Здесь мы дадим определение невырожденной особой точки ранга $i$ отображения момента $\mathcal{F}$ в многомерном случае.
Пусть $f_{1}, \ldots, f_{n}$ – гладкие функции в инволюции на $M^{2 n}$ и
\[
\mathcal{F}: M^{2 n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}, \quad \mathcal{F}(x)=\left(f_{1}(x), \ldots, f_{n}(x)\right)
\]
– соответствующее отображение момента. Пусть $K=K_{0}+K_{1}+\ldots+K_{n-1}$ множество его критических точек. Здесь $K_{i}$ – множество точек $x \in K$, в которых ранг $d \mathcal{F}(x)$ равен $i$ (мы будем называть их точками ранга $i$ ).

Для любой точки $x \in K_{i}$ всегда можно подобрать такую невырожденную линейную замену функций $f_{1}, \ldots, f_{n}$, что новые функции, которые мы обозначим через $g_{1}, \ldots, g_{n}$, будут обладать следующими свойствами:

1) первые $n-i$ функций $g_{1}, \ldots, g_{n-i}$ в точке $x$ имеют особенность, т.е. $d g_{1}(x)=\ldots=d g_{n-i}(x)=0$,

2) градиенты остальных функций $g_{n-i+1}, \ldots, g_{n}$ линейно независимы в точке $x$.
Поскольку $d g_{1}(x)=\ldots=d g_{n-i}(x)=0$, то соответствующие гамильтоновы векторные поля $\operatorname{sgrad} g_{1}, \ldots, \operatorname{sgrad} g_{n-i}$ обращаются в ноль в точке $x$. Потому их линейные части $A_{1}, \ldots, A_{n-i}$ можно рассмотреть как линейные операторы из алгебры Ли симплектической группы $S p(2 n, \mathbb{R})$, действующие в касательном пространстве $T_{x} M$ к $M$. Операторы $A_{1}, \ldots, A_{n-i}$ попарно коммутируют, т.к. коммутируют соответствующие им поля $\operatorname{sgrad} g_{1}, \ldots, \operatorname{sgrad} g_{n-i}$.

Рассмотрим теперь $i$-мерное линейное подпространство $L$ в $T_{x} M$, порожденное векторами $\operatorname{sgrad} g_{n-i+1}, \ldots, \operatorname{sgrad} g_{n}$. Отметим, что $L-$ это касательное пространство к орбите пуассонова действия, проходящей через точку $x$.

Пусть $L^{\prime}$ – косоортогональное дополнение (в смысле симплектической формы $\Omega$ ) к подпространству $L$ в $T_{x} M$. Оно содержит $L$, поскольку подпространство $L$ изотропно (т. к. функции $g_{n-i+1}, \ldots, g_{n}$ находятся в инволюции).

Лемма 1.8. Подпространство $L$ лежит в ядре всех операторов $A_{1}, \ldots, A_{n-i}$. Образы операторов $A_{1}, \ldots, A_{n-i}$ содержатся в $L^{\prime}$.

Доказательство.
Напомним, что если $A_{v}$ – линеаризация векторного поля $v$ в его особой точке $x$, а $\xi$ – произвольное векторное поле, то имеет место формула:
\[
A_{v}(\xi)=[\xi, v] \text {. }
\]

В нашем случае имеем: $A_{j}\left(\operatorname{sgrad} g_{k}\right)=\left[\operatorname{sgrad} g_{k}, \operatorname{sgrad} g_{j}\right]=0$, так как все функции $g_{s}$ находятся попарно в инволюции (т.е. соответствующие им поля $\operatorname{sgrad} g_{s}$ коммутируют).
Следовательно, $L$ лежит в ядре всех $A_{1}, \ldots, A_{n-i}$.
Докажем второе утверждение леммы. Из свойств симплектической формы $\Omega$ и оператора $A \in s p(2 n, \mathbb{R})$ следует, что для любых двух векторов $\xi, \eta$ выполнено тождество (предложение 1.3):
\[
\Omega(A \xi, \eta)=-\Omega(\xi, A \eta) .
\]

Следовательно, $\operatorname{Im} A$ содержится в косоортогональном дополнении к $\operatorname{ker} A$. Лемма доказана.

Отсюда следует, что можно определить естественное действие операторов $A_{1}, \ldots, A_{n-i}$ на фактор-пространстве $L^{\prime} / L$. Мы обозначим их теми же буквами.

Лемма 1.9. На пространстве $L^{\prime} / L$ имеется естественная симплектическая структура $\widetilde{\Omega}$, а действующие в $L^{\prime} / L$ операторы $A_{1}, \ldots, A_{n-i}$ являются элементами алгебры Ли симплектической группы $\operatorname{Sp}(2(n-i), \mathbb{R})$.

Доказательство.
Ясно, что $L$ – это ядро ограничения формы $\Omega$ на $L^{\prime}$. Поэтому на факторпространстве $L^{\prime} / L$ корректно определена невырожденная кососимметрическая форма $\widetilde{\Omega}$
\[
\widetilde{\Omega}(\xi L, \eta L)=\Omega(\xi, \eta) .
\]

Для каждого оператора $A_{s}$ нам нужно проверить выполнение следующего тождества
\[
\widetilde{\Omega}\left(A_{s}(\xi L), \eta L\right)=-\widetilde{\Omega}\left(\xi L, A_{s}(\eta L)\right),
\]

которое согласно предложению 1.3 эквивалентно условию $A_{s} \in \operatorname{sp}(2(n-i), \mathbb{R})$.
Имеем
\[
\begin{array}{l}
\widetilde{\Omega}\left(A_{s}(\xi L), \eta L\right)=\widetilde{\Omega}\left(A_{s}(\xi) L, \eta L\right)=\Omega\left(A_{s}(\xi), \eta\right)= \\
-\Omega\left(\xi, A_{s}(\eta)\right)=-\widetilde{\Omega}\left(\xi L, A_{s}(\eta) L\right)=-\widetilde{\Omega}\left(\xi L, A_{s}(\eta L)\right) .
\end{array}
\]

Лемма доказана.
Теперь мы можем рассмотреть в вещественной симплектической алгебре Ли $\operatorname{sp}(2(n-i), \mathbb{R})$ коммутативную подалгебру $K(x, \mathcal{F})$, порожденную операторами $A_{1}, \ldots, A_{n-i}$.

Определение 1.24. Критическая точка $x \in K_{i}$ отображения момента $\mathcal{F}$ называется невырожденной, если $K(x, \mathcal{F})$ – подалгебра Картана в $\operatorname{sp}(2(n-i), \mathbb{R})$.

Отметим, что подалгебра $K(x, \mathcal{F})$ зависит только от точки $x$ и от отображения момента $\mathcal{F}$. В частности, она не зависит от сделанной выше линейной замены функций $f_{1}, \ldots, f_{n}$ на функции $g_{1}, \ldots, g_{n}$. На самом деле подалгебра $K(x, \mathcal{F})$ полностью определяется пуассоновым действием группы $\mathbb{R}^{n}$ в окрестности точки $x$.

Отметим, что описанная выше процедура фактически эквивалентна локальной редукции по гамильтонову действию группы $\mathbb{R}^{i}$, порожденной независимыми в точке $x$ функциями $g_{n-i+1}, \ldots, g_{n}$ : сначала мы делаем такую редукцию, чтобы точка $x$ стала неподвижной, а затем для неподвижной точки ранга ноль повторяем определение, данное выше для двух степеней свободы.

Как проверить, является ли коммутативная подалгебра $K(x, \mathcal{F})$ подалгеброй Картана в $\operatorname{sp}(2(n-i), \mathbb{R})$ ? Критерий довольно прост. Она должна иметь размерность $n-i$ и содержать элемент с различными собственными значениями. Это позволяет переформулировать определение невырожденной точки следующим образом.

Определение 1.25. Критическая точка $x$ ранга $i$ невырождена тогда и только тогда, когда гессианы $d^{2} g_{1}(x), \ldots, d^{2} g_{n-i}(x)$ линейно независимы на $L^{\prime}$ и для ограничения на подпространство $L^{\prime}$ некоторой их линейной комбинации $\lambda_{1} d^{2} g_{1}(x)+\ldots+\lambda_{n-i} d^{2} g_{n-i}(x)$ многочлен
\[
P(\mu)=\left.\operatorname{det}\left(\lambda_{1} d^{2} g_{1}(x)+\ldots+\lambda_{n-i} d^{2} g_{n-i}(x)-\mu \Omega\right)\right|_{L^{\prime}}
\]

имеет $2(n-i)$ различных ненулевых корней.
Это определение можно еще переформулировать так.
Рассмотрим пространство, линейно порожденное функциями $f_{1}, \ldots, f_{n}$, как коммутативную алгебру Ли. И рассмотрим в ней стационарную подалгебру точки $x$, т.е. подалгебру $K_{x}$, состонщую из функций $f$ таких, что $d f(x)=0$. Пусть $L$ – касательное подпространство к орбите точке $x$, т.е. подпространство, порожденное векторами $\operatorname{sgrad} f_{1}, \ldots, \operatorname{sgrad} f_{n}$, а $L^{\prime}$ – его косоортогональное дополнение.

Определение 1.26. Критическая точка $x$ ранга $i$ называется невырожденной, если выполнены два условия:

1) для любой функции $f \in K_{x}$, отличной от нуля, квадратичная форма $d^{2} f(x)$ не равна тождественно нулю на подпространстве $L^{\prime}$;

2) существует функция $f$ из $K_{x}$ такая, что многочлен
\[
P(\mu)=\left.\operatorname{det}\left(d^{2} f(x)-\mu \Omega\right)\right|_{L^{\prime}}
\]

имеет $2(n-i)$ различных ненулевых корней.
Поясним связь последнего определения с двумя предыдущими. Легко видеть, что подалгебра $K(x, \mathcal{F})$ является образом стационарной подалгебры $K_{x}$ точки $x$ при естественном отображении $f \rightarrow d^{2} f(x)$. Первое условие в определении 1.25

означает, что это отображение является изоморфизмом и, следовательно, эквивалентно тому, что $\operatorname{dim} K(x, \mathcal{F})=n-i$. Второе условие означает, что подалгебра $K(x, \mathcal{F})$ содержит регулярный элемент (т. е. оператор с различными собственными значениями). Отметим также, что пространство $L^{\prime}$, на которое мы ограничиваем все гессианы, имеет размерность $2 n-i$, поэтому многочлен $P(\mu)$ из двух последних определений имеет $2 n-i$ корней. Однако, $i$ из этих корней всегда равны нулю, поскольку $i$-мерное подпространство $L \subset L^{\prime}$ лежит в ядре всех гессианов. Требование заключается в том, чтобы все остальные корни были различны.

Обозначим через $K_{i}^{*}$ множество невырожденных критических точек ранга $i$ отображения момента. Можно доказать, что оно всегда является гладким симплектическим подмногообразием в $M^{2 n}$ размерности $2 i$. Кроме того, оно гладко расслоено на $i$-мерные орбиты пуассонова действия группы $\mathbb{R}^{n}$.

Стоит особо выделить класс интегрируемых систем, у которых все критические точки (всех рангов) отображения момента невырождены. Такие системы действительно существуют, и ниже мы приведем примеры.