Каждому атому соответствуют два $f$-атома, поскольку разбиение его колец на положительные и отрицательные можно делать двумя способами. Эти $f$-атомы переходят друг в друга, если мы назовем положительные кольца отрицательными, и наоборот. Иногда эти два $f$-атома могут совпадать, а точнее быть эквивалентными. Изучая симметрии атомов, договоримся считать, что ориентация на поверхности $P^{2}$ не фиксирована, хотя фиксировано разбиение колец атома на положительные и отрицательные. При таком соглашении изучение симметрий атома в точности эквивалентно изучению симметрий любого из двух отвечающих ему $f$-атомов.
Будем пока рассматривать лишь ориентируемые атомы.
Если рассматривать атом $V$ как пару ( $P^{2}, K$ ), то естественно было бы определить симметрию атома $V$ как гомеоморфизм пары $\left(P^{2}, K\right)$ на себя. Однако группа всех таких гомеоморфизмов очень большая. Более интересна дискретная группа симметрий атома, которая получается при факторизации группы всех гомеоморфизмов пары ( $\left.P^{2}, K\right)$ по подгруппе гомеоморфизмов, изотопных тождественному. Поэтому в дальнейшем, говоря о симметриях атомов, мы всегда будем подразумевать, что гомеоморфизмы пары ( $\left.P^{2}, K\right)$ рассматриваются с точностью до изотопии, т.е., по определению, симметрия атома есть класс эквивалентности изотопных гомеоморфизмов пары ( $\left.P^{2}, K\right)$ на себя.
Обозначим через $\operatorname{Sym}(V)$ группу собственных симметрий атома $V=\left(P^{2}, K\right)$, то есть группу симметрий, сохраняющих ориентацию поверхности $P^{2}$, а также сохраняющих разбиение поверхности $P^{2}$ на положительные и отрицательные кольца. Отметим, что это определение не зависит от того — каким именно образом выбирается ориентация на $P^{2}$, и каким образом $P^{2}$ разбита на положительные и отрицательные кольца.
Обозначим далее через $\widehat{\operatorname{Sym}}(V)$ группу всех симметрий атома $V$. То есть как сохраняющих, так и меняющих ориентацию поверхности $P^{2}$. Однако разбиение поверхности $P^{2}$ на положительные и отрицательные кольца сохраняется.
Предложение 2.3. Если ориентированный атом $V$ является зеркальным, то группа $\operatorname{Sym}(V)$ является подгруппой индекса 2 в группе $\widehat{\operatorname{Sym}}(V)$. Если же атом $V$ зеркальным не является, то эти группы совпадают: $\operatorname{Sym}(V)=\widehat{\operatorname{Sym}}(V) . B$ частности, порядок группы $\widehat{\operatorname{Sym}}(V)$ всегда либо равен порядку группы $\operatorname{Sym}(V)$, либо в два раза больше его.
Доказательство сразу вытекает из определения зеркальности и определений обеих групп.
Сконцентрируем пока наше внимание на изучении группы собственных симметрий $\operatorname{Sym}(V)$. Рассмотрим теперь симметрии $f$-графов.
Определение 2.18. Будем говорить, что $f$-граф $\Gamma_{1}$ отображается на $f$-граф $\Gamma_{2}$, если задано их отображение как абстрактных графов, то есть вершины переходят
в вершины, а ребра — в ребра. При этом отображение переводит неориентированные ребра в неориентированные, а ориентированные — в ориентированные, но возможно с одновременным обращением их ориентации, то есть сразу на всех ориентированных ребрах.
Определение 2.19. Назовем собственной симметрией $f$-графа $\Gamma$ его изоморфизм на себя, переводящий ориентированные ребра в ориентированные с сохранением их ориентации. Обозначим группу всех собственных симметрий $f$-графа $\Gamma$ через $\operatorname{Sym}(\Gamma)$. Далее, назовем несобственной симметрией $f$-графа $\Gamma$ его изоморфизм на себя, переводящий ориентированные ребра в ориентированные с одновременным изменением ориентации всех таких ребер. То есть, каждое ориентированное ребро переходит в некоторое другое ориентированное ребро, но обязательно с противоположной ориентацией. Множество всех собственных и несобственных симметрий $f$-графа $\Gamma$ назовем полной группой симметрий данного
Предложение 2.4. Пусть $V$ — некоторый ориентированный атом, а $\Gamma$ — соответствующий ему $f$-граф. Тогда группа $\operatorname{Sym}(V)$ изоморфна группе $\operatorname{Sym}(\Gamma)$, а группа $\widehat{\operatorname{Sym}}(V)$ изоморфна группе $\widehat{\operatorname{Sym}}(\Gamma)$.
Доказательство сразу вытекает из процедуры построения $f$-графа по атому $V$. Дело в том, что для ориентированных атомов эта процедура дает нам $f$-граф без меток. См. об этом выше.
Таким образом, изучать симметрии атомов $V$ теперь можно на языке $f$-графов. То есть, вычисляя группы симметрий $f$-графов, мы описываем группы симметрий атомов $V$. Для атомов $V$ малой сложности все группы симметрий перечислены в таблице, приведенной в главе 3 .
