Для простоты рассмотрим интегрируемую систему с двумя степенями свободы на четырехмерном симплектическом многообразии $M^{4}$ и пусть $T$ — любой тор Лиувилля. Рассмотрим угловые переменные $\varphi_{1}, \varphi_{2}$ на этом торе (построенные в теореме Лиувилля). Тогда гамильтонова система $v=\operatorname{sgrad} H$, ограниченная на тор $T$, принимает вид
\[
\dot{\varphi}_{1}=c_{1}, \quad \dot{\varphi}_{2}=c_{2} .
\]

Определение 1.15. Числом вращения $\rho$ интегрируемой системы $v$ на данном торе Лиувилля $T$ называется отношение
\[
\rho=\frac{c_{1}}{c_{2}} .
\]

Величина $\rho$ зависит от тора Лиувилля $T$, а потому является в действительности функцией от переменных действия $s_{1}, s_{2}$ или от первых независимых интегралов $f_{1}, f_{2}$ системы, поскольку переменные действия и эти интегралы выражаются друг через друга.

Предложение 1.11. Запишем гамильтониан $H$ как функцию от $s_{1}, s_{2}$. Тогда
\[
\rho=\frac{\partial H / \partial s_{1}}{\partial H / \partial s_{2}} .
\]

Доказательство.
Поскольку форма $\omega$ в переменных действие-угол приняла канонический вид, To
\[
\operatorname{sgrad} H=\frac{\partial H}{\partial s_{1}} \frac{\partial}{\partial \varphi_{1}}+\frac{\partial H}{\partial s_{2}} \frac{\partial}{\partial \varphi_{2}} .
\]

Искомая формула следует теперь непосредственно из определения $\rho$.
Понятие числа вращения является, в действительности, топологическим. Это видно, например, из следующего предложения.

Если тор Лиувилля $T$ резонансный, то все интегральные траектории поля $v$ замкнуты и гомологичны между собой (и даже изотопны на торе). Пусть $\lambda$ и $\mu-$ базис в фундаментальной группе 2-тора, т.е. два независимых цикла, гомологичные координатным линиям угловых переменных $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$. Тогда замкнутая траектория $\gamma$ поля $v$ может быть разложена по этому базису:
\[
\gamma=p \lambda+q \mu \text {. }
\]

Предложение 1.12. Число вращения $\rho$ на резонансном торе имеет вид
\[
\rho=\frac{p}{q}
\]

Другими словами, в этом случае число вращения $\rho$ определяет топологический тип замкнутой траектории $\gamma$ однозначно с точностью до направления.
Доказательство.
Так как тор — резонансный, то $\rho=\frac{c_{1}}{c_{2}}$ — рационально, а потому $\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{p}{q}$ для некоторых целых $p$ и $q$. Ясно, что следующие два векторных поля
\[
v=c_{1} \frac{\partial}{\partial \varphi_{1}}+c_{2} \frac{\partial}{\partial \varphi_{2}} \quad \text { и } \quad p \frac{\partial}{\partial \varphi_{1}}+q \frac{\partial}{\partial \varphi_{2}}
\]

имеют совпадающие интегральные траектории. Но траектории второго поля, очевидно, замкнуты и имеют тип $p \lambda+q \mu$. Предложение доказано.

Замечание. В силу этих соображений резонансные торы иногда называют рациональными, а нерезонансные — иррациональными.

Для подсчета числа вращения $\rho$ не обязательно использовать переменные действие-угол. Их поиск обычно достаточно нетривиален. Вместо них можно пользоваться любой системой координат $(x \bmod 2 \pi, y \bmod 2 \pi)$ на торе, координатные линии которой гомотопны линиям уровня канонических угловых переменных $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$. Удобно рассмотреть $x$ и $y$ как координаты на плоскости, накрывающей тор $T$. Пусть $x(t)$ и $y(t)$ — координаты точки произвольной интегральной траектории поля $v$.

Предложение 1.13. Имеет место формула:
\[
\rho=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{x(t)}{y(t)} .
\]

Доказательство.
Выбирая новые периодические координаты на торе, мы всего лишь меняем форму фундаментальной области решетки на 2-плоскости (рис. 1.3). Можно считать, что сами узлы решетки при этом не изменились.
Отсюда сразу следует, что для некоторой константы $C$ имеют место оценки:
\[
\left|x(t)-\varphi_{1}(t)\right| \leqslant C, \quad\left|y(t)-\varphi_{2}(t)\right| \leqslant C .
\]

Но так как $\varphi_{1}(t)=c_{1} t+$ const и $\varphi_{2}(t)=c_{2} t+$ const, то
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{x(t)}{y(t)}=\frac{c_{1}}{c_{2}} .
\]

Предложение доказано.
Полученную выше формулу можно взять за определение числа вращения. При этом гамильтоновость системы нигде не используется. Следовательно, число вращения определено для более широкого класса динамических систем на торе.

Отметим, что число вращения зависит от выбора базиса на торе. Выбирая переменные действие-угол, мы тем самым указываем и некоторый базис циклов на соответствующем торе Лиувилля. Эти циклы являются просто линиями уровня угловых переменных на торе. И наоборот, выбрав базис циклов на торе, мы можем построить такие переменные действие-угол, для которых базисные циклы будут линиями уровня угловых переменных.
Рис. 1.3
Полезно понять, как меняется функция вращения при замене пары базисных циклов $\lambda, \mu$ на циклы $\lambda^{\prime}, \mu^{\prime}$. Хорошо известно, что для любой пары базисов всегда

существует некоторая целочисленная матрица такая, что
\[
\left(\begin{array}{l}
\lambda \\
\mu
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
a_{1} & a_{2} \\
a_{3} & a_{4}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
\lambda^{\prime} \\
\mu^{\prime}
\end{array}\right) .
\]

Предложение 1.14. Пусть $\rho$ — число вращения для пары циклов $\lambda$ и $\mu$, а $\rho^{\prime}-$ число вращения для пары циклов $\lambda^{\prime}$ и $\mu^{\prime}$.
Тогда числа $\rho$ и $\rho^{\prime}$ связаны соотношением:
\[
\rho^{\prime}=\frac{\rho a_{1}+a_{3}}{\rho a_{2}+a_{4}} .
\]

Доказательство следует из стандартных формул преобразования координат вектора при замене базиса.

Эта формула позволяет определить число вращения $\rho^{\prime}$ в том случае, когда циклы $\lambda^{\prime}$ и $\mu^{\prime}$ базиса на торе не образуют, но являются линейно независимыми. В этом случае матрица перехода будет, вообще говоря, рациональной.

Аналог числа вращения можно определить и в случае интегрируемых систем с многими степенями свободы. Фиксируем базис на торе Лиувилля и выберем соответствующие им угловые координаты $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}$, в которых гамильтоново векторное поле $v$ выпряляется и принимает вид
\[
\dot{\varphi}_{1}=c_{1}, \ldots, \dot{\varphi}_{n}=c_{n} .
\]

В качестве аналога числа вращения естественно рассмотреть набор частот с точностью до пропорциональности, т.е.
\[
\left(c_{1}: c_{2}: \ldots: c_{n}\right) \text {. }
\]