Здесь мы обсудим вопрос о том, какие абстрактно заданные молекулы $W^{*}$ реализуются в виде молекул интегрируемых систем. Дело в том, что меченую молекулу $W^{*}$ можно задать абстрактно как некий граф, вершинами которого являются атомы, а на ребрах и семьях проставлены произвольные метки $r$ (рациональные числа от 0 до 1 , либо $\infty$ ), метки $\varepsilon= \pm 1$ и метки $n$ (произвольные целые числа). Спрашивается, найдется ли конкретная интегрируемая система $v=\operatorname{sgrad} H$ на подходящей изоэнергетической поверхности $Q$ в подходящем симплектическом 4-многообразии $M$ такая, что ее меченая молекула совпадет с $W^{*}$ ? Ответ положительный.

Теорема 4.2 (Теорема реализации [30]). Любая абстрактно заданная меченая молекула $W^{*}$ реализуется как меченая молекула некоторой интегрируемой гамильтоновой системы.

Доказательство.

Шаг 1. Рассмотрим молекулу $W^{*}$ и восстановим по ней соответствующее 3 -многообразие $Q^{3}$. Для этого возьмем все 3 -атомы, отвечающие данной молекуле. По набору меток молекулы $W^{*}$ можно однозначно восстановить избыточное оснащение молекулы, т.е. набор матриц склеек, с точностью до естественного отношения эквивалентности, введенного выше. Пользуясь теперь этими матрицами склеек, склеиваем трехмерное многообразие $Q^{3}$ из 3 -атомов. На многообразии $Q^{3}$ возникает естественная структура слоения типа слоения Лиувилля. Каждый 3 -атом имел такую структуру по определению, причем каждый его граничный тор являлся слоем. Поэтому, склеивая атомы между собой, мы естественным образом продолжаем слоение с одного атома на другой. Рассмотрим теперь 4 -многообразие $M^{4}=Q^{3} \times I$, где $I$ – интервал, и естественным образом продолжим на $M^{4}$ слоение с $Q^{3}$. Фиксируем на $Q^{3} \times I$ некоторую ориентацию. Для завершения доказательства теоремы осталось ввести на $M^{4}$ симплектическую структуру так, чтобы получившееся слоение стало лагранжевым.
Шаг 2. Сначала зададим симплектическую структуру на каждом 4 -атоме $U \times I$, где $U$ – любой из 3 -атомов, входящих в состав молекулы $W^{*}$. Будем считать, что все эти 3 -атомы уже лежат в $Q^{3}$ как подмножества $Q^{3}$. Как мы знаем, с топологической точки зрения многообразие $U$ можем быть одного из двух типов: либо прямое произведение $P^{2} \times S^{1}$, либо косое произведение $P^{2} \widetilde{\times} S^{1}$. В первом случае структура слоения Лиувиля на $P^{2} \times S^{1}$ фактически задается функцией Морса на поверхности $P^{2}$. А именно, если $x$ и $y$ – координаты на $P^{2}$, а $\varphi-$ координата на слое-окружности, то функция $f(x, y, \varphi)$ на самом деле от $\varphi$ не зависит. Пусть $t$ – координата на интервале $I$. Тогда симплектическую структуру на 4-атоме $U \times I$ можно задать следующей явной формулой:
\[
\Omega=\omega(x, y)+d \varphi \wedge d t
\]

где $\omega(x, y)$ – симплектическая структура на $P^{2}$, выбранная так, чтобы ориентация на $U \times I$, задаваемая формой $\Omega$, совпадала с фиксированной заранее ориентацией на $M^{4}$.

В случае же косого произведения $P^{2} \tilde{\times} S^{1}$ 3-атом $U$ является результатом склейки двух оснований прямого произведения $P^{2} \times[0,2 \pi]$ по инволюции $\tau: P^{2} \rightarrow P^{2}$, сохраняющей функцию $f(x, y)$ на поверхности $P^{2}$. В этом случае симплектическая структура на $U \times I$ задается той же самой формулой
\[
\Omega=\omega(x, y)+d \varphi \wedge d t,
\]

где $\varphi$ – координата на отрезке $[0,2 \pi]$, а $t$ – координата на интервале $I$. Симплектическая структура $\omega(x, y)$ должна быть инвариантна относительно инволюции $\tau$. Такая форма $\omega$ всегда существует. Достаточно взять форму вида $\omega=\alpha+\tau^{*} \alpha$, где $\alpha$ – любая невырожденная 2 -форма на $P^{2}$. В силу инвариантности $\omega$ построенная нами форма $\Omega$ корректно определена на всем $U \times I$, хотя для ее записи мы первоначально использовали локальные координаты $x, y, \varphi$.

В итоге мы построили симплектическую структуру в окрестности каждого особого слоя слоения Лиувилля. Нам осталось продолжить ее на ту часть 4-многообразия $M^{4}$, которая соответствует ребрам молекулы $W$, т.е. на семейства

вида $T^{2} \times E \times I$. Здесь интервалы $E$ отвечают ребрам молекулы, т.е. однопараметрическим семействам торов Лиувилля $T^{2}$. Эти семейства получаются из $Q^{3}$ выбрасыванием из него (окрестностей) особых слоев слоения Лиувилля.
Шаг 3. Теперь нужно сшить симплектические структуры, построенные нами на отдельных 4 -атомах $U \times I$. Из сказанного выше вытекает, что симплектическая структура уже задана на той части прямого произведения $T^{2} \times E \times I$, которая отвечает окрестностям концевых точек интервала $E$ (рис. 4.9).
Лемма 4.7 (Лемма о сшивании симплектических структур).
Пусть $X=T^{2} \times[a, b] \times[-\varepsilon, \varepsilon]-2$ дугараметрическое семейство торов Лиувилля, и пусть на $X_{a}=T^{2} \times[a, a+\delta] \times[-\varepsilon, \varepsilon]$ и на $X_{b}=T^{2} \times[b-\delta, b] \times[-\varepsilon, \varepsilon]$ уже заданы две симплектические структуры $\Omega_{1} u \Omega_{2}$, относительно которых имеющиеся здесь слоения на 2-торы являются лагранжевыми. Пусть ориентации на $T^{2} \times[a, b] \times[-\varepsilon, \varepsilon]$, задаваемые формами $\Omega_{1}$ и $\Omega_{2}$, одинаковы. Тогда на всем семействе $T^{2} \times[a, b] \times[-\varepsilon, \varepsilon]$ существует симплектическая структура $\Omega$, ограничения которой на две указанные области совпадают с $\Omega_{1}$ и $\Omega_{2}$, идля которой слоение на 2 -торы на всем $T^{2} \times[a, b] \times[-\varepsilon, \varepsilon]$ тоже является лагранжевым. Доказательство.

Фиксируем базис на торе $T^{2}$ из рассматриваемого семейства и распространим этот базис на каждый тор из этого семейства (по непрерывности). Согласно теореме Лиувилля, на двух подобластях $X_{a}$ и $X_{b}$ существуют переменные действие-угол $s_{1}, s_{2}, \varphi_{1}, \varphi_{2}$, отвечающие фиксированному базису на тоpax. Поскольку на всех торах определен
Рис. 4.9

один и тот же базис, мы можем гладким образом продолжить координаты $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ на все торы семейства $X$. Таких способов продолжения, конечно, много. Выберем и фиксируем один из них.

Распространим теперь и функции $s_{1}$ и $s_{2}$ на все семейство $X$. Поскольку функции $s_{1}$ и $s_{2}$ должны быть постоянны на 2 -торах, то в действительности их достаточно определить как функции на двумерном семействе параметров, т.е. на прямоугольнике $[a, b] \times[-\varepsilon, \varepsilon]$. Следовательно, задача сводится к следующей. Нужно продолжить уже имеющееся отображение двух полосок (рис. 4.9) в плоскость до отображения, заданного уже на всем прямоугольнике. Искомое отображение не должно иметь особенностей и должно быть погружением прямоугольника в плоскость (рис. 4.10). Это можно сделать, поскольку знаки якобианов двух отображений, заданных на двух полосках, совпадают. Это условие, как нетрудно видеть, в точности эквивалентно тому, что симплектические структуры $\Omega_{1}$ и $\Omega_{2}$ задают одинаковую ориентацию.

Мы получаем, таким образом, погружение прямоугольника $[a, b] \times[-\varepsilon, \varepsilon]$ в плоскость с координатами $s_{1}$ и $s_{2}$. В результате $s_{1}$ и $s_{2}$ мы можем рассматривать в каждой точке как регулярные координаты и определить симплектическую структуру $\Omega$ на всем семействе $X$ естественной формулой
\[
\Omega=d s_{1} \wedge d \varphi_{1}+d s_{2} \wedge d \varphi_{2} .
\]

Эта форма, очевидно, удовлетворнет всем необходимым требованиям. Лемма 4.7 доказана.

Шаг 4. Итак, с помощью леммы о сшивании мы можем построить симплектическую структуру в целом на многообразии $M^{4}=Q^{3} \times I$ таким образом, чтобы имеющееся на нем слоение стало лагранжевым. Теперь для построения искомой гамильтоновой системы достаточно в качестве гамильтониана $H$ взять параметр $t$ на интервале $I$. Меченая молекула, отвечающая изоэнергетической поверхности, по построению совпадает с $W^{*}$, что и требовалось.

Замечание. Построенная система на самом деле является резонансной в окрестности сингулярных слоев. Чтобы устранить этот недостаток, нам достаточно слегка возмутить построенную систему, например, следующим образом
\[
H \rightarrow H+\varepsilon f
\]

где $f$ – произвольная функция, постоянная на слонх. Ясно, что сколь угодно малым возмущеРис. 4.10 нием такого вида можно сделать систему нерезонансной, не менян при этом топологии изоэнергетической поверхности и отвечающего ей слоения Лиувилля, т. е. молекулы $W^{*}$.
Это замечание завершает доказательство теоремы реализации.
Таким образом, теоремы 4.1 и 4.2 дают полную лиувиллеву классификацию всех интегрируемых гамильтоновых систем указанного выше типа.
Следствие.
1) Имеется взаимно-однозначное соответствие между классами лиувиллевой эквивалентности интегрируемых систем и мечеными молекулами. В частности, множество классов лиувиллевой эквивалентности интегрируемых систем дискретно (счетно), т.е. не имеет непрерывных параметров.
2) Имеется алгоритм перечисления всех меченых молекул, т.е. классов интегрируемых систем.
3) Имеется алгоритм сравнения меченых молекул, т. е. алгоритм ответа на вопрос: являются ли две соответствующие им интегрируемые системы лиувиллево эквивалентны или нет.
Алгоритмы перечисления и сравнения молекул $W$ без меток были уже описаны выше. Здесь следует лишь добавить рациональные и целочисленные метки, являющиеся дополнительными счетными параметрами.