Теорема 1.1 (Теорема Дарбу). У каждой точки на симплектическом многообразии $\left(M^{2 n}, \omega\right)$ существует открытая окрестность с регулярными локальными координатами $p_{1}, \ldots, p_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}$, в которых симплектическая форма $\omega$ принимает канонический вид $\omega=\sum_{i=1}^{n} d p_{i} \wedge d q_{i}$.

Замечание. Условие записи формы в каноническом виде $\omega=\sum d p_{i} \wedge d q_{i}$ можно эквивалентным образом переписать на языке скобок Пуассона:
\[
\left\{p_{i}, p_{j}\right\}=0, \quad\left\{p_{i}, q_{j}\right\}=\delta_{i j}, \quad\left\{q_{i}, q_{j}\right\}=0 \quad \text { для всех } 1 \leqslant i, j \leqslant n .
\]

Доказательство.
Сначала докажем следующую лемму.

Лемма 1.1. Пусть на симплектическом многообразии $M^{2 n}$ в окрестности некоторой точки заданы $n$ независимых попарно коммутирующих функций $p_{1}, \ldots, p_{n}$. Тогда существуют $n$ независимых функций $q_{1}, \ldots, q_{n}$, дополняющих набор $p_{1}, \ldots, p_{n}$ до канонической системы координат, т.е. таких, что $\left\{p_{i}, p_{j}\right\}=0,\left\{p_{i}, q_{j}\right\}=\delta_{i j},\left\{q_{i}, q_{j}\right\}=0$ для всех $1 \leqslant i, j \leqslant n$.
Доказательство.
1) Рассмотрим линейно независимые векторные поля $v_{i}=\operatorname{sgrad} p_{i}$, отвечающие функциям $p_{1}, \ldots, p_{n}$. Так как
\[
\left[\operatorname{sgrad} p_{i}, \operatorname{sgrad} p_{j}\right]=\operatorname{sgrad}\left\{p_{i}, p_{j}\right\}=0,
\]

то векторные поля $v_{1}, \ldots, v_{n}$ коммутируют.
2) Для коммутирующих векторных полей $v_{i}$ по теореме Фробениуса (см., например, [187]) найдется такая локальная регулярная система координат $x_{1}, \ldots, x_{n}, y_{1}, \ldots, y_{n}$, что $v_{i}=\operatorname{sgrad} p_{i}=\frac{\partial}{\partial x_{i}}, 1 \leqslant i \leqslant n$.
3) Запишем $p_{i}$ как функции от новых координат $x_{1}, \ldots, x_{n}, y_{1}, \ldots, y_{n}$, т.е. представим их в виде $p_{i}=p_{i}(x, y)$. Мы утверждаем, что в действительности $p_{i}=p_{i}(y)$, т.е. они не зависят от $x$. В самом деле,
\[
\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(p_{i}\right)=\operatorname{sgrad} p_{j}\left(p_{i}\right)=\left\{p_{j}, p_{i}\right\}=0 .
\]
4) Вместо набора функций $(x, y)$ рассмотрим теперь в качестве локальных координат набор $(x, p)$. Это можно сделать, поскольку функции $p_{i}=p_{i}(y)$ по условию независимы.
5) Докажем, что попарные скобки Пуассона функций $x$ и $p$ имеют вид: $\left\{x_{i}, x_{j}\right\}=\lambda_{i j}(p),\left\{p_{i}, x_{j}\right\}=\delta_{i j},\left\{p_{i}, p_{j}\right\}=0$. В самом деле,
\[
\left\{p_{i}, x_{j}\right\}=\operatorname{sgrad} p_{i}\left(x_{j}\right)=\frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(x_{j}\right)=\delta_{i j} .
\]

Далее, скобки Пуассона $\left\{x_{i}, x_{j}\right\}$ представляются как некоторые функции $\lambda_{i j}(x, p)$. Докажем, что они не зависят от $x$. В самом деле,
\[
\begin{aligned}
\left(\frac{\partial}{\partial x_{k}}\right)\left\{x_{i}, x_{j}\right\} & =\operatorname{sgrad} p_{k}\left\{x_{i}, x_{j}\right\}=\left\{p_{k},\left\{x_{i}, x_{j}\right\}\right\}= \\
& =\left\{x_{j},\left\{x_{i}, p_{k}\right\}\right\}+\left\{x_{i},\left\{p_{k}, x_{j}\right\}\right\}=0,
\end{aligned}
\]

так как $\left\{x_{s}, p_{t}\right\}=\delta_{s t}=$ const. Итак, $\left\{x_{i}, x_{j}\right\}=\lambda_{i j}(p)$.
6) Подправим теперь функции $x$, чтобы получить каноническую систему координат. Для этого будем искать координаты $q$ в виде $q_{j}=x_{j}-f_{j}(p)$. Функции $f_{j}$ должны быть таковы, чтобы выполнялись следующие соотношения: $\left\{p_{i}, q_{j}\right\}=\delta_{i j},\left\{q_{i}, q_{j}\right\}=0$. Имеем
\[
\left\{p_{i}, q_{j}\right\}=\left\{p_{i}, x_{j}-f_{j}(p)\right\}=\left\{p_{i}, x_{j}\right\}-\left\{p_{i}, f_{j}(p)\right\}=\delta_{i j}+0=\delta_{i j} .
\]

Итак, соотношение $\left\{p_{i}, q_{j}\right\}=\delta_{i j}$ выполнено автоматически.
7) Далее:
\[
\begin{aligned}
\left\{q_{i}, q_{j}\right\} & =\left\{x_{i}-f_{i}(p), x_{j}-f_{j}(p)\right\}= \\
& =\left\{x_{i}, x_{j}\right\}-\left\{x_{i}, f_{j}(p)\right\}+\left\{x_{j}, f_{i}(p)\right\}=\lambda_{i j}-\frac{\partial f_{i}}{\partial p_{j}}+\frac{\partial f_{j}}{\partial p_{i}} .
\end{aligned}
\]

Мы воспользовались здесь тем, что
\[
\left\{x_{i}, f_{j}(p)\right\}=\sum_{k}\left(\frac{\partial f_{j}}{\partial p_{k}}\right)\left\{x_{i}, p_{k}\right\}=-\sum_{k} \delta_{i k} \frac{\partial f_{j}}{\partial p_{k}}=-\frac{\partial f_{j}}{\partial p_{i}} .
\]

Это следует из общего равенства:
\[
\left\{f, g\left(s_{1}, \ldots, s_{m}\right)\right\}=\sum_{k=1}^{m}\left(\frac{\partial g}{\partial s_{k}}\right)\left\{f, s_{k}\right\} .
\]

Таким образом, для выполнения условия $\left\{q_{i}, q_{j}\right\}=0$ необходимо и достаточно, чтобы $\lambda_{i j}-\frac{\partial f_{i}}{\partial p_{j}}+\frac{\partial f_{j}}{\partial p_{i}}=0$. Для того, чтобы такая система уравнений была разрешима относительно неизвестных функций $f_{i}$, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия совместности этой системы:
\[
\frac{\partial \lambda_{\alpha \beta}}{\partial p_{\gamma}}+\frac{\partial \lambda_{\gamma \alpha}}{\partial p_{\beta}}+\frac{\partial \lambda_{\beta \gamma}}{\partial p_{\alpha}}=0 .
\]

Это последнее тождество действительно выполнено. В самом деле,
\[
\left\{\left\{x_{\alpha}, x_{\beta}\right\}, x_{\gamma}\right\}=\left\{\lambda_{\alpha \beta}, x_{\gamma}\right\}=\frac{\partial \lambda_{\alpha \beta}}{\partial p_{\gamma}},
\]

поэтому условие совместности эквивалентно тождеству Якоби:
\[
\left\{\left\{x_{\alpha}, x_{\beta}\right\}, x_{\gamma}\right\}+\left\{\left\{x_{\gamma}, x_{\alpha}\right\}, x_{\beta}\right\}+\left\{\left\{x_{\beta}, x_{\gamma}\right\}, x_{\alpha}\right\}=0 .
\]

Итак, построенные выше функции $q_{i}$ удовлетворяют всем требованиям леммы. Лемма доказана.

Возвращаемся к доказательству теоремы Дарбу. В силу леммы 1.1 нам остается показать, что в окрестности любой точки на симплектическом многообразии всегда существуют независимые функции $p_{1}, \ldots, p_{n}$, находящиеся в инволюции. В действительности, справедливо даже более сильное индуктивное утверждение.

Лемма 1.2. Если имеется $k$ независимых функий $p_{1}, \ldots, p_{k}$, находящихся в инволюции, где $k<n$, то всегда существует независимая от них функия $p_{k+1}$ такая, что $\left\{p_{k+1}, p_{i}\right\}=0$ при $1 \leqslant i \leqslant k$.

Доказательство.

Следуя доказательству предыдущей леммы, получаем, что для функций $p_{1}, \ldots, p_{k}$ всегда существует локальная регулярная система координат $x_{1}, \ldots, x_{k}$, $y_{1}, \ldots, y_{2 n-k}$ такая, что $\operatorname{sgrad} p_{i}=\frac{\partial}{\partial x_{i}}, 1 \leqslant i \leqslant k$. Как и выше, отсюда следует, что
\[
\frac{\partial p_{i}}{\partial x_{j}}=\operatorname{sgrad} p_{i}\left(p_{j}\right)=\left\{p_{i}, p_{j}\right\}=0,
\]
т. е. $p_{i}=p_{i}\left(y_{1}, \ldots, y_{2 n-k}\right)$ при $1 \leqslant i \leqslant k$.

Так как $k<2 n-k$, то количество функций $y$ больше количества функций $p$, зависящих от $y$. Следовательно, существует новая функция $p_{k+1}(y)$, независимая с функциями $p_{1}(y), \ldots, p_{k}(y)$. Далее имеем: $\left\{p_{k+1}, p_{i}\right\}=-\frac{\partial p_{k+1}}{\partial x_{i}}=0$, т. е. функция $p_{k+1}$ находится в инволюции со всеми $p_{1}, \ldots, p_{k}$. Лемма доказана.
Доказательство теоремы Дарбу завершено.
Дадим также другое, более формальное доказательство теоремы Дарбу. Доказательство.

Рассмотрим симплектическую форму $\omega$ в некоторой фиксированной точке $P \in M^{2 n}$. Линейной заменой координат мы всегда можем привести в точке $P$ матрицу $\Omega$ формы к каноническому виду
\[
\Omega_{0}=\left(\begin{array}{cc}
0 & E \\
-E & 0
\end{array}\right) .
\]

Такое приведение возможно, вообще говоря, только в одной точке $P$. Рассмотрим теперь новую форму $\omega_{0}$ с постоянной матрицей $\Omega_{0}$ (в той же окрестности точки $P$ ). Наша цель – найти такой диффеоморфизм окрестности $U(P)$,

чтобы он перевел форму $\omega$ в форму $\omega_{0}$. Ясно, что новые координаты, определяемые таким диффеоморфизмом, и будут каноническими координатами Дарбу.
Найдем семейство диффеоморфизмов $\varphi_{t}$ таких, что
\[
\varphi_{t}^{*} \omega=\omega_{t}=(1-t) \omega+t \omega_{0} .
\]

При $t=1$ мы получим искомый диффеоморфизм $\varphi_{1}$, переводящий форму $\omega$ в форму $\omega_{0}$. Чтобы найти семейство $\varphi_{t}$, продифференцируем равенство по $t$ и рассмотрим получившееся дифференциальное уравнение
\[
L_{\xi_{t}} \omega_{t}=\omega_{0}-\omega,
\]

где $L_{\xi_{t}}$ – производная Ли вдоль векторного поля $\xi_{t}=\frac{d \varphi_{t}}{d t}$. В силу замкнутости формы $\omega_{t}$ левую часть равенства можно переписать в виде
\[
\left.L_{\xi_{t}} \omega_{t}=d\left(\xi_{t}\right\rfloor \omega_{t}\right)
\]

где $\left.\xi_{t}\right\rfloor \omega_{t}$ обозначает результат подстановки поля $\xi_{t}$ в форму $\omega_{t}$, т. е. дифференциальную 1-форму, определяемую тождеством $\left.\xi_{t}\right\rfloor \omega_{t}(v)=\omega_{t}\left(\xi_{t}, v\right)$, где $v-$ произвольный касательный вектор. С другой стороны, $\omega_{0}-\omega$ является замкнутой формой, поэтому локально (в некоторой окрестности точки $P$ ) она точна и может быть представлена в виде $\omega_{0}-\omega=d \alpha$. При этом без ограничения общности можно считать, что 1 -форма $\alpha$ равна нулю в точке $P$. Теперь найдем векторное поле $\xi_{t}$ из соотношения $\left.\xi_{t}\right\rfloor \omega_{t}=\alpha$. В силу невырожденности формы $\omega_{t}$ это всегда можно сделать и притом однозначно. В итоге мы получим семейство гладких векторных полей $\xi_{t}, t \in[0,1]$. При этом $\xi_{t}(P)=0$ для любого $t$. Рассмотрим теперь семейство диффеоморфизмов $\varphi_{t}$, удовлетворяющих дифференциальному уравнению $\xi_{t}=\frac{d \varphi_{t}}{d t}$ с начальным условием $\varphi_{0}=\mathrm{id}$. Тогда по построению $\varphi_{1}^{*} \omega=\omega_{0}$, что и требовалось. Теорема Дарбу доказана.