Напомним, что род атома $V=\left(P^{2}, K\right)$ — это род двумерной ориентированной поверхности $\widetilde{P}$, получающейся из атома заклейкой дисками всех его граничных окружностей. Сейчас мы обсудим вопрос — сколько существует максимально симметричных атомов фиксированного рода. Для плоских атомов получается полная классификация.

Теорема 2.14 (Н. В. Коровина).

а) Для каждого целого числа $g>1$ существует лищь конечное число максимально симметричных атомов рода $g$. Примеры указаны ниже.
б) Полный список максимально симметричных атомов рода $g=1$, m.е. торических, состоит из двух бесконечных серий, описанных ниже.
в) Полный список максимально симметричных атомов рода $g=0$, т. е. плоских, состоит из одной бесконечной серии и трех исключительных максимально симметричных плоских атомов, описанных ниже.

Доказательство.
Выше мы показали (см. пункт 7.7 и рис. 2.37), что каждому атому ( $P, K$ ) можно каноническим образом сопоставить клеточное разбиение поверхности $\widetilde{P}$, т.е. ее разбиение на многоугольники. Легко видеть, что если атом максимально симметричен, то максимально симметричным является и это разбиение. Это означает, что для любой пары ребер этого разбиения существует гомеоморфизм разбиения на себя, переводящий первое ребро во второе, и кроме того, для каждого ребра существует гомеоморфизм разбиения на себя, оставляющий ребро на месте, но меняющий местами его концы. При этом предполагается, что гомеоморфизмы сохраняют ориентацию. Отсюда, в частности, следует, что все многоугольники разбиения имеют одинаковое число сторон, а все вершины имеют одинаковую кратность. Таким образом, задача сводится к описанию симметричных разбиений замкнутой ориентированной поверхности.

Итак, сопоставим каждому максимально симметричному атому, точнее $f$-атому, разбиение на многоугольники, описанное выше. Пусть $n$ — общее число ребер этого разбиения, $p$ — число многоугольников, а $q$ — число вершин.

Отметим, что $n$ совпадает с числом вершин исходного атома $(P, K)$. Обозначим через $l$ — число сторон каждого многоугольника, а через $m$ — кратность каждой вершины. Поскольку каждое ребро соединяет две вершины и лежит в границе двух многоугольников с учетом кратности, то справедливы следующие очевидные соотношения
\[
p l=q m=2 n .
\]

С другой стороны, эйлерова характеристика поверхности $\widetilde{P}$, следующим образом выражается через $n, p, q$ :
\[
\chi=p-n+q .
\]

Отсюда получается следующая система уравнений:
\[
\begin{aligned}
\chi & =-n+2 n\left(\frac{1}{l}+\frac{1}{m}\right), \\
p l & =2 n, \\
q m & =2 n .
\end{aligned}
\]

Нас интересуют все положительные целочисленные решения этой системы. Рассмотрим последовательно все случаи а, б, в.
a) Случай сферы с $g$ ручками, где $g>1$. Здесь $\chi<0$. Система уравнений принимает здесь такой вид:
\[
\begin{aligned}
n & =\chi \frac{l m}{2(m+l)-l m}, \\
p l & =2 n, \\
q m & =2 n .
\end{aligned}
\]

Интересующие нас решения, т.е. целочисленные точки $(l, m)$, находятся в области $D$, заключенной между двумя гиперболами. См. рис. 2.43. В самом деле, условие положительности числа $n(l, m)$ дает нам нижнюю гиперболу. Действительно, условие положительности числа $\chi \frac{l m}{2(m+l)-l m}$ эквивалентно условию $2(m+l)-l m<0$, поскольку $\chi l m<0$. Ясно, что уравнение $2(m+l)-l m=0$ определяет гиперболу на плоскости $(l, m)$ с асимптотами $l=2, m=2$ (рис. 2.43). Эквивалентным Рис. 2.43 образом, можно считать, что нижняя гипербола получается при $n \rightarrow \infty$.

Верхняя гипербола определяется так. Из условия $p, q>1$ вытекает, что $\chi=$ $=-n+(p+q) \geqslant-n+2$, то есть $n \geqslant 2-\chi$. Следовательно,
\[
\chi \frac{l m}{2(m+l)-l m} \geqslant 2-\chi,
\]

откуда $l m \leqslant(2-\chi)(l+m)$. Уравнение $l m=(2-\chi)(l+m)$ определяет верхнюю гиперболу.

Рассмотрим линии уровня функции $n(l, m)$. Легко видеть, что все они являются гиперболами, причем при $n(l, m)=2-\chi$ мы получаем верхнюю границу области $D$, а при увеличении $n$ эти гиперболы движутся вниз, и стремятся к нижней гиперболе, которую можно считать отвечающей значению $n=\infty$.
Рис. 2.44
Рис. 2.45
Теперь докажем конечность числа решений системы уравнений. Все целочисленные точки $(l, m)$, являющиеся решениями, лежат на описанных выше гиперболах из области $D$. На каждой такой гиперболе есть лишь конечное число целых точек-решений. Дело в том, что имеется лишь конечное число атомов данной сложности $n$, где параметр $n$ задает данную гиперболу. С ростом $n$, очевидно, наступает момент, когда гипербола, приближаясь к нижней границе области $D$, оказывается настолько близко от нее, что между этими двумя гиперболами вообще нет ни одной целой точки. С другой стороны, число атомов сложности, не превосходящей $n$, тоже конечно. Все целые точки, отвечающие таким атомам, расположены в уже пройденной нами части области $D$. Пункт (a) теоремы доказан.

Приведем теперь примеры максимально симметричных атомов рода $g>1$. Мы укажем две такие серии. Удобнее всего предъявить их на языке $f$-графов. На рис. 2.44 изображены две серии $f$-графов $X_{n}, Y_{n}$, где $n \geqslant 4$. На рис. 2.45 изображены сами соответствующие атомы. Их тип, очевидно, зависит от четности числа $n$, т. е. от количества вершин атома. Для атомов серии $X_{n}$ их род $g$ вычисляется так:
\[
g=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{n-1}{2}, & \text { если } n \text { нечетно, } \\
\frac{n-2}{2}, & \text { если } n \text { четно. }
\end{array}\right.
\]

Для атомов серии $Y_{n}$ их род $g$ вычисляется по формуле:
\[
g=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{n-1}{2}, & \text { если } n \text { нечетно, } \\
\frac{n}{2}, & \text { если } n \text { четно. }
\end{array}\right.
\]

Обе серии атомов максимально симметричны. Группа симметрий атомов серии $X_{n}$ изоморфна $\mathbb{Z}_{n} \oplus \mathbb{Z}_{2}$, а группа симметрий атомов $Y_{n}$ изоморфна $\mathbb{Z}_{2 n}$. В обоих случаях порядок группы равен $2 n$. Впрочем, стоит отметить, что атомы $X_{n}$ при нечетном $n$ изоморфны атомам $Y_{n}$ при нечетном $n$. Условно можно записать $X_{2 p+1}=Y_{2 p+1}$. При четном $n=2 p$ атомы $X_{2 p}$ и $Y_{2 p}$ не изоморфны. У них разный род, и разные группы симметрий. Изоморфизм атомов $X_{2 p+1}$ и $Y_{2 p+1}$ можно получить просто поменяв знак функции $f$ на $f$-атоме $X_{2 p+1}$. Поэтому, окончательно, две серии различных атомов рода $g>1$ выглядят так. Это $X_{n}$, где $n$ — любое, большее чем 3 , и $Y_{2 p}$, где $p>1$.

Полезно изобразить обе серии атомов на симметричной плоской развертке сферы с $g$ ручками, то есть на ее плоском фундаментальном многоугольнике. Для серии атомов $X_{n}$ нужно взять фундаментальный $2 n$-многоугольник в виде
\[
\left(a_{1} a_{n}^{-1}\right)\left(a_{2} a_{1}^{-1}\right)\left(a_{3} a_{2}^{-1}\right) \ldots\left(a_{i} a_{i-1}^{-1}\right) \ldots\left(a_{n} a_{n-1}^{-1}\right)
\]

и нарисовать на нем скелет $K$ атома $X_{n}$ как показано на рис. 2.46. Здесь, как обычно, для восстановления сферы с $g$ ручками, нужно склеить стороны фундаментального многоугольника, помеченные одинаковыми буквами с учетом их ориентации.

Для серии атомов $Y_{n}$ нужно взять плоский фундаментальный $2 n$-угольник в симметричном виде
\[
\left(a_{1} a_{2} \ldots a_{n}\right)\left(a_{1}^{-1} a_{2}^{-1} \ldots a_{n}^{-1}\right)
\]

и нарисовать на нем скелет $K$ атома $Y_{n}$ как показано на рис. 2.47.
б) Случай тора, т.е. $g=1$. Здесь система уравнений принимает вид:
\[
\begin{aligned}
l m & =2(l+m), \\
p l & =2 n, \\
q m & =2 n .
\end{aligned}
\]

Полный список всех целых положительных решений этой системы выглядит так. 1-я серия: $m=l=4, n$ четное.

2-я серия: $m=3, l=6$ (или наоборот, $m=6, l=3$ ), $n$ делится на 3 .
Предъявим две соответствующие бесконечные серии максимально симметричных атомов.
Рис. 2.49

Построение атомов первой серии. Рассмотрим на евклидовой плоскости $\mathbb{R}^{2}$ стандартное разбиение на квадраты со стороной единица. См. рис. 2.48. Пусть $\left(k_{1}, k_{2}\right)$ и ( $\left.k_{2},-k_{1}\right)$ — пара ортогональных целочисленных векторов, где целые числа $k_{1}, k_{2}$ — произвольные. Рассмотрим решетку на плоскости, порожденную этими векторами. Она квадратная, то есть ее фундаментальной областью является квадрат, натянутый на векторы $\left(k_{1}, k_{2}\right)$ и $\left(k_{2},-k_{1}\right)$. Возьмем фактор плоскости $\mathbb{R}^{2}$ по этой решетке. Получится двумерный тор. Он разбит на квадраты, происходящие из исходного разбиения плоскости на мелкие квадраты. Легко видеть, что это разбиение максимально симметрично в указанном выше смысле.
Изготовим из этого разбиения атом тем способом, который был описан в пункте 7.7. Отметим середины ребер всех мелких квадратов на торе. Соединим их попарно как показано на рис. 2.49. Получится граф с вершинами кратности 4 . Его мы возьмем за граф $K$ конструируемого атома. Сам атом возникает как трубчатая окрестность своего графа $K$ (рис. 2.49). Группа симметрий этого атома совпадает с группой симметрий исходного разбиения плоскости на мелкие квадраты. Почему этот атом максимально симметричен? Потому, что мы начинали с максимально симметричного разбиения. В самом деле, любое ребро можно перевести посредством симметрий исходного мелкого разбиения — в любое. Далее, любое ребро можно отобразить на себя посредством тех же симметрий, поменяв местами концы ребра. При переходе от исходного мелкого разбиения к атому мы видим, что каждое ребро превратилось в вершину. Следовательно, группа симметрий транзитивно действует на множестве вершин атома, и кроме того, для каждой вершины атома существует симметрия, которая действует в окрестности этой вершины как центральная симметрия. Это и означает максимальную симметричность атома (см. теорему выше). Подчеркнем здесь важность того обстоятельства, что решетка, по которой мы факторизовали плоскость, выдерживает поворот на угол $\frac{\pi}{2}$. Легко видеть, что здесь $m=l=4$ и $n-$ четное.

Построение атомов второй серии. Теперь вместо квадратного замощения плоскости, рассмотрим разбиение плоскости $\mathbb{R}^{2}$ на равносторонние треугольники (рис. 2.50). Снова возьмем произвольный вектор этой треугольной решетки и повернем его на угол $\frac{\pi}{3}$. Получившиеся таким образом два вектора возьмем за базис новой решетки. Она, очевидно, инвариантна относительно поворота на угол $\frac{\pi}{3}$. Рассмотрим тор, получающийся факторизацией плоскости по этой решетке. На торе возникает разбиение на равносторонние треугольники. Как и в предыдущем случае это разбиение максимально симметрично, и мы построим по нему атом. В качестве его вершин возьмем середины сторон треугольников, и соединим их попарно, как показано на рис. 2.51. Получится атом, у которого все положительные циклы имеют одинаковую длину $l=6$, а все отрицательные циклы — одинаковую длину $m=3$. Или наоборот, т. е. $l=3, m=6$, что зависит от выбора направления роста функции $f$ на атоме.

Снова, как и в предыдущем случае, группа симметрий построенного атома совпадает с группой симметрий исходного разбиения на треугольники и поэтому является максимальной. Следовательно, мы предъявили серию атомов, удовлетворяющих условию $m=3, l=6$ (или наоборот, $m=6, l=3$ ), $n$ делится на 3 .

Докажем, что этими двумя сериями исчерпывается множество всех максимально симметричных атомов рода $g=1$, т. е. расположенных на торе.
Рис. 2.51
Как мы уже отметили выше, вместо классификации максимально симметричных атомов $V=(P, K)$ можно классифицировать максимально симметричные разбиения поверхности $\widetilde{P}$. В данном случае — тора.

Поскольку сейчас нас интересует именно тор, то можно рассмотреть универсальное накрытие тора плоскостью. Атом $V$ при этом накрывается каким-то бесконечным атомом $\widetilde{V}$, вложенным в плоскость. Аналогично, описанное нами разбиение тора графом $L(K)$ на области, накроется соответствующим максимально симметричным разбиением плоскости на области. Отметим, что максимальная симметричность получающегося разбиения плоскости следует из того, что каждая сим-

Рис. 2.52 метрия поднимается с базы, т.е. с тора, до некоторой симметрии на накрывающей плоскости.

Поскольку мы уже знаем полный список всех решений системы уравнений, то видим что получившееся разбиение плоскости должно удовлетворять одному из следующих двух условий: либо $m=l=4$, либо $m=6, l=3$ (или наоборот, $m=3, l=6$ ). Отсюда видно, что разбиение плоскости на правильные

области устроено так. Либо это разбиение на квадраты, либо — разбиение на треугольники. Легко видеть, что тогда оно совпадает с точностью до гомеоморфизма либо со стандартным разбиением плоскости на квадраты, либо со стандартным разбиением плоскости на правильные треугольники. Но эти два разбиения как раз и давали нам две бесконечных серии максимально симметричных атомов. При $m=3, l=6$ мы получим разбиение на шестиугольники, двойственное к разбиению на треугольники. Это не дает новых атомов, и поэтому мы такой случай можем отдельно не рассматривать.

Решетка, по которой происходит факторизация плоскости, очевидно должна сохраняться при симметриях атома. Для разбиений плоскости на квадраты эта решетка должна переходить в себя при повороте на угол $\frac{\pi}{2}$. Следовательно, она устроена в точности так, как уже описанная нами выше решетка. Нужно взять произвольный узел $\left(k_{1}, k_{2}\right.$ ) решетки и повернуть соответствующий вектор на угол $\frac{\pi}{2}$. Итак, в случае разбиения плоскости на квадратные области ничего другого, кроме указанной нами серии атомов, — нет. Совершенно аналогично рассматривается и случай разбиения плоскости на треугольники. И здесь получается, что предъявленная нами серия атомов — единственная. Здесь вектор вида ( $k_{1}, k_{2}$ ) нужно поворачивать на угол $\frac{\pi}{3}$. Пункт (б) теоремы доказан.
в) Случай сферы, т.е. $g=0$. Максимально симметричные разбиения сферы хорошо известны. Напомним их описание и укажем соответствующие им атомы. Здесь мы имеем
\[
n=\frac{2 l m}{2(l+m)-l m} .
\]

Легко видеть, что все интересующие нас пары $(m, l$ ) решений таковы (см. рис. 2.52):
а) $m=l=3, n=6$,
б) $m=3, l=4$ (или $m=4, l=3$ ), $n=12$,
в) $m=3, l=5$ (или $m=5, l=3$ ), $n=30$,
г) $m=2, l=$ целое $>0$ (или $l=2, m=$ целое $>0$ ), $n=l$.
Максимально симметричные разбиения, соответствующие этим решениям, хорошо известны. Это — так называемые платоновы тела и еще два специальных разбиения. См., например, книгу Д. Гильберта и С. Кон-Фоссена [57]. Напомним, что платоновы тела — это пять классических многогранников, показанные на рис. 2.53, — тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Два других специальных правильных разбиения изображены на рис. 2.54. Других правильных разбиений двумерной сферы нет.

Осталось предъявить в явном виде атомы, отвечающие пяти платоновым телам и двум специальных сериям. На рис. 2.53 пунктиром изображены скелеты $K$ атомов, отвечающих платоновым телам. Как и выше, достаточно соединить середины соседних ребер, сходящихся в одной вершине платонова тела. Напомним,

что общее правило построения атома по заданному разбиению поверхности на многоугольные области показано на рис. 2.37. Как видно из рис. 2.53 получается в действительности не пять, а всего лишь три различных атома. Первый получается из тетраэдра. Второй получается из октаэдра или из куба. Третий — из икосаэдра или додекаэдра.

Два специальных разбиения двумерной сферы порождают один и тот же атом. Его скелет $K$ показан пунктиром на рис. 2.54.

На рис. 2.55(a, b, c, d) показаны скелеты $K$ всех перечисленных атомов в их развертке на плоскость.

На рис. 2.56(a, b, c, d) изображены сами максимально симметричные плоские (то есть сферические) атомы.

Теорема 2.14 полностью доказана.