Напомним, что мы рассматриваем для простоты пока лишь ориентированные атомы $V$.

Теорема 2.11.

a) Каждой свободной подгруппе $G$ конечного индекса $k$ в группе $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$, т.е. не содержащей элементов конечного порядка, – соответствует конечный $f$-граф $\Gamma=\Gamma(G)$ с $k$ вершинами и имеющий вид $\Gamma=D / G$. При этом $\Gamma\left(G_{1}\right)=\Gamma\left(G_{2}\right)$ тогда и только тогда, когда подгруппы $G_{1}$ и $G_{2}$ сопряжены в группе $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$. Другими словами, имеется взаимно-однозначное соответствие между $f$-графами без меток и классами сопряженности свободных подгрупп конечного индекса в группе $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$, то есть подгрупп, не содержащих элементов конечного порядка.
б) Группа $\operatorname{Sym}(\Gamma(G))$ собственных симметрий $f$-графа $\Gamma(G)$ изоморфна фактор-группе $N(G) / G$, где $N(G)$ – нормализатор подгруппы $G$ в группе $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$ (то есть $N(G)=\left\{h \in \mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}: h G h^{-1}=G\right\}$ ).
в) Порядок группы собственных симметрий $\operatorname{Sym}(\Gamma(G)$ ) всегда не превосходит числа вериин графа $\Gamma$. Это число равно индексу подгруппы $G$ в группе $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$. Порядок группы всех симметрий $\widehat{\operatorname{Sym}}(\Gamma(G))$ всегда не превосходит удвоенного количества вершин графа $\Gamma$.

Доказательство.

a) В одну сторону утверждение очевидно. Осталось доказать, что если $\Gamma\left(G_{1}\right)=\Gamma\left(G_{2}\right)$, то подгруппы $G_{1}$ и $G_{2}$ сопряжены. Это следует из того, что любой гомеоморфизм базы универсального накрытия всегда поднимается до гомеоморфизма универсального накрытия на себя. Поэтому при отображении базы на себя слой накрытия переходит в слой накрытия над образом точки. Соединяя точку базы с ее образом непрерывным путем на базе, перемещаем вдоль него слой накрытия и получаем требуемое сопряжение подгрупп.
б) Каждая симметрия $f$-графа, то есть базы универсального накрытия $\Gamma=D / G$, поднимается наверх до отображения дерева $D$ на себя. Все такие поднятые отображения должны сохранять исходное накрытие. Следовательно, они имеют вид $h G h^{-1}$, где $h$ пробегает всю группу $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$.
в) Это утверждение фактически следует из пунктов (а) и (б). В самом деле, из пункта (б) следует, что порядок группы симметрий $\operatorname{Sym}(\Gamma(G))$ есть индекс подгруппы $G$ в нормализаторе $N(G)$. Поскольку $N(G)$ лежит в группе $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$, следовательно порядок группы симметрий не больше чем число вершин графа $\Gamma$, которое равно индексу подгруппы $G$ в группе $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$.
Теорема доказана.
Подведем итог. Итак, если $G$ – произвольная подгруппа в $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$ конечного индекса и без элементов конечного порядка, то можно рассмотреть ее действие на графе $D$. Фактор-пространство этого действия и является тем самым $f$-графом $\Gamma$, который был построен выше как $f$-граф, отвечающий классу сопряженности данной подгруппы $G$.

Отметим, что соответствующая проекция графа $D$ на граф $Г$ является универсальным накрытием для графа $\Gamma$, так как в подгруппе $D$ нет элементов конечного порядка. Их отсутствие и гарантирует свободность действия группы $G$

на $D$. В частности, отсюда следует, что группа $G$ является фундаментальной группой графа $\Gamma$ и атома $V$. В частности, она свободна, как фундаментальная группа одномерного пространства.