Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Напомним, что род атома $V=\left(P^{2}, K\right)$ – это род двумерной ориентированной поверхности $\widetilde{P}$, получающейся из атома заклейкой дисками всех его граничных окружностей. Сейчас мы обсудим вопрос – сколько существует максимально симметричных атомов фиксированного рода. Для плоских атомов получается полная классификация. Теорема 2.14 (Н. В. Коровина). а) Для каждого целого числа $g>1$ существует лищь конечное число максимально симметричных атомов рода $g$. Примеры указаны ниже. Доказательство. Итак, сопоставим каждому максимально симметричному атому, точнее $f$-атому, разбиение на многоугольники, описанное выше. Пусть $n$ – общее число ребер этого разбиения, $p$ – число многоугольников, а $q$ – число вершин. Отметим, что $n$ совпадает с числом вершин исходного атома $(P, K)$. Обозначим через $l$ – число сторон каждого многоугольника, а через $m$ – кратность каждой вершины. Поскольку каждое ребро соединяет две вершины и лежит в границе двух многоугольников с учетом кратности, то справедливы следующие очевидные соотношения С другой стороны, эйлерова характеристика поверхности $\widetilde{P}$, следующим образом выражается через $n, p, q$ : Отсюда получается следующая система уравнений: Нас интересуют все положительные целочисленные решения этой системы. Рассмотрим последовательно все случаи а, б, в. Интересующие нас решения, т.е. целочисленные точки $(l, m)$, находятся в области $D$, заключенной между двумя гиперболами. См. рис. 2.43. В самом деле, условие положительности числа $n(l, m)$ дает нам нижнюю гиперболу. Действительно, условие положительности числа $\chi \frac{l m}{2(m+l)-l m}$ эквивалентно условию $2(m+l)-l m<0$, поскольку $\chi l m<0$. Ясно, что уравнение $2(m+l)-l m=0$ определяет гиперболу на плоскости $(l, m)$ с асимптотами $l=2, m=2$ (рис. 2.43). Эквивалентным Рис. 2.43 образом, можно считать, что нижняя гипербола получается при $n \rightarrow \infty$. Верхняя гипербола определяется так. Из условия $p, q>1$ вытекает, что $\chi=$ $=-n+(p+q) \geqslant-n+2$, то есть $n \geqslant 2-\chi$. Следовательно, откуда $l m \leqslant(2-\chi)(l+m)$. Уравнение $l m=(2-\chi)(l+m)$ определяет верхнюю гиперболу. Рассмотрим линии уровня функции $n(l, m)$. Легко видеть, что все они являются гиперболами, причем при $n(l, m)=2-\chi$ мы получаем верхнюю границу области $D$, а при увеличении $n$ эти гиперболы движутся вниз, и стремятся к нижней гиперболе, которую можно считать отвечающей значению $n=\infty$. Приведем теперь примеры максимально симметричных атомов рода $g>1$. Мы укажем две такие серии. Удобнее всего предъявить их на языке $f$-графов. На рис. 2.44 изображены две серии $f$-графов $X_{n}, Y_{n}$, где $n \geqslant 4$. На рис. 2.45 изображены сами соответствующие атомы. Их тип, очевидно, зависит от четности числа $n$, т. е. от количества вершин атома. Для атомов серии $X_{n}$ их род $g$ вычисляется так: Для атомов серии $Y_{n}$ их род $g$ вычисляется по формуле: Обе серии атомов максимально симметричны. Группа симметрий атомов серии $X_{n}$ изоморфна $\mathbb{Z}_{n} \oplus \mathbb{Z}_{2}$, а группа симметрий атомов $Y_{n}$ изоморфна $\mathbb{Z}_{2 n}$. В обоих случаях порядок группы равен $2 n$. Впрочем, стоит отметить, что атомы $X_{n}$ при нечетном $n$ изоморфны атомам $Y_{n}$ при нечетном $n$. Условно можно записать $X_{2 p+1}=Y_{2 p+1}$. При четном $n=2 p$ атомы $X_{2 p}$ и $Y_{2 p}$ не изоморфны. У них разный род, и разные группы симметрий. Изоморфизм атомов $X_{2 p+1}$ и $Y_{2 p+1}$ можно получить просто поменяв знак функции $f$ на $f$-атоме $X_{2 p+1}$. Поэтому, окончательно, две серии различных атомов рода $g>1$ выглядят так. Это $X_{n}$, где $n$ – любое, большее чем 3 , и $Y_{2 p}$, где $p>1$. Полезно изобразить обе серии атомов на симметричной плоской развертке сферы с $g$ ручками, то есть на ее плоском фундаментальном многоугольнике. Для серии атомов $X_{n}$ нужно взять фундаментальный $2 n$-многоугольник в виде и нарисовать на нем скелет $K$ атома $X_{n}$ как показано на рис. 2.46. Здесь, как обычно, для восстановления сферы с $g$ ручками, нужно склеить стороны фундаментального многоугольника, помеченные одинаковыми буквами с учетом их ориентации. Для серии атомов $Y_{n}$ нужно взять плоский фундаментальный $2 n$-угольник в симметричном виде и нарисовать на нем скелет $K$ атома $Y_{n}$ как показано на рис. 2.47. Полный список всех целых положительных решений этой системы выглядит так. 1-я серия: $m=l=4, n$ четное. 2-я серия: $m=3, l=6$ (или наоборот, $m=6, l=3$ ), $n$ делится на 3 . Построение атомов первой серии. Рассмотрим на евклидовой плоскости $\mathbb{R}^{2}$ стандартное разбиение на квадраты со стороной единица. См. рис. 2.48. Пусть $\left(k_{1}, k_{2}\right)$ и ( $\left.k_{2},-k_{1}\right)$ – пара ортогональных целочисленных векторов, где целые числа $k_{1}, k_{2}$ – произвольные. Рассмотрим решетку на плоскости, порожденную этими векторами. Она квадратная, то есть ее фундаментальной областью является квадрат, натянутый на векторы $\left(k_{1}, k_{2}\right)$ и $\left(k_{2},-k_{1}\right)$. Возьмем фактор плоскости $\mathbb{R}^{2}$ по этой решетке. Получится двумерный тор. Он разбит на квадраты, происходящие из исходного разбиения плоскости на мелкие квадраты. Легко видеть, что это разбиение максимально симметрично в указанном выше смысле. Построение атомов второй серии. Теперь вместо квадратного замощения плоскости, рассмотрим разбиение плоскости $\mathbb{R}^{2}$ на равносторонние треугольники (рис. 2.50). Снова возьмем произвольный вектор этой треугольной решетки и повернем его на угол $\frac{\pi}{3}$. Получившиеся таким образом два вектора возьмем за базис новой решетки. Она, очевидно, инвариантна относительно поворота на угол $\frac{\pi}{3}$. Рассмотрим тор, получающийся факторизацией плоскости по этой решетке. На торе возникает разбиение на равносторонние треугольники. Как и в предыдущем случае это разбиение максимально симметрично, и мы построим по нему атом. В качестве его вершин возьмем середины сторон треугольников, и соединим их попарно, как показано на рис. 2.51. Получится атом, у которого все положительные циклы имеют одинаковую длину $l=6$, а все отрицательные циклы – одинаковую длину $m=3$. Или наоборот, т. е. $l=3, m=6$, что зависит от выбора направления роста функции $f$ на атоме. Снова, как и в предыдущем случае, группа симметрий построенного атома совпадает с группой симметрий исходного разбиения на треугольники и поэтому является максимальной. Следовательно, мы предъявили серию атомов, удовлетворяющих условию $m=3, l=6$ (или наоборот, $m=6, l=3$ ), $n$ делится на 3 . Докажем, что этими двумя сериями исчерпывается множество всех максимально симметричных атомов рода $g=1$, т. е. расположенных на торе. Поскольку сейчас нас интересует именно тор, то можно рассмотреть универсальное накрытие тора плоскостью. Атом $V$ при этом накрывается каким-то бесконечным атомом $\widetilde{V}$, вложенным в плоскость. Аналогично, описанное нами разбиение тора графом $L(K)$ на области, накроется соответствующим максимально симметричным разбиением плоскости на области. Отметим, что максимальная симметричность получающегося разбиения плоскости следует из того, что каждая сим- Рис. 2.52 метрия поднимается с базы, т.е. с тора, до некоторой симметрии на накрывающей плоскости. Поскольку мы уже знаем полный список всех решений системы уравнений, то видим что получившееся разбиение плоскости должно удовлетворять одному из следующих двух условий: либо $m=l=4$, либо $m=6, l=3$ (или наоборот, $m=3, l=6$ ). Отсюда видно, что разбиение плоскости на правильные области устроено так. Либо это разбиение на квадраты, либо – разбиение на треугольники. Легко видеть, что тогда оно совпадает с точностью до гомеоморфизма либо со стандартным разбиением плоскости на квадраты, либо со стандартным разбиением плоскости на правильные треугольники. Но эти два разбиения как раз и давали нам две бесконечных серии максимально симметричных атомов. При $m=3, l=6$ мы получим разбиение на шестиугольники, двойственное к разбиению на треугольники. Это не дает новых атомов, и поэтому мы такой случай можем отдельно не рассматривать. Решетка, по которой происходит факторизация плоскости, очевидно должна сохраняться при симметриях атома. Для разбиений плоскости на квадраты эта решетка должна переходить в себя при повороте на угол $\frac{\pi}{2}$. Следовательно, она устроена в точности так, как уже описанная нами выше решетка. Нужно взять произвольный узел $\left(k_{1}, k_{2}\right.$ ) решетки и повернуть соответствующий вектор на угол $\frac{\pi}{2}$. Итак, в случае разбиения плоскости на квадратные области ничего другого, кроме указанной нами серии атомов, – нет. Совершенно аналогично рассматривается и случай разбиения плоскости на треугольники. И здесь получается, что предъявленная нами серия атомов – единственная. Здесь вектор вида ( $k_{1}, k_{2}$ ) нужно поворачивать на угол $\frac{\pi}{3}$. Пункт (б) теоремы доказан. Легко видеть, что все интересующие нас пары $(m, l$ ) решений таковы (см. рис. 2.52): Осталось предъявить в явном виде атомы, отвечающие пяти платоновым телам и двум специальных сериям. На рис. 2.53 пунктиром изображены скелеты $K$ атомов, отвечающих платоновым телам. Как и выше, достаточно соединить середины соседних ребер, сходящихся в одной вершине платонова тела. Напомним, что общее правило построения атома по заданному разбиению поверхности на многоугольные области показано на рис. 2.37. Как видно из рис. 2.53 получается в действительности не пять, а всего лишь три различных атома. Первый получается из тетраэдра. Второй получается из октаэдра или из куба. Третий – из икосаэдра или додекаэдра. Два специальных разбиения двумерной сферы порождают один и тот же атом. Его скелет $K$ показан пунктиром на рис. 2.54. На рис. 2.55(a, b, c, d) показаны скелеты $K$ всех перечисленных атомов в их развертке на плоскость. На рис. 2.56(a, b, c, d) изображены сами максимально симметричные плоские (то есть сферические) атомы. Теорема 2.14 полностью доказана.
|
1 |
Оглавление
|