Рассмотрим симплектическое 4-многообразие $M^{4}$ с интегрируемой гамильтоновой системой $v=\operatorname{sgrad} H$. Пусть $Q_{h}^{3}=\{H=h\}$ – неособая компактная связная изоэнергетическая поверхность в $M^{4}, f$ – дополнительный интеграл системы $v$, независимый с $H$. Его ограничение на $Q_{h}^{3}$ мы обозначим той же буквой $f$ и будем предполагать, что $f$ – функция Ботта на $Q_{h}^{3}$. Наша цель изучить топологию слоения Лиувилля на $Q_{h}^{3}$, определяемого данной интегрируемой системой. Напомним, что его неособые слои – это торы Лиувилля, а особые слои соответствуют критическим уровням интеграла $f$ на $Q_{h}^{3}$.

Отметим прежде всего, что слоение Лиувилля как правило не зависит от конкретного выбора интеграла $f$.
Предложение 3.1. Пусть система $v$ нерезонансна на $Q_{h}^{3}$. Тогда соответствующие слоения Лиувилля на $Q_{h}^{3}$ полностью определяется лишь гамильтонианом $H$ и не зависит от конкретного выбора дополнительного боттовского интеграла $f$. Доказательство.

Из нерезонансности системы следует, что почти все торы Лиувилля являются замыканиями интегральных траекторий системы $v=\operatorname{sgrad} H$. Таким образом, почти все неособые поверхности уровня интеграла $f$ однозначно задаются самим гамильтонианом $H$. Ясно, что если $f$ и $f^{\prime}$ – два боттовских интеграла системы $v$, то из совпадения почти всех их неособых поверхностей уровня автоматически следует, что будут совпадать и все остальные поверхности уровня как регулярные, так и особые. Но это и означает, что $f$ и $f^{\prime}$ задают одинаковые слоения Лиувилля. Предложение доказано.

Тем не менее, удобно пользоваться каким-либо конкретным интегралом $f$ для выделения в $Q_{h}^{3}$ структуры слоения Лиувилля. Ясно, что основная информация об этом слоении содержится в особенностях функции $f: Q_{h}^{3} \rightarrow \mathbb{R}$. Напомним некоторые их свойства, уже изученные в главе 1 .
Предложение 3.2. Пусть $\operatorname{grad} H
eq 0$ на $Q_{h}^{3}$. Тогда интеграл $f$ не имеет на $Q_{h}^{3}$ изолированных критических точек.
Доказательство.
Если $x-$ критическая точка $f$ на $Q_{h}^{3}$, то $v(x)
eq 0$, так как $\operatorname{grad} H
eq 0$ всюду на $Q_{h}^{3}$. Но тогда через точку $x$ проходит интегральная траектория по-

ля $v$, целиком состоящая из критических точек функции $f$. Это сразу следует из инвариантности функции $f$ относительно гамильтонова потока $v$. Предложение доказано.

Следовательно, критические точки боттовского интеграла $f$ всегда образуют либо одномерные, либо двумерные невырожденные подмногообразия в $Q_{h}^{3}$.
Предложение 3.3. Связными критическими подмногообразиями функции $f$ на $Q_{h}^{3}$ могут быть только следующие многообразия:
1) окружности,
2) торы,
3) бутылки Клейна.
Рис. 3.1

Доказательство.
Из компактности изоэнергетической поверхности $Q_{h}^{3}$ сразу следует, что невырожденное критическое подмногообразие интеграла $f$ обязательно замкнуто. С другой стороны, на этом подмногообразии имеется векторное поле $v=\operatorname{sgrad} H$, нигде не обращающееся в нуль. Среди одномерных и двумерных замкнутых многообразий этим свойством обладают лишь окружность, тор и бутылка Клейна. Предложение доказано.

Предложение 3.4.
a) Невырожденные критические окружности боттовского интеграла $f$ могут быть как подмногообразиями локального минимума или максимума, так и седловыми.
б) Невырожденные критические торы и бутылки Клейна являются подмногообразиями локального минимума или максимума.

Доказательство.
Если $S$ – критическое подмногообразие, а $D$ – нормальный диск к $S$, то ограничение функции $f$ на $D$ является функцией Морса. Если $S$ – окружность, то диск $D$

Рис. 3.2 двумерен, и функция Морса может иметь в центре диска либо локальный минимум, либо локальный максимум, либо седло (рис. 3.1). Если же подмногообразие $S$ двумерно, то нормальный диск $D$ одномерен и, следовательно, $f$ обязательно имеет в его центре либо локальный минимум, либо локальный максимум. Предложение доказано.

В дальнейшем мы будем в основном рассматривать лишь такие интегрируемые системы, у которых на изоэнергетических 3 -поверхностях нет критических торов и бутылок Клейна. Кроме указанных выше соображений в пользу такого подхода отметим еще две причины.

С топологической точки зрения расслоение на торы Лиувилля в окрестности критического тора тривиально. Другими словами, никаких особенностей здесь не возникает. Более того, путем подходящей замены интеграла $f$ в окрестности критического тора (а именно, путем извлечения из него квадратного корня) можно добиться того, чтобы тор перестал быть критическим.

Что же касается критических бутылок Клейна, то от них всегда можно избавиться, переходя к двулистному накрытию над 3 -поверхностью $Q_{h}^{3}$, в результате которого бутылки Клейна развернутся в торы.
Предложение 3.5. Пусть $f$ – боттовский интеграл на $Q=Q_{h}^{3}$, имеющий критические бутылки Клейна $K_{1}, \ldots, K_{r}$, и $U(Q)$ – достаточно малая открытая окрестность подмногообразия $Q$ в $M^{4}$. Тогда существует двулистное накрытие
\[
\pi:(\widetilde{U}(\widetilde{Q}), \widetilde{H}, \widetilde{f}) \rightarrow(U(Q), H, f)
\]

где $\tilde{U}(\widetilde{Q})$ – симплектическое четырехмерное многообразие с интегрируемой гамильтоновой системой $\widetilde{\sim}=\operatorname{sgrad} \tilde{H}$, обладающей дополнительным интегралом $\tilde{f}$. При этом $\widetilde{H}=\pi^{*} H, \widetilde{f}=\pi^{*} f, \widetilde{v}=\pi^{*} v$ – естественные поднятия $H, f$ и $\boldsymbol{\varepsilon}$ многообразия $U(Q)$ на $\widetilde{U}(\widetilde{Q})$, и все критические бутылки Клейна $K_{1}, \ldots, K_{r}$ разворачиваются в двумерные критические торы $T_{1}, \ldots, T_{r}$ функии $\tilde{f}$ на $\widetilde{Q}$.
Рис. 3.3
Доказательство.
Пусть $K_{1}, \ldots, K_{r}$ – критические бутылки Клейна. Рассмотрим их достаточно малые инвариантные по отношению к потоку $v$ трубчатые окрестности $V\left(K_{i}\right) \subset Q$. Покажем, что граница каждой такой окрестности является тором. В самом деле, без ограничения общности мы можем считать, что на критической бутылке Клейна $K_{i}$ функция $f$ имеет локальный максимум. Тогда в качестве трубчатой окрестности мы можем взять область $V\left(K_{i}\right)=f^{-1}(c, c-\varepsilon)$, где $c=f\left(K_{i}\right)$. Ее граница $\partial V\left(K_{i}\right)=f^{-1}(c-\varepsilon)$ является регулярной поверхностью уровня функции $f$ и поэтому состоит из одного или нескольких торов Лиувилля. С другой стороны, граница каждого нормального к бутылке Клейна $K_{i}$ отрезка состоит из двух точек (рис. 3.2). Проектируя их вниз на $K_{i}$, получаем двулистное накрытие бутылки Клейна границей ее нормальной трубчатой окрестности. Отсюда сразу следует, что $\partial V\left(K_{i}\right)$ состоит только из одного тора. В противном случае мы пришли бы к противоречию с существованием двулистного накрытия $\partial V\left(K_{i}\right) \rightarrow K_{i}$.

Разрежем теперь многообразие $Q$ по всем бутылкам Клейна $K_{1}, \ldots, K_{r}$. Получим 3 -многообразие $W$, край которого состоит из несвязного объединения торов $T_{1}, \ldots, T_{r}$. Возьмем второй экземпляр $W^{\prime}$ этого 3 -многообразия и построим новое 3 -многообразие $\widetilde{Q}=W+W^{\prime}$, называемое дублем (рис. 3.3 ) и получающееся естественным отождествлением граничных торов: каждый граничный тор на границе $W$ склеивается со своим дубликатом на границе $W^{\prime}$.

Определим проекцию многообразия $W+W^{\prime}$ на многообразие $Q$. Для этого воспользуемся тем, что $W$ и $W^{\prime}$ диффеоморфны многообразию $Q \backslash\left(K_{1}+\ldots+K_{r}\right)$. Поэтому проекция $W$ и $W^{\prime}$ на $Q \backslash\left(K_{1}+\ldots+K_{r}\right)$ определена естественным образом. Теперь отобразим $Q \backslash\left(K_{1}+\ldots+K_{r}\right)$ на $Q$, проектируя каждый тор $T_{i}$ на бутылку Клейна $K_{i}$ при помощи соответствующего двулистного накрытия, т.е. сделав операцию, обратную проделанной ранее операции разрезания вдоль бутылки Клейна.

Замечание. Описанную процедуру разрезания, а затем обратной склейки, полезно проиллюстрировать на двумерном примере листа Мебиуса (рис. 3.4). Разрезав лист Мебиуса вдоль его оси, получаем кольцо. Производя обратную операцию, мы отображаем кольцо на лист Мебиуса. При этом одна из граничных окружностей кольца двулистно накрывает ось листа Мебиуса (рис. 3.4).

Итак, мы определили проекцию $\pi: \widetilde{Q} \rightarrow Q$, при которой прообразом каждой бутылки Клейна $K_{i}$ является некоторый тор $T_{i}$. Проекцию можно считать гладким отображением гладких 3 -многообразий. Поскольку окрестность $U(Q)$ в $M^{4}$ является прямым произведением $Q \times I$, то проекция $\pi$ естественно продолжается на

Рис. 3.4 трубчатую окрестность $U(\widetilde{Q})=\widetilde{Q} \times I$, где $I$ – отрезок. Поднимем теперь с 4-многообразия $U(Q)$ на $U(\widetilde{Q})$ все нужные нам объекты: форму $\omega$, векторное поле $v$, гамильтониан $H$, интеграл $f$. В результате мы построили накрытие $\pi: \widetilde{U}(\widetilde{Q}) \rightarrow U(Q)$, которое разворачивает критические бутылки Клейна $K_{i}$ в критические торы $T_{i}$, что и требовалось. Предложение доказано.

Опишем теперь топологическое строение окрестности критической окружности интеграла $f$ на $Q^{3}$.

Пусть $S$ – критическая окружность боттовского интеграла и $D$ – трансверсальный двумерный диск. Тогда согласно лемме Mорса функция $f$ на диске $D$ приводится заменой координат к виду (без ограничения общности мы полагаем $f(S)=0$ )
\[
f= \pm x^{2} \pm y^{2} .
\]

Случай $f=x^{2}+y^{2}$ отвечает минимуму функции $f$,
случай $f=-x^{2}-y^{2}$ – максимуму (рис. 3.1-а), а случай $f=x^{2}-y^{2}$ отвечает седлу (рис. 3.1-b). На диске $D$ возникает слоение на линии уровня $f$ с одной особой точкой в центре диска. Под действием потока $v$ диск движется вдоль окружности, оставаясь трансверсальным к ней. При этом слоение на линии уровня функции $f$ сохраняется, поскольку $f$ – интеграл. Сделав полный оборот вдоль окружности, диск $D$ «возвращается на прежнее место», порождая некоторый локальный диффеоморфизм $\sigma: D \rightarrow D$, сохраняющий слоение. Это отображение называют обычно отображением последования, или отображением Пуанкаре. Таким образом, возникает слоение трубчатой окрестности критической окружности на двумерные слои с особенностью на этой окружности.

Его структура полностью определяется свойствами диффеоморфизма $\sigma$. Легко видеть, что возможны лишь следующие случаи (с точностью до гладкой изотопии, сохраняющей слоение в трубчатой окрестности $S$ ).
a) Если критическая окружность $S$ является подмногообразием локального минимума или максимума, то слоение тривиально, т.е. является прямым произведением диска, расслоенного на концентрические окружности, на критическую окружность $S$ (рис. 3.5).
б) Если критическая окружность $S$ – седловая, то возможны два случая: б-1) Диффеоморфизм $\sigma: D \rightarrow D$ изотопен тождественному (в классе отображений, сохраняющих функцию $f=x^{2}-y^{2}$ ). В этом случае возникающее слоение окрестности $S$ тривиально (рис. 3.6). Его можно представлять себе как прямое произведение креста, показанного на рис. 3.6 , на окружность $S$. В этом случае мы скажем, что окружность $S$ имеет ориентируемую сепаратрисную диаграмму.
б-2) Диффеоморфизм $\sigma: D \rightarrow D$ изотопен центральной симметрии, т.е. повороту на $\pi$ (рис. 3.6) (в классе отображений, сохраняющих функцию $f=x^{2}-y^{2}$ ). Здесь возникающее слоение окрестности окружности $S$ уже нетривиально. Оно является косым произведением двумерного креста на окружность $S$. В этом случае скажем, что критическая окружность $S$ имеет неориентируемую сепаратрисную диаграмму.
Рис. 3.6
Комментарий. Говоря о сепаратрисной диаграмме, мы подразумеваем здесь пересечение множества $f=0$ с окрестностью седловой критической окружности $S$. В случае, когда $S$ является гиперболической траекторией гамильтонова векторного поля $v$, эта сепаратрисная диаграмма совпадает с объединением устойчивого и неустойчивого подмногообразий траектории $S$. Отметим, что ориентируемая сепаратрисная диаграмма представляет собой объединение двух колец, трансверсально пересекающихся вдоль общей оси, а неориентируемая – аналогичное объединение двух листов Мебиуса. См. рис. 3.7.
На самом деле можно доказать следующий аналог леммы Морса.

Лемма 3.1. В достаточно малой трубчатой окрестности критической окружности $S$ всегда можно выбрать такие координаты $x, y, \varphi$ (где $x, y$ – координаты на диске $D$, а $\varphi$ – координата вдоль окружности $S$ ), в которых интеграл $f$ запишется сразу во всей окрестности в следующем виде:
а) $f=x^{2}+y^{2}$ (или $f=-x^{2}-y^{2}$ ), если на $S$ функция имеет локальный минимум (соотв. локальный максимум);
б-1) $f=x^{2}-y^{2}$ в случае седловой окружности с ориентируемой сепаратрисной диаграммой;

б-2) $f=x^{2} \cos \varphi-2 x y \sin \varphi-y^{2} \cos \varphi$ в случае седловой окружности с неориентируемой сепаратрисной диаграммой.

Доказательство леммы легко следует из обобщенной леммы Морса-Ботта (см. предложение 1.16 главы 1), и мы его опускаем.

Следствием леммы 3.1 является следующее утверждение, классифицирующее лиувиллевы слоения вблизи невырожденных критических окружностей (или, что то же самое, описывающее локальную структуру особенностей таких слоений в случае невырожденных критических окружностей).
Предложение 3.6. С точностью до послойного диффеоморфизма существуют лииь
Рис. 3.7

указанные выше три типа лиувиллевых слоений в окрестности критической окружности. Все они попарно различны.