Пример 1. Рассмотрим на торе функцию Морса, линии уровня которой показаны на рис. 2.70. Тор представлен в виде квадрата с отождествленными сторонами. Ясно, что это — сложная функция Морса и соответствующая ей молекула имеет вид
$$A-C_1-A\text{. }$$

Атом $C_1$ показан на том же рис. 2.70. Его сложность, т.е. атомный вес, равна двум, его валентность тоже равна двум.
Рис. 2.70
Эту же функцию можно представить в виде функции высоты при подходящем вложении тора $T^2$ в ${\mathbb{R}}^3$. В самом деле, рассмотрим сначала стандартное вертикальное вложение тора, показанное на рис. 2.71(a). Начнем теперь класть тор плашмя на горизонтальную плоскость, стремясь поместить обе седловые критические точки на один уровень. Это произойдет, конечно, раньше, чем тор ляжет на плоскость. Наклоняя тор, будем следить за деформацией линий уровня его функции высоты. Удобно следить за происходящим, глядя на тор сверху. Две восьмерки, отвечающие седловым критическим точкам, начинают сближаться. На рис. 2.71(b) показан момент перед их слиянием. На рис. 2.71(c) показана критическая линия уровня, на которой теперь оказываются две седловые критические точки. На рис. 2.71(d) показана трубчатая окрестность этого критического

уровня, т.е. атом. Это и есть один из сложных атомов, который мы будем в дальнейшем обозначать $C_1$.
Рис. 2.72
Рис. 2.73

Пример 2. Рассмотрим на бутылке Клейна функцию Морса, линии уровня которой изображены на рис. 2.72. На седловом критическом уровне этой функции ровно две критические точки. Легко видеть, что соответствующий атом совпадает с уже известным нам атомом $M$ (см. выше). Таким образом, получаем пример сложной функции Морса на бутылке Клейна с молекулой вида:
$$A-M-A\text{. }$$

Как и в случае тора эту сложную функцию можно представить в виде функции высоты при подходящем погружении бутылки Клейна в ${\mathbb{R}}^3$. Для этого нужно поместить ее в ${\mathbb{R}}^3$ вертикально как на рис. 2.18. Поступая по аналогии со случаем тора, будем теперь класть ее плашмя на горизонтальную плоскость, стремясь поместить оба седла на один уровень. В тот момент, когда это произойдет, мы и получим искомую функцию высоты с молекулой
$$A-M-A\text{. }$$

Пример 3. Рассмотрим на сфере $S^2$, вложенной в ${\mathbb{R}}^3$, четную функцию Морса
$$f=x^2+2y^2+3z^2.$$

у нее три критических значения. Максимальному значению отвечают две точки локального максимума, минимальному — два локальных минимума. Седлово-
му значению отвечают два седла на одном уровне. Функция $f$ четна, поэтому ее седловой атом имеет вид, показанный на рис. 2.73. Этот атом мы будем в дальнейшем называть $C_2$. Следует отметить, что этот атом, оказывается, играет важную роль в теории классификации интегрируемых систем. Он возникает, например, в интегрируемых задачах Якоби, Эйлера, Ковалевской, Стеклова, в теории геодезических потоков на сфере и т. д. В то же время, атом $C_1$ встречается в теории интегрируемых систем заметно реже. Об этом подробнее мы поговорим ниже.