрестность $U(L)$ является 4-мерным шаром.
в) $l$-тип этой особенности имеет вид $(A, A)$.
2) Круговая молекула особенности имеет вид $A-A$, причем метка $r=0$. С.м. рис. 9.6.
д) Канонический вид этой особенности задается парой коммутирующих функций $H=\alpha\left(p_{1}^{2}+q_{1}^{2}\right)+\beta\left(p_{2}^{2}+q_{2}^{2}\right)$, и $f=p_{2}^{2}+q_{2}^{2}$, где постоянные $\alpha$ и $\beta$ отличны от нуля.
Рис. 9.6
Комментарий. Этот случай является самым простым, и здесь можно доказать более сильное утверждение. А именно, что все особенности типа центр-центр симплектоморфны. Причем, это верно для произвольной размерности. Этот факт можно найти, например, в работе Элиассона [281]. Более того, в данном случае в окрестности точки центр-центр действие группы $\mathbb{R}^{2}$ «факторизуется» до гамильтонова действия тора $T^{2}$. Этот случай, – когда тор гамильтоново действует на симплектическом многообразии, – полностью исследован и изложен, например, в книге M. Audin [236].
Доказательство.
Доказательство сразу следует из локальной теоремы классификации невырожденных особых точек. См. теорему 1.5 главы 1. Согласно этой теореме, существует симплектическая система координат $p_{1}, q_{1}, p_{2}, q_{2}$ такая, что $H=$ $=H\left(p_{1}^{2}+q_{1}^{2}, p_{2}^{2}+q_{2}^{2}\right)$ и $f=\left(p_{1}^{2}+q_{1}^{2}, p_{2}^{2}+q_{2}^{2}\right)$. Причем замена
\[
(H, f) \rightarrow(\tilde{H}, \tilde{f})=\left(p_{1}^{2}+q_{1}^{2}, p_{2}^{2}+q_{2}^{2}\right)
\]
является гладкой и регулярной.
Отсюда следует, что особый слой $L=\{H=0, f=0\}$ совпадает с невырожденной особой точкой $x=(0,0,0,0)$, а его окрестность $U(L)$ является четырехмерным шаром, причем мы можем без ограничения общности считать, что координаты $p_{1}, q_{1}, p_{2}, q_{2}$ действуют на всей этой окрестности. Отсюда следует, что любые две особенности типа центр-центр лиувиллево эквивалентны. Поскольку любая особенность типа центр-центр изоморфна особенности, у которой слоение Лиувилля задается каноническими функциями ( $\widetilde{H}, \widetilde{f}$ ).
Ограничивая функцию $H$ на поверхности $P_{1}=\left\{p_{2}=0, q_{2}=0\right\}, P_{2}=\left\{p_{1}=0, q_{1}=0\right\}$, получаем очевидно функции, зависящие только от $p_{1}^{2}+q_{1}^{2}$ и $p_{2}^{2}+q_{2}^{2}$ соответственно. Таким функциям отвечают особенности, описываемые атомом $A$. Поэтому $l$-тип особенности центр-центр имеет вид $(A, A)$.
Поскольку замена $(H, f) \rightarrow\left(p_{1}^{2}+q_{1}^{2}, p_{2}^{2}+q_{2}^{2}\right)$
Рис. 9.7
регулярна, то вместо функций $H$ и $f$ при изучении структуры особенности мы можем рассмотреть функции $\widetilde{H}=p_{1}^{2}+q_{1}^{2}$ и $\widetilde{f}=p_{2}^{2}+q_{2}^{2}$. Напомним, что круговая молекула описывает структуру лиувиллева слоения на трехмерном многообразии $\mathcal{F}^{-1}\left(\gamma_{\varepsilon}\right)$, где $\gamma_{\varepsilon}$ – окружность радиуса $\varepsilon$ с центром в точке $\mathcal{F}(x)$. В данном случае вместо окружности удобнее взять отрезок $\tau_{\varepsilon}$, задаваемый на плоскости уравнением $\widetilde{H}+\tilde{f}=\varepsilon$ (рис. 9.7). Отметим, что дуга окружности $\gamma_{\varepsilon}$, попавшая в образ отображения момента, может быть гладко продеформирована в отрезок $\tau_{\varepsilon}$ в классе допустимых кривых. См. определение допустимости выше. Поэтому структура слоения Лиувилля на прообразе дуги окружности и на прообразе отрезка $\tau_{\varepsilon}$ – одна и та же. Таким образом, нужно описать структуру слоения на 3 -сфере $p_{1}^{2}+q_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{2}^{2}=\varepsilon$, задаваемого на этой сфере функцией $\widetilde{f}=p_{2}^{2}+q_{2}^{2}$. Слоение, порождаемое ею на 3 -сфере, хорошо известно и задается молекулой $A-A$ с меткой $r=0$ (см. предложение 4.3 главы 4). Теорема доказана.
Замечание. Стоит отметить, что особенность типа центр-центр имеет вид прямого произведения атома $A$ на атом $A$. См. рис. 9.8. Как мы увидим далее, аналог этого обстоятельства справедлив для любых невырожденных особенностей. В более сложных случаях, вроде седло-седло, особенность будет иметь вид «почти прямого» произведения, то есть фактора прямого произведения двух атомов по свободному действию
Рис. 9.8 некоторой конечной группы.
Замечание. В конкретных примерах механических систем особенности вида центрцентр в точности отвечают устойчивым невырожденным положениям равновесия. Они встречаютсн практически во всех интегрируемых системах.
