Итак, в предыдущих параграфах мы обсудили вопрос о траекторном строении интегрируемой гамильтоновой системы на естественных кусках, из которых состоит изоэнергетическое многообразие $Q^{3}$, а именно, на ребрах и атомах молекулы. Теперь после того, как мы убедились в принципиальной возможности описания этой структуры на отдельных кусках поверхности $Q^{3}$, мы можем представить себе в общих чертах, как нарисовать траекторный портрет интегрируемой гамильтоновой системы в целом, и как он будет в результате выглядеть. Процесс построения траекторного портрета системы можно разбить на несколько естественных этапов.

Шаг 1. «Молекула». Сначала мы должны решить более грубую задачу и описать структуру слоения изоэнергетической поверхности $Q^{3}$ на торы Лиувилля, т.е. структуру слоения Лиувилля. Согласно предыдущей главе, эта структура полностью описывается так называемой меченой молекулой $W^{*}$ рассматриваемой системы. В результате мы, в частности, получим разбиение поверхности $Q^{3}$ на естественные составные части: ребра и «узкие» атомы. Напомним, что ребра – это просто однопараметрические семейства торов Лиувилля без особенностей, на которые распадается изоэнергетическая поверхность после удаления всех особых слоев лиувиллева слоения. Атомы же, в свою очередь, являются регулярными окрестностями этих особых слоев. Окрестности выбраны достаточно «узкими», чтобы существовало трансверсальное сечение.

Шаг 2. «Реберные инварианты». После того, как структура слоения на торы полностью описана, мы должны перейти к описанию траекторий на торах и особых слоях. Более точно – на ребрах и атомах. Поэтому следующий шаг – это описание траекторного строения системы на каждом ребре молекулы. Для этого, как было показано выше, нам необходимо вычислить функцию вращения на ребре молекулы и рассмотреть ее класс сопряженности относительно гладких или непрерывных замен параметра, в зависимости от того, какая классификация нас интересует – гладкая или топологическая. Если функция вращения устроена достаточно хорошо (см. выше), то ее класс сопряженности может быть полностью описан с помощью введенного выше вектора вращения. Заметим, однако, что в этом шаге присутствует некоторая неоднозначность в выборе базиса на торах Лиувилля, поэтому нас ждет некоторая необходимая процедура устранения этой неоднозначности. Процедура нужна, чтобы при сравнении двух различных систем мы хорошо представляли, какие именно функции вращения нам следует сравнивать и проверять на сопряженность. Тем не менее мы можем считать, что «реберные инварианты» в принципе уже описаны.

Шаг 3. «Атомные инварианты». Согласно теореме о редукции, вместо системы на 3 -атоме $U(L)$ нам достаточно рассмотреть некоторое трансверсальное сечение $P_{t r}$ в $U(L)$ и описать инварианты соответствующей редуцированной системы с одной степенью свободы на ней, т.е. потока Пуанкаре. Однако, за

понижение числа степеней свободы мы вынуждены заплатить переходом от траекторной классификации к классификации с точностью до сопряжений. Итак, траекторные «атомные инварианты» совпадают с инвариантами редуцированной гамильтоновой системы с одной степенью свободы, рассматриваемой с точностью до сопряженности. Отметим, что пока нам не известен даже характер этих инвариантов. Их описанию будет посвящена следующая глава.

Шаг 4. «Оснащенная молекула». На предыдущих шагах мы полностью описали для каждого ребра и для каждого атома по отдельности соответствующие траекторные инварианты. Достаточно ли этой информации для того, чтобы полностью описать траекторное строение системы на изоэнергетической поверхности в целом? И да, и нет. Да, потому что никаких других существенно новых инвариантов, кроме уже вычисленных, не существует. И нет, потому что уже вычисленные инварианты не вполне корректно определены. Например, функция вращения на ребре существенно зависит от выбора базисных циклов на торах Лиувилля. Аналогичная неоднозначность, оказывается, имеет место и для «атомных инвариантов». Дело в том, что редуцированная система, т. е. поток Пуанкаре, существенным образом зависит от выбора трансверсального сечения, а точнее – от ее гомотопического класса. Поэтому нам следует пока считать трансверсальные сечения фиксированными. Это, кстати, дает возможность однозначно фиксировать систему базисных циклов на ребре, примыкающем к атому, и тем самым вычислить функции и векторы вращения в специальных базисах, связанных с фиксированными трансверсальными сечениями. Кроме того, фиксация трансверсальных сечений приводит к возникновению на каждом ребре молекулы так называемой матрицы склейки, которая фактически показывает «взаимное расположение» соседних сечений относительно друг друга.

На наш взгляд, в этом подходе имеется естественная аналогия со многими стандартными конструкциями в математике. Например, если мы хотим определить некоторый объект на гладком многообразии, к примеру, векторное поле, мы можем выбрать некоторый атлас карт и записать это векторное поле в соответствующих локальных координатах. Для полноты картины мы должны также указать функции перехода между картами. Тем самым пара – многообразие и векторное поле – будет полностью определена. Эта процедура, однако, неоднозначна, поскольку зависит от выбора атласа карт. Наша ситуация вполне аналогична. «Атлас карт» – это система трансверсальных сечений. «Функции перехода» – это матрицы склейки. Мы занимаемся тем, что изучаем некоторый объект, однозначно записывая его в фиксированном «атласе карт».

Итак, на этом шаге мы считаем систему трансверсальных сечений фиксированной, что позволяет все инварианты (и атомные, и реберные) вычислить совершенно однозначно. Мы собираем всех их воедино и вместе с матрицами склейки добавляем в качестве так называемого «оснащения» к молекуле $W$. В результате мы получаем молекулу, снабженную дополнительной информацией о траекториях системы.

Шаг 5. «Группа замен» и ее действие. Если бы на предыдущих шагах мы пользовались другой системой трансверсальных сечений, то мы, разумеется, получили бы другое оснащение молекулы. Возникает естественный вопрос: как связаны между собой два оснащения, соответствующие одной и той же системе, но вычисленные для двух различных систем трансверсальных сечений? Оказывается, эту связь можно записать явно и в результате мы получим действие дискретной «группы замен трансверсальных сечений» на множестве различных оснащений рассматриваемой молекулы.

Здесь опнть, как нам кажется, уместна та же аналогия, что и выше: для того, чтобы исследовать некоторый объект, например, векторное поле на гладком многообразии, полезно знать, как меняется его координатное представление при замене атласа.

Шаг 6. «Инварианты группы замен, $t$-молекула и $s t$-молекула». Этот шаг последний. Нас интересуют траекторные инварианты системы сами по себе, т.е. никак не связанные с выбором системы трансверсальных сечений. Поэтому на самом деле вместо «оснащенных молекул», которые определены неоднозначно, мы должны рассмотреть соответствующие им инварианты действия «группы замен трансверсальных сечений». Снабжая полным набором таких инвариантов молекулу $W$, мы получаем окончательный траекторный портрет системы, содержащий всю необходимую информацию. Этот портрет был назван нами $t$-молекулой в топологическом случае и $s t$-молекулой в гладком. Следует отметить, что в общем случае явное описание полного набора инвариантов, т. е. набора различающего две произвольные орбиты, может быть весьма нетривиальной задачей. Она может решаться различными способами, а иногда даже не иметь разумного окончательного решения. Например, если пространство орбит нехаусдорфово. Поэтому с формальной точки зрения мы можем определить $t$-молекулу (st-молекулу) просто как элемент соответствующего пространства орбит. C другой стороны, для молекул не очень сложной структуры, которые как раз и встречаются в реальных задачах, возможно получение компактного окончательного ответа в виде молекулы, снабженной конечным набором числовых параметров. Соответствующие примеры будут указаны ниже.

Итак, мы вкратце описали общую схему построения полного набора траекторных инвариантов системы. Эта программа будет реализована в следующих главах.