Каждому атому соответствуют два $f$-атома, поскольку разбиение его колец на положительные и отрицательные можно делать двумя способами. Эти $f$-атомы переходят друг в друга, если мы назовем положительные кольца отрицательными, и наоборот. Иногда эти два $f$-атома могут совпадать, а точнее быть эквивалентными. Изучая симметрии атомов, договоримся считать, что ориентация на поверхности $P^2$ не фиксирована, хотя фиксировано разбиение колец атома на положительные и отрицательные. При таком соглашении изучение симметрий атома в точности эквивалентно изучению симметрий любого из двух отвечающих ему $f$-атомов.
Будем пока рассматривать лишь ориентируемые атомы.
Если рассматривать атом $V$ как пару ( $P^2,K$ ), то естественно было бы определить симметрию атома $V$ как гомеоморфизм пары $(P^2,K)$ на себя. Однако группа всех таких гомеоморфизмов очень большая. Более интересна дискретная группа симметрий атома, которая получается при факторизации группы всех гомеоморфизмов пары ( $P^2,K)$ по подгруппе гомеоморфизмов, изотопных тождественному. Поэтому в дальнейшем, говоря о симметриях атомов, мы всегда будем подразумевать, что гомеоморфизмы пары ( $P^2,K)$ рассматриваются с точностью до изотопии, т.е., по определению, симметрия атома есть класс эквивалентности изотопных гомеоморфизмов пары ( $P^2,K)$ на себя.

Обозначим через $\mathrm{Sym}(V)$ группу собственных симметрий атома $V=(P^2,K)$, то есть группу симметрий, сохраняющих ориентацию поверхности $P^2$, а также сохраняющих разбиение поверхности $P^2$ на положительные и отрицательные кольца. Отметим, что это определение не зависит от того — каким именно образом выбирается ориентация на $P^2$, и каким образом $P^2$ разбита на положительные и отрицательные кольца.

Обозначим далее через $\widehat{\mathrm{Sym}}(V)$ группу всех симметрий атома $V$. То есть как сохраняющих, так и меняющих ориентацию поверхности $P^2$. Однако разбиение поверхности $P^2$ на положительные и отрицательные кольца сохраняется.

Предложение 2.3. Если ориентированный атом $V$ является зеркальным, то группа $\mathrm{Sym}(V)$ является подгруппой индекса 2 в группе $\widehat{\mathrm{Sym}}(V)$. Если же атом $V$ зеркальным не является, то эти группы совпадают: $\mathrm{Sym}(V)=\widehat{\mathrm{Sym}}(V).B$ частности, порядок группы $\widehat{\mathrm{Sym}}(V)$ всегда либо равен порядку группы $\mathrm{Sym}(V)$, либо в два раза больше его.

Доказательство сразу вытекает из определения зеркальности и определений обеих групп.

Сконцентрируем пока наше внимание на изучении группы собственных симметрий $\mathrm{Sym}(V)$. Рассмотрим теперь симметрии $f$-графов.

Определение 2.18. Будем говорить, что $f$-граф ${\mathrm{\Gamma }}_1$ отображается на $f$-граф ${\mathrm{\Gamma }}_2$, если задано их отображение как абстрактных графов, то есть вершины переходят

в вершины, а ребра — в ребра. При этом отображение переводит неориентированные ребра в неориентированные, а ориентированные — в ориентированные, но возможно с одновременным обращением их ориентации, то есть сразу на всех ориентированных ребрах.

Определение 2.19. Назовем собственной симметрией $f$-графа $\mathrm{\Gamma }$ его изоморфизм на себя, переводящий ориентированные ребра в ориентированные с сохранением их ориентации. Обозначим группу всех собственных симметрий $f$-графа $\mathrm{\Gamma }$ через $\mathrm{Sym}(\mathrm{\Gamma })$. Далее, назовем несобственной симметрией $f$-графа $\mathrm{\Gamma }$ его изоморфизм на себя, переводящий ориентированные ребра в ориентированные с одновременным изменением ориентации всех таких ребер. То есть, каждое ориентированное ребро переходит в некоторое другое ориентированное ребро, но обязательно с противоположной ориентацией. Множество всех собственных и несобственных симметрий $f$-графа $\mathrm{\Gamma }$ назовем полной группой симметрий данного

Предложение 2.4. Пусть $V$ — некоторый ориентированный атом, а $\mathrm{\Gamma }$ — соответствующий ему $f$-граф. Тогда группа $\mathrm{Sym}(V)$ изоморфна группе $\mathrm{Sym}(\mathrm{\Gamma })$, а группа $\widehat{\mathrm{Sym}}(V)$ изоморфна группе $\widehat{\mathrm{Sym}}(\mathrm{\Gamma })$.

Доказательство сразу вытекает из процедуры построения $f$-графа по атому $V$. Дело в том, что для ориентированных атомов эта процедура дает нам $f$-граф без меток. См. об этом выше.

Таким образом, изучать симметрии атомов $V$ теперь можно на языке $f$-графов. То есть, вычисляя группы симметрий $f$-графов, мы описываем группы симметрий атомов $V$. Для атомов $V$ малой сложности все группы симметрий перечислены в таблице, приведенной в главе 3 .