Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Хотя почти на всех уровнях энергии $Q^{3}=\{H=$ const $\}$ в подавляющем большинстве исследованных сегодня физических систем интеграл является боттовским, тем не менее при некоторых специальных значениях энергии (заполняющих обычно множество меры нуль) интеграл $f$ оказывается не боттовским. У него могут появиться особенности, более сложные чем те, которые предусмотрены определением боттовости. Естественно поставить вопрос: насколько устойчива классификация изоэнергетических 3 -поверхностей интегрируемых систем относительно расширения класса рассматриваемых интегралов? Более точно: как устроен класс изоэнергетических 3 -поверхностей для гамильтонианов $H$, допускающих дополнительный, но не обязательно боттовский интеграл? Конечно, нас должны интересовать в первую очередь гамильтонианы, интегралы которых хотя и не боттовские, но не слишком патологические, т.е. все-таки устроены не слишком сложно. Тем самым мы, конечно, расширяем класс изучаемых гамильтонианов. Обращаясь опять-таки к опыту исследования физических систем, мы обнаружили, что наиболее естественным является класс гамильтонианов $H$, допускающих ручные интегралы.
Определение 4.11. Гладкий интеграл $f$ мы будем называть ручным (на данном изоэнергетическом 3 -многообразии $Q^{3}$ ), если для любого критического значения $c$ функции $f$ соответствующая поверхность уровня $f^{-1}(c)$ является ручной. Это означает, что существует гомеоморфизм всего многообразия $Q$ на себя, который переводит множество $f^{-1}(c)$ в полиэдр.
ЗАМЕчАниЕ. Говоря здесь о полиэдре, мы имеем в виду симплициальный подкомплекс в многообразии $Q$, каждый симплекс которого гладко вложен в $Q$.
Таким образом, хотя ручной интеграл может быть не боттовским, однако он все еще не слишком ужасен: его поверхности уровня фактически являются полиэдрами в $Q$.
Определение 4.12. Обозначим через ( $H^{\prime}$ ) класс всех трехмерных ориентируемых компактных замкнутых многообразий, являющихся изоэнергетическими 3 -поверхностями гамильтоновых систем, интегрируемых при помощи ручных интегралов.
Ясно, что любой боттовский интеграл является ручным (обратное неверно). Поэтому мы имеем тривиальное включение: класс $(H)$ содержится в классе $\left(H^{\prime}\right)$. Таким образом, расширяя класс интегрируемых гамильтонианов, мы
априори можем расширить и класс изоэнергетических многообразий интегрируемых систем. Происходит ли это на самом деле?
