Рис. 9.17
Пусть $L-$ особый слой типа седло-седло и $y=\mathcal{F}(L)$ – особая точка бифуркационной диаграммы, соответствующая данному особому слою отображения момента $\mathcal{F}$. Согласно сделанным выше предположениям, окрестность точки $y_{0}$ на бифуркационной диаграмме $\Sigma$ имеет вид двух трансверсально пересекающихся гладких дуг $\gamma_{1}$ и $\gamma_{2}$. См. рис. 9.1(c). Сделаем локальную замену координат на плоскости $\mathbb{R}^{2}(H, f)$ в окрестности точки $y_{0}$, чтобы гладкие дуги $\gamma_{1}$ и $\gamma_{2}$ превратились в прямолинейные отрезки координатных осей, пересекающиеся под прямым углом (рис. 9.17). Обозначим возникающие при этом новые локальные координаты через $f_{1}$ и $f_{2}$. При этом кривая $\gamma_{1}$ задается уравнением $f_{2}=0$, а $\gamma_{2}$ уравнением $f_{1}=0$. Будем считать, что $\frac{\partial H}{\partial f_{i}}>0$ для $i=1,2$. Это всегда можно сделать, поменяв, если нужно, знак функции $f_{i}$. Функции $f_{1}$ и $f_{2}$ можно, очевидно, рассматривать как новые интегралы исходной гамильтоновой системы, вместо исходных интегралов $H$ и $f$.
Предложение 9.2. Пусть $s$ – число особых точек $z_{1}, \ldots, z_{s}$ типа седло-седло на особом слое L. Тогда $L$ является двумерным клеточным комплексом, склеенным из 4 к квадратов. Внутренности этих квадратов являются двумерными орбитами пуассонова действия группы $\mathbb{R}^{2}(H, f)$. Стороны квадратов (без вершин) являются одномерными невырожденными незамкнутыми орбитами действия группы $\mathbb{R}^{2}(H, f)$, а вершины квадратов являются особьми точками $z_{1}, \ldots, z_{s}$, т.е. нульмерными орбитами. Стороны каждого квадрата лежат в подмногообразиях $P_{1}=\mathcal{F}^{-1}\left(\gamma_{1}\right) \cap K$ и $P_{2}=\mathcal{F}^{-1}\left(\gamma_{2}\right) \cap K$, причем противоположные стороны квадрата лежат в одном и том же подмногообразии, а смежные – в разных.

Доказательство.
Изучим сначала структуру комплекса $L$ в окрестности каждой особой точки $z_{i}$. Согласно теореме 1.5 из главы 1 , существует локальная система координат $p_{1}, p_{2}, q_{1}, q_{2}$ в окрестности точки $z_{i}$ такая, что структура слоения Лиувилля задается совместными поверхностями уровня функций $p_{1} q_{1}$ и $p_{2} q_{2}$. Это означает, что локально структура слоения Лиувилля имеет вид прямого произведения двух элементарных одномерных гиперболических слоений на плоскости. Другими словами, нужно перемножить два двумерных расслоенных седла, показанных на рис. 9.18. В частности, особый слой $L$ в окрестности точки $z_{i}$ имеет локально вид $\gamma \times \gamma$, где $\gamma$ – это одномерный крест, т.е. два трансверсально пересекающихся интервала.

Ясно, что все точки $z_{1}, \ldots, z_{s}$ являются нульмерными орбитами действия $\mathbb{R}^{2}$, причем согласно нашим предположениям на $L$ никаких других нульмерных орбит нет.

Изучим теперь одномерные орбиты действия $\mathbb{R}^{2}$ на особом слое $L$. Все они, по определению, лежат в множестве $K$ особых точек $\mathcal{F}$. С другой стороны, в окрестности особого слоя $L$ множество особых точек отображения $\mathcal{F}$ является объединением $P_{1}$ и $P_{2}$. Следовательно, все одномерные орбиты действия $\mathbb{R}^{2}$ в окрестности $L$ лежат либо в $P_{1}$, либо в $P_{2}$. Более того, ясно, что одномерные орбиты действия $\mathbb{R}^{2}$, попавшие в $L$, – это в точности ребра графов $K_{1}$ и $K_{2}$, являющихся остовами атомов $V_{1}$ и $V_{2}$, задающихся ограничением гамильтониана $H$ на каждую из поверхностей $P_{1}$ и $P_{2}$ (рис. 9.19). В частности, все одномерные орРис. 9.19 биты, лежащие на особом слое, незамкнуты и невырождены, их общее число равно $4 s$. А именно, по $2 s$ штук на каждом из графов $K_{i}$. Каждая такая орбита имеет гиперболический тип, поэтому для любой ее внутренней точки $x$ особенность комплекса $L$ в малой окрестности $U(x)$ имеет тип четверной линии (рис. 9.20), т. е. локально комплекс $L$ гомеоморфен прямому произведению $\gamma \times D^{1}$.

Как ведут себя поля $\operatorname{sgrad} H, \operatorname{sgrad} f_{1}$ и $\operatorname{sgrad} f_{2}$ на одномерных орбитах?

Поток $\operatorname{sgrad} f_{1}$ течет и нетривиален вдоль 1 -орбит, попавших в $P_{1}$. При этом он обращается в нуль на 1 -орбитах, оказавшихся в $P_{2}$. Другими словами, поток $\operatorname{sgrad} f_{1}$ течет по ребрам графа $K_{1}$ и неподвижен на ребрах графа $K_{2}$.
Поле sgrad $f_{2}$ ведет себя аналогично: он течет по ребрам Рис. 9.20 графа $K_{2}$ и неподвижен на ребрах графа $K_{1}$.
Рис. 9.20
Поток $\operatorname{sgrad} H$ нетривиален на всех одномерных орбитах, как в $P_{1}$, так и в $P_{2}$. Причем, он течет в том же направлении, что и потоки $\operatorname{sgrad} f_{1}$ и $\operatorname{sgrad} f_{2}$ на соответствующих ребрах. Это следует из условия, что $\frac{\partial H}{\partial f_{i}}>0$ для $i=1,2$, наложенного нами выше.

Переходя к двумерным орбитам $G$ действия $\mathbb{R}^{2}$, отметим общий факт: точки, лежащие в замыкании двумерной орбиты, но ей не принадлежащие, обязательно содержатся либо в одномерных, либо в нульмерных орбитах действия. Другими словами, $\bar{G} \backslash G \subset\left(K_{1} \cup K_{2}\right)$.

Пусть теперь $G$ – двумерная орбита пуассонова действия $\mathbb{R}^{2}(H, f)$, принадлежащая особому слою $L$ и содержащая в своем замыкании точку $z_{1}$. Известно, что двумерная орбита пуассонова действия диффеоморфна либо тору, либо цилиндру, либо плоскости. Как мы уже видели выше, тор и цилиндр исключаются, поэтому орбита $G$ диффеоморфна плоскости. Рассмотрим ее замыкание $\bar{G}$. Посмотрим, как она подходит к своим граничным точкам, лежащим в $K_{1} \cup K_{2}$.

К нульмерным орбитам, т.е. к вершинам $z_{1}, \ldots, z_{s}$ графа $K_{1} \cup K_{2}$ она каждый раз подходит одинаковым образом. Как мы уже видели выше, в окрестности точки $z_{i}$ особый слой $L$ локально представляет собой прямое произведение $\gamma \times \gamma$. Оно, очевидно, допускает естественную стратификацию на нульмерные, одномерные и двумерные страты.

Легко видеть, что здесь имеется 16 двумерных стратов, каждый из которых является частью двумерной орбиты, попавшей в окрестность особой точки $z_{i}$. С другой стороны, очевидно, что замыкание каждого страта представляет собой гладкое погружение «прямого угла» в $M^{4}$. Таким образом, орбита $G$ вблизи особой точки $z_{i}$ выглядит как обычный угол с вершиной $z_{i}$, стороны которого являются ребрами двух разных графов $K_{1}$ и $K_{2}$. Отметим, что орбита может несколько раз возвращается к одной и той же особой особой точке, поэтому ей может отвечать несколько различных углов.

К одномерным орбитам, т.е. к ребрам графа $K_{1} \cup K_{2}$, двумерная орбита также каждый раз подходит «хорошо», т.е. в виде фрагмента полуплоскости одного из четырех гладких листов, показанных на рис. 9.20. Конечно, одна и та же орбита может возвращаться к одному ребру несколько раз. На самом деле, как мы сейчас покажем, – не более двух.
Лемма 9.2. Замыкание каждой двумерной орбиты $G \subset L$ является многоугольником с четным числом сторон, гладко погруженным в $M^{4}$.
Доказательство.
Тот факт, что замыкание $\bar{G}$ является погруженным многоугольником сразу следует из только что описанного поведения орбиты вблизи своих граничных точек.
Нужно лишь доказать четность числа его сторон. Этот факт почти очевиден. В самом деле, пусть $x$ – точка на границе 2 -орбиты $G$, лежащая, например, на каком-то ребре графа $K_{1}$. Двинемся по орбите вдоль этого ребра в какую нибудь сторону. Дойдя до ближайшей вершины графа $K_{1}$, мы вынуждены будем повернуть
Рис. 9.21 здесь на какое-то другое ребро, но уже графа $K_{2}$. Это следует из локального поведения орбиты вблизи особой точки (см. выше). Пройдя до конца это ребро графа $K_{2}$, мы вновь повернем на какое-то ребро графа $K_{1}$. И так далее до тех пор, пока

мы не вернемся в начальную точку. Подчеркнем, что такое движение полностью и однозначно диктуется нам орбитой $G$, примыкающей к графу $K_{1} \cup K_{2}$ своей границей. Другими словами, мы последовательно движемся вдоль ребер графа $K_{1} \cup K_{2}$, перемещаясь по орбите $G$ вблизи ее границы (рис. 9.21). Поскольку у каждой вершины мы меняли граф, то число сторон, мимо которых мы прошли – четно. Лемма доказана.

Таким образом, $\bar{G}$ можно рассматривать как погружение в $M^{4}$ многоугольника $\widetilde{G}$ с четным числом сторон. Его внутренность диффеоморфно отображается на орбиту $G$, а стороны переходят в некоторые ребра графа $K_{1} \cup K_{2}$. Другими словами, орбиту $G$ можно интерпретировать как двумерную клетку, приклеиваемую к одномерному остову $K_{1} \cup K_{2}$ по некоторому отображению своей границы. Лемма 9.3. Многоугольник $\widetilde{G}$ является квадратом.

Замечание. Это означает, что у него только четыре стороны. Ясно, что в этом случае одна пара его противоположных сторон отображается в граф $K_{1}$, а другая – в граф $K_{2}$. Заметим, что рассматриваемое нами погружение $\widetilde{G} \rightarrow \bar{G} \subset M^{4}$ вложением, вообще говоря, не является. Некоторые вершины и даже стороны могут склеиться между собой. Однако на внутренности квадрата $\widetilde{G}$ и на внутренности каждой стороны это погружение будет вложением.
Доказательство.
Рис. 9.22
Рассмотрим два коммутирующих векторных поля sgrad $f_{1}$ и $\operatorname{sgrad} f_{2}$ на замыкании $\bar{G}$ орбиты $G$. Поскольку $\bar{G}$ является погружением $\widetilde{G}$, то оба поля можно поднять на многоугольник $\widetilde{G}$. Число его сторон четно, причем половина сторон отображается на ребра графа $K_{1}$, а другая половина – на ребра графа $\boldsymbol{K}_{2}$, чередуясь между собой. Пусть $a$ – произвольная сторона многоугольника $\widetilde{G}$, принадлежащая графу $K_{1}$ после погружения в $M^{4}$. Рассмотрим поведение поля $\operatorname{sgrad} f_{2}$ в окрестности ребра $a$. Ребро $a$ является невырожденной одномерной орбитой действия группы $\mathbb{R}^{2}$, следовательно, интегральные траектории поля sgrad $f_{2}$ трансверсально входят в ребро $a$, или выходят из него. На самом же ребре $a$ поле $\operatorname{sgrad} f_{2}$ равно нулю (рис. 9.22). Аналогичное рассуждение для потока $\operatorname{sgrad} f_{1}$ верно для ребер, отвечающих графу

Рассмотрим ребро многоугольника, на котором поле sgrad $f_{1}$ отлично от нуля. Тогда на двух соседних ребрах поток sgrad $f_{1}$ равен нулю. Картина поведения интегральных траекторий поля $\operatorname{sgrad} f_{1}$ показана на рис. 9.23. В одно из этих ребер поток втекает, а из другого вытекает. В результате получается полная картина поведения потока $\operatorname{sgrad} f_{1}$ в окрестности границы многоугольника, показанная на рис. 9.24 .
Заметим теперь, что sgrad $f_{1}$ не имеет нулей внутри многоугольРис. 9.23 ника $\widetilde{G}$. Применяя к рис. 9.24 стандартные рассуждения с индексом векторного поля, легко убеждаемся, что такая ситуация возможна лишь в случае, когда $\widetilde{G}$ является квадратом. Лемма доказана.

На рис. 9.25 изображена окончательная картина поведения траекторий обоих полей $\operatorname{sgrad} f_{1}$ и $\operatorname{sgrad} f_{2}$ на квадрате.

Подведем итог. Мы описали одномерные и двумерные клетки комплекса $L$. Его двумерные клетки являются квадратами, а одномерные – это ребра графов $K_{1} \cup K_{2}$.
Лемма 9.4. Число квадратов равно $4 s$, где $s$ – число особых точек особого слоя $L$.
Доказательство.
Пусть $k$ – число квадратов. Подсчитаем общее число углов всех квадратов двумя способами. С одной стороны оно, очевидно, равно $4 k$. С другой стороны, в каждой особой точке $z_{i}$ сходятся 16 углов, а таких разных точек $s$ штук. Таким образом, общее число углов оказывается равным $16 s$. Итак $16 s=4 k$, т. е. $k=4 s$. Лемма доказана.
Лемма 9.5. Особый слой $L$ является результатом погружения в $M^{4}$ нескольких торов и бутылок Клейна.
Доказательство.
Разобьем стороны всех квадратов, участвующих в склейке $L$, на два класса. Первый класс – это ребра графов $K_{1}$ и $K_{2}$, в которые потоки sgrad $f_{1}$ и $\operatorname{sgrad} f_{2}$, соответственно, втекают. Второй класс, наоборот, – это ребра графов $K_{1}$ и $K_{2}$, из Рис. 9.24 которых потоки sgrad $f_{2}$ и $\operatorname{sgrad} f_{1}$, соответственно, вытекают. Выполним теперь частичную склейку квадратов, отождествляя друг с другом только ребра, принадлежащие одному классу. Отметим, что при полной склейке мы должны были бы отождествлять между собой ребра по четыре, поскольку каждое ребро комплекса $L$ является четверной линией. Мы же разбили сейчас каждую четверку на две пары и отождествляем между собой только ребра, попавшие в одну пару.
Рис. 9.25
Поскольку все ребра склеиваются теперь попарно, то мы получим некоторую замкнутую поверхность. Она разбита на квадраты, причем каждая вершина разбиения имеет, как нетрудно заметить, кратность 4. Подсчитывая эйлерову характеристику, получаем ноль. Значит, эта поверхность является несвязным объединением нескольких торов и бутылок Клейна. Продолжив склейки, получим погружение этого объединения в $M^{4}$. Лемма доказана.
Как мы покажем далее, особый слой $L$ всегда является пространством типа $K(\pi, 1)$, т.е. все его гомотопические группы, начиная со второй, равны нулю.

Оказывается топология комплекса $L$ не определяет однозначно структуру слоения Лиувилля в своей окрестности $U(L)$. Оказывается для построения полного инварианта особенности достаточно объединить два уже построенных инварианта: комплекс $L$ и $l$-тип. Этот новый инвариант будет удобен для перечисления возможных типов особенностей.