Обозначим через ( $M$ ) класс (множество) всех гладких связных ориентируемых компактных 3 -многообразий. Оказывается, нет никаких топологических препятствий к тому, чтобы многообразие из класса $(M)$ было изоэнергетической 3 -поверхностью подходящей гамильтоновой системы (но не обязательно интегрируемой).
Предложение 4.8 (С. В. Матвеев, А. Т. Фоменко).
а) Если $X^{3}$ – произвольное многообразие из класса ( $M$ ), то прямое произведение $M^{4}=X^{3} \times D^{1}$ (где $D^{1}$ – отрезок) всегда является симплектическим 4 -многообразием.
б) Многообразие $X^{3}$ является изоэнергетической 3-поверхностью естественной гамильтоновой системы на $M^{4}=X^{3} \times D^{1}$, задаваемой гамильтонианом $H=t$, где $t-$ координата на отрезке.

Доказательство.
Начнем с пункта (б). Если симплектичность многообразия $M^{4}=X^{3} \times D^{1}$ (где $D^{1}$ – отрезок) доказана, то в качестве гамильтониана $H$ можно взять функцию $H(x, t)=t$, где $x$ и $t$ – естественные координаты на прямом произведении $X^{3} \times D^{1}$. Тогда $X^{3}$ является 3 -поверхностью уровня функции $H$, т. е. изоэнергетическим 3 -многообразием. Симплектичность 4 -многообразия $M^{4}$ следует из

хорошо известной топологической теоремы о существовании погружения любого ориентированного компактного гладкого 3 -многообразия $X^{3}$ в четырехмерное
Рис. 4.16 евклидово пространство $\mathbb{R}^{4}$. Взяв трубчатую окрестность $U$ погруженного многообразия $i\left(X^{3}\right)$ (рис. 4.16), мы получаем погруженное 4-многообразие. Оно является погружением прямого произведения $M^{4}=X^{3} \times D^{1}$ (где $D^{1}$ отрезок), поскольку нормальное расслоение погруженного ориентируемого многообразия коразмерности один в $\mathbb{R}^{4}$ всегда тривиально. Далее, поскольку на $\mathbb{R}^{4}$ существует каноническая симплектическая структура вида $d p \wedge d q$, то, ограничивая ее на погруженный образ многообразия $M^{4}$, получаем симплектическую 2форму на $M^{4}$.