В настоящем параграфе мы изложим теорию гладкой траекторной классификации интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, построенную в $[24],[25],[26]$. Здесь, как обычно, под гладкостью мы понимаем $C^{\infty}$-гладкость.

Ниже, для простоты, мы будем предполагать, что все атомы являются плоскими и без звездочек. Это означает, в частности, что плоскими, т. е. допускающими вложение в плоскость, являются все трансверсальные сечения $P_{c}$. Отметим, что в реальных примерах интегрируемых гамильтоновых систем, известных нам, это условие всегда выполняется. На самом деле общий метод построения инвариантов, который был предложен выше, и который мы сейчас применим

в гладком случае, абсолютно пригоден в случае неплоских атомов и атомов со звездочками. Действительно, выше мы описали полностью атомные инварианты в общем случае. Однако мы уже видели, что при рассмотрении самого общего случая возникают чисто технические проблемы при описании инвариантов действия группы замен. Поэтому здесь мы решили ограничиться наиболее важным для приложений случаем, где, как мы вскоре увидим, теорема классификации приобретает очень естественную формулировку.

Итак, прежде всего мы построим так называемое избыточное $s t$-оснащение для системы. При этом мы будем считать, что боттовский первый интеграл $f$ гамильтоновой системы $v$ фиксирован, поэтому, в частности, избыточное st-оснащение и $s t$-молекула будут зависеть от выбора первого интеграла.

На граничных торах каждого 3 -атома $Q_{c}$ мы вводим и фиксируем некоторые допустимые системы координат – пару ориентированных циклов. Один из циклов этой системы – слой расслоения Зейферта, другой – пересечение тора Лиувилля с трансверсальным сечением $P_{c} \subset Q_{c}$. Напомним, что в случае плоских атомов задание сечения и задание допустимой системы координат, т.е. границы сечения, – это одно и то же.

Таким образом, как и выше, мы получаем на каждом ребре две системы координат ( $\lambda_{j}^{-}, \mu_{j}^{-}$) и ( $\lambda_{j}^{+}, \mu_{j}^{+}$) и можем определить, следовательно, пару функций вращения $\rho_{j}^{-}$и $\rho_{j}^{+}$. Кроме того, на каждом ребре имеется целочисленная матрица склейки $C_{j}$, которая по определению является матрицей перехода от базиса $\left(\lambda_{j}^{-}, \mu_{j}^{-}\right)$к базису $\left(\lambda_{j}^{+}, \mu_{j}^{+}\right)$.

Наконец, для каждой вершины каждого седлового атома $P_{c}$ мы определим по указанному выше правилу $\Lambda^{*}$-инвариант. При этом в качестве гамильтониана редуцированной системы мы будем рассматривать дополнительный интеграл $f$, а симплектическую структуру на сечении $P_{c}$ подберем соответствующим образом под этот гамильтониан. Таким образом, фиксировав допустимые системы координат, или, что то же самое, набор трансверсальных сечений $\mathbb{P}$, мы можем определить следующий набор
\[
\mathbb{S} \mathbb{T}=\left(C_{j}, \rho_{j}^{-}(\mathbb{P}), \rho_{j}^{+}(\mathbb{P}), \Lambda_{c}^{*}\right) .
\]

Определение 8.13. Совокупность всех матриц склеек, функций вращения и $\Lambda$-инвариантов
\[
\mathbb{S} \mathbb{T}=\left(C_{j}, \rho_{j}^{-}(\mathbb{P}), \rho_{j}^{+}(\mathbb{P}), \Lambda_{c}^{*}\right)
\]

называется избыточным st-оснащением молекулы $W$.
Разумеется, избыточное $s t$-оснащение существенным образом зависит от выбора допустимых систем координат на торах Лиувилля. Следующий шаг – доказательство основной леммы, которая показывает, что информации, содержащейся в избыточном оснащении, достаточно для классификации. Рассмотрим две интегрируемые системы $v_{1}$ и $v_{2}$ с одной и той же молекулой $W$.
Лемма 8.7 (Основная). Пусть при некотором выборе допустимых систем координат избыточные st-оснащения $\mathbb{S T}_{1}$ и $\mathbb{S T}_{2}$ молекулы $W$, отвечающие системам $v_{1}$ и $v_{2}$, совпадают. Тогда эти системы гладко траекторно эквивалентны.

Доказательство основной леммы.
Итак, пусть нам даны две интегрируемые гамильтоновы системы, ограниченные на трехмерные изоэнергетические поверхности, отвечающие одной и той же «грубой» молекуле $W$. Пусть кроме того избыточные st-оснащения молекулы $W$, отвечающие данным системам, совпадают при некотором выборе допустимых систем координат.

Начнем с того, что построим траекторные диффеоморфизмы сначала на атомах, а затем сошьем их в единый диффеоморфизм, продолжив подходящим образом на ребра.

Согласно теореме редукции для доказательства эквивалентности систем $v_{1}$ и $v_{2}$ на 3 -атоме $Q^{3}$, – т.е. в узкой окрестности особого слоя, – нам достаточно проверить сопряженность соответствующих потоков Пуанкаре $\sigma_{1}^{t}$ и $\sigma_{2}^{t}$ на фиксированных трансверсальных сечениях. У нас уже есть необходимые инструменты для такой проверки. Мы имеем в виду теорему гладкой классификации систем на атоме. См. теорему 7.1 главы 7 . Согласно этой теореме, в плоском случае нам достаточно проверить совпадение $\Lambda^{*}$-инвариантов и функций периодов. Но $\Lambda^{*}$-инварианты совпадают как элементы совпадающих избыточных st-оснащений $\mathbb{S}_{1}$ и $\mathbb{S}_{2}$. Что же касается функций периодов, то они, по лемме 8.5, просто совпадают с функциями вращения из избыточных st-оснащений и поэтому равны между собой. Итак, системы гладко траекторно эквивалентны в окрестности каждого атома.

Они также траекторно эквивалентны на каждом ребре, поскольку функции вращения совпадают. Нам остается сшить траекторные изоморфизмы на атомах и ребрах в единый траекторный диффеоморфизм. Но мы уже умеем это делать. См. лемму 8.3 о сшивании. Основная лемма доказана.

Теперь, следуя общей конструкции построения инвариантов, мы должны рассмотреть действие группы замен трансверсальных сечений $G \mathbb{P}$ на множестве избыточных $s t$-оснащений и выделить полный набор инвариантов этого действия. В гладком случае и сама эта группа и ее действие на множестве $s t$-оснащений будут точно такими же как в топологическом случае. См. параграфы 2 и 3 этой главы. Более точно, эти преобразования выглядят следующим образом:
1) $C_{j}^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}\alpha_{j}^{\prime} & \beta_{j}^{\prime} \\ \gamma_{j}^{\prime} & \delta_{j}^{\prime}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}1 & 0 \\ -k_{j}^{+} & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\alpha_{j} & \beta_{j} \\ \gamma_{j} & \delta_{j}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ k_{j}^{-} & 1\end{array}\right)=\left(A_{j}^{+}\right)^{-1} C_{j} A_{j}^{-}$, где $A_{j}^{\mp}=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ k_{j}^{\mp} & 1\end{array}\right)$,
2) $\left(\rho_{j}^{-}\right)^{\prime}=\rho_{j}^{-}+k_{j}^{-},\left(\rho_{j}^{+}\right)^{\prime}=\rho_{j}^{+}+k_{j}^{+}$,
3) $\Lambda_{c}^{* \prime}=\Lambda_{c}^{*}$,
где $k_{j}^{+}$и $k_{j}^{-}$- коэффициенты так называемых различающих 2-коцепей. См. параграфы 2,3 этой главы. Эти коцепи стоят на начале и конце каждого ребра $e_{j}$, и основное их свойство состоит в том, что сумма этих чисел, стоящих вокруг каждого седлового атома, равна нулю.
Мы можем теперь легко описать полный набор инвариантов описанного действия. Согласно второму принципу, в совокупности они дадут необходимый набор параметров $s t$-молекулы.

Итак, перейдем к описанию этих инвариантов. Они будут очень похожи на инварианты, определенные нами для топологического случая.

Начнем с реберных инвариантов. Как мы уже знаем, единственным инвариантом на ребре является функция вращения. См. параграф 1 главы 5. Функции $\rho_{j}^{-}, \rho_{j}^{+}$для этой цели, однако, не очень годятся, поскольку они зависят от выбора допустимых систем координат. Таким образом, проблема заключается в том, чтобы выбрать на торах однопараметрического семейства некоторый естественный однозначно определенный базис. Если ребро $e_{j}$ конечно, то это очень легко сделать. Действительно, геометрически условие $r
eq \infty$ означает, что однозначно определенные циклы $\lambda^{+}$и $\lambda^{-}$на торах Лиувилля данного семейства независимы, поэтому пара $\lambda^{+}, \lambda^{-}$вполне пригодна для использования в качестве «базиса» для записи функции вращения. Тот факт, что на самом деле они не образуют базиса в целочисленной решетке в данном случае не важен.

Переписывая функцию вращения в этом «базисе», мы получаем новую функцию (см. предложение 1.14)
\[
\rho_{j}=\beta_{j} \rho_{j}^{-}-\alpha_{j}
\]

где $\alpha_{j}$ и $\beta_{j}$ – коэффициенты матрицы склейки $C_{j}$. Отметим, что абсолютно то же самое мы сделали при построении $R$-инварианта.

Если же ребро является бесконечным, т. е. $r_{j}=\infty$, то циклы $\lambda^{+}$и $\lambda^{-}$гомологичны, и у нас нет никакого однозначного способа построения базиса на торах рассматриваемого семейства. Поэтому в качестве инварианта как и в топологическом случае мы рассмотрим функцию $\rho_{j}^{-}$по модулю единицы. Это означает, что две функции совпадают, если их разность является постоянной функцией, принимающей некоторое целое значение. Мы будем обозначать этот инвариант через $\rho_{j} \bmod 1$.

Итак, на каждом ребре появился некоторый инвариант: функция $\rho_{j}$ или $\rho_{j} \bmod 1$ в зависимости от типа ребра.

Следующий инвариант – это просто $\Lambda^{*}$-инвариант каждого атома. Он не зависит от выбора сечения и потому, согласно первому принципу, является траекторным инвариантом. Оказывается, этих двух самых естественных инвариантов уже достаточно для классификации.

Подведем итоги. Фиксировав интеграл $f$, мы получаем некоторый новый объект $W^{* s t}=\left\{W, r_{j}, \varepsilon_{j}, n_{k}, \rho_{j}, \Lambda_{m}\right\}$, называемый $s t$-молекулой. Здесь:

W – молекула системы.
$r_{j}, \varepsilon_{j}-r$ – и $\varepsilon$-метки, стоящие на ребрах молекулы. Индекс $j$ нумерует ребра, см. главу 4.
$n_{k}$ – $n$-метки, стоящие на семьях молекулы. Индекс $k$ нумерует семьи, см. главу 4 .
$\rho_{j}$ – функция вращения на ориентированном ребре молекулы. На бесконечных ребрах функция вращения берется по модулю целых чисел, т.е. $\rho \bmod 1$.

$\Lambda_{m}^{*} \quad-\Lambda^{*}$-инварианты гиперболических траекторий системы, стоящие на соответствующих вершинах седловых атомах. Индекс $m$ нумерует вершины седловых атомов.

Теорема 8.4. Пусть $\left(v_{1}, Q_{1}\right)$ и $\left(v_{2}, Q_{2}\right)$ – две интегрируемые гамильтоновы системы с двумя степенями, ограниченные на изоэнергетические подмногообразия. Пусть все атомы, входящие в соответствующие молекулы – плоские и без звездочек. Системы $\left(v_{1}, Q_{1}\right)$ и $\left(v_{2}, Q_{2}\right.$ ) гладко траекторно эквивалентны тогда $u$ только тогда, когда существуют боттовские интегралы $f_{1}$ и $f_{2}$ систем $\left(v_{1}, Q_{1}\right)$ $u\left(v_{2}, Q_{2}\right)$ такие, что отвечающие им st-молекулы $W_{1}^{* s t} u W_{2}^{* \text { st }}$ совпадают.
Комментарий. Другими словами, необходимые и достаточные условия существования гладкого траекторного изоморфизма состоят в следующем:
1) системы должны иметь одинаковое слоение Лиувилля,
2) после подходящей замены первых интегралов должны совпадать функции вращения $\rho$ и $\Lambda^{*}$-инварианты гиперболических замкнутых траекторий.
Никаких других инвариантов не требуется.

Комментарий. Некоторая трудность применения этой теоремы состоит в том, что пока совершенно непонятно каким образом можно установить существование или, наоборот, несуществование требуемой в теореме замены пары интегралов. Тем не менее, первым шагом всегда должно быть вычисление $s t$-молекул для систем, предъявленных для тестирования. Когда эти молекулы вычислены, нужно выяснять следующий вопрос: существует ли замена интеграла для одной из систем, при которой ее $s t$-молекула переходит в соответствующую $s t$-молекулу второй системы? На самом деле этот вопрос может быть решен на формальном уровне (см. [24], [25]).
Доказательство.
Мы хотим показать, что сведений о лиувиллевом слоении, и функций вида $\rho$ и $\rho \bmod 1$ достаточно для классификации.

Итак, пусть $s t$-молекулы систем $v_{1}$ и $v_{2}$ совпадают. Возьмем произвольное избыточное st-оснащение для первой системы, фиксировав для нее некоторые допустимые системы координат. Будем теперь подбирать замену допустимых систем координат так, чтобы получить избыточное st-оснащение, совпадающее с некоторым фиксированным st-оснащением, отвечающим второй системе. Мы будем употреблять далее нижние индексы 1 и 2 , чтобы различать между собой объекты, относящиеся к первой и второй системе соответственно.

Сделаем такую замену допустимых систем координат, чтобы совпали все матрицы склейки $C_{j}$ на всех ребрах. Это возможно в силу теории лиувиллевой классификации. Легко видеть, что после этого функции вращения $\rho_{1}^{-}$и $\rho_{2}^{-}$ на конечных ребрах совпадут, поскольку они однозначно выражаются через инвариантные функции из st-молекулы и коэффициенты матрицы склейки. Аналогичные рассуждения применимы к $\rho_{1}^{+}$и $\rho_{2}^{+}$. $\Lambda$-инварианты также совпадают автоматически, поскольку они вообще не меняются при заменах допустимых систем координат.

Нам остается, таким образом, уравнять функции вращения на бесконечных и супербесконечных ребрах. Пока они совпадают у нас по модулю единицы. Следующий шаг – это уравнивание функций вращения на бесконечных ребрах. Разрежем молекулу по всем конечным ребрам. Она распадется на некоторое число кусков, которые мы назовем семьями. Отметим, что это не совсем совпадает с классическим понятием семьи.

Наше первое утверждение состоит в том, что если кусок является настоящей семьей, т.е. не содержит атомов типа $A$, и кроме того является деревом, то автоматически при совпадении матриц склеек все функции вращения $\rho_{1 j}^{-}$и $\rho_{2 j}^{-}$ на внутренних ребрах этой семьи будут совпадать не по модулю единицы, а в точности.

Действительно, рассмотрим крайнюю вершину радикала-дерева. Из нее выходит ровно одно бесконечное ребро. Без ограничения общности будем считать, что все ребра выходят из этой вершины. Функции вращения $\rho_{1 j}^{-}$и $\rho_{2 j}^{-}$совпали на всех ребрах $e_{j}$, выходящих из данной вершины, за исключением этого единственного бесконечного ребра. На этом ребре функции вращения в принципе могут отличаться друг от друга на некоторое целое число. Покажем, что на самом деле они совпадают. Для этого вспомним, что сумма так называемых конечных частей функций вращения (они же – функции периодов редуцированной системы) на данном атоме по всем ребрам, выходящим из этого атома, равна нулю. Отсюда мгновенно следует, что конечные части двух функций вращения на рассматриваемом бесконечном ребре совпадают. Но тогда, очевидно, совпадают и сами функции. Действительно, если бы эти функции отличались на константу, то на ту же самую константу должны были бы отличаться их конечные части. Отметим, что после этого функции $\rho_{1 j}^{+}$и $\rho_{2 j}^{+}$также автоматически совпадут, поскольку они однозначно выражаются через $\rho_{1 j}^{-}$и $\rho_{2 j}^{-}$и матрицы склейки.
Рис. 8.9
Теперь, используя этот факт, мы можем двигаться по дереву-семье дальше, доказывая последовательно совпадение функций вращения на всех ребрах семьи.

Рассмотрим теперь случай, когда семья $U$ не является деревом или содержит атомы типа $A$. Если семья содержит атомы типа $A$, то изготовим из нее новый геометрический объект $\widetilde{U}$, склеив вместе все атомы $A$ в одну точку (рис. 8.9).

Если этот новый граф не имеет циклов, то исходный кусок содержал не более одного атома типа $A$, все остальные атомы были седловые. В этом случае мы

можем дословно повторить наше рассуждение, сделанное выше, перебирая последовательно все крайние вершины этого дерева, но не трогая атома $A$, оставляя его для последнего шага.

Пусть, наконец, $\widetilde{U}$ деревом не является. Рассмотрим произвольный цикл этого графа. Мы утверждаем, что можно таким образом изменить допустимые системы координат для второй системы, чтобы матрицы склейки не изменились, а на одном из ребер этого цикла функции $\rho_{1 j}^{-}$и $\rho_{2 j}^{-}$совпали. При этом изменения систем координат на торах будут происходить только на ребрах этого цикла, в частности, на всех остальных ребрах функции вращения меняться не будут.

Итак, возьмем произвольный цикл, т.е. замкнутую ломаную без самопересечений, образованную ребрами $e_{1}, \ldots, e_{m}$. Без ограничения общности мы можем считать, что ориентация на ребрах соответствует некоторой ориентации на цикле (рис. 8.10).

Возьмем произвольное ребро $e_{j_{0}}$ из этого цикла, соединяющее некоторые атомы $V_{j_{1}}$ и $V_{j_{2}}$, т.е. две вершины рассматриваемой ломаной. Предположим, что функции вращения на ребpe $e_{j_{0}}$ не совпали, другими словами, $\rho_{1 j_{0}}^{-}=\rho_{2 j_{0}}-k$. Здесь индексы 1 и 2 со-

Рис. 8.10 ответствуют номеру оснащения, а не номеру ребра. Сделаем тогда следующую допустимую замену координат на всех ребрах $e_{j}$, образующих данный цикл:
\[
\left\{\begin{array} { l }
{ \lambda _ { j } ^ { + ^ { \prime } } = \lambda _ { j } ^ { + } } \\
{ { \mu _ { j } ^ { + } } ^ { \prime } = \mu _ { j } ^ { + } – k \lambda _ { j } ^ { + } , }
\end{array} \quad \left\{\begin{array}{l}
\lambda_{j}^{-\prime}=\lambda_{j}^{-} \\
\mu_{j}^{-\prime}=\mu_{j}^{-}+k \lambda_{j}^{-} .
\end{array}\right.\right.
\]

Легко видеть, что такая замена координат допустима. Действительно, если конец или начало ребра является атомом типа $A$, то такая замена допустима по определению. Если же конец ребра является седловым атомом, то из этого атома по нашему построению обязательно выходит некоторое ребро из рассматриваемого цикла (рис. 8.10). Поэтому замена затрагивает одновременно два ребра инцидентных данному атому, причем сумма коэффициентов «k» для этой замены равна нулю, что и означает допустимость замены. См. параграф 1 главы 4.

Далее, легко видеть, что замена не меняет матриц склеек. Единственные изменения в избыточном $s t$-оснащении $\mathbb{S}_{1}$ относятся к функциям вращения на ребрах, образующих цикл. Ко всем этим функциям вращения $\rho_{2 j}^{-}$добавляется целое число $k$. Поэтому, в частности, на выбранном нами бесконечном ребре $e_{j_{0}}$ функции вращения $\rho_{2 j_{0}}^{-}$и $\rho_{1 j_{0}}^{-}$совпали.

Теперь мы это ребро больше не трогаем. Если в радикале после удаления ребра $e_{1}$ остались некоторые циклы, мы повторяем описанную процедуру до тех пор, пока радикал не превратится в дерево или в несвязное объединение деревьев. Для деревьев, как мы уже видели, совпадение функций вращения будет иметь

место автоматически, если на всех остальных ребрах, окружающих это дерево, функции вращения уже уравнены.

Итак, мы уравняли функции вращения на всех ребрах молекулы, что и требовалось. Теперь избыточные оснащения совпали, и мы можем применить основную лемму, согласно которой системы будут гладко траекторно эквивалентны. Теорема доказана.