Совпадение классов $(H)$ и $(Q)$. Докажем сначала, что $(H) \subset(Q)$. Согласно определению, 3 -многообразие $Q$ из класса $(H)$ является компактной изоэнергетической поверхностью некоторой интегрируемой системы. Как было доказано ранее, оно представимо в виде склейки некоторого числа 3 -атомов. Таким образом, достаточно доказать, что каждый 3 -атом получается склейкой некоторого числа полноторий $A^{3}=D^{2} \times S^{1}$ и 3 -многообразий $B^{3}=N^{2} \times S^{1}$, где $N^{2}-$ 2 -диск с двумя дырками. Будем для краткости называть это многообразие «штанами» (рис. 4.17). Если 3 -атом не содержит звездочек, то он является прямым произведением 2 -атома на окружность. Ясно, что любой 2 -атом, являясь ориентированной 2 -поверхностью $P$ с краем, получается склейкой некоторого числа поверхностей $N$, т.е. $P=N+N+\ldots+N$. Умножая теперь это разложение на окружность, получаем искомое доказательство в случае атома без звездочек. Если же атом $P$ содержит звездочки, то на поверхности $P$ отмечены особые точки, указывающие особые слои типа $(2,1)$ расслоения Зейферта. Окружая эти точки малыми дисками, мы можем выбросить из $Q$ полнотория, т.е. многообразия типа $A^{3}$, проектирующиеся на эти диски. Тем самым, исходное многообразие $Q$ представляется в виде $Q=\widetilde{Q}+A^{3}+\ldots+A^{3}$, где 3 -многообразие $\widetilde{Q}$ имеет уже структуру прямого произведения 2 -поверхности на окружность. Учитывая предыдущее построение, получаем требуемое утверждение. Итак, мы доказали включение $(H) \subset(Q)$.
Докажем обратное включение: $(H) \supset(Q)$. Поскольку любое 3-многообразие из класса $(Q)$ склеено из полноторий $D^{2} \times S^{1}$ и 3 -штанов $N^{2} \times S^{1}$, то искомое утверждение немедленно вытекает из теоремы реализации (см. выше).
Совпадение классов $(Q)$ и $(W)$. Докажем, что $(W) \subset(Q)$. Для этого достаточно доказать, что расслоение Зейферта $U^{3}$ получается склейкой некоторого числа полноторий и 3 -штанов. Окружая особые слои расслоения Зейферта полноториями и удаляя их из $U^{3}$, получаем 3 -многообразие $\widetilde{U}$, являющееся локально тривиальным расслоением над некоторой 2 -поверхностью $\widetilde{P}$ с краем (а если края нет, то вырежем из расслоения $\widetilde{U}$ некоторое расслоенное полноторие, чтобы край
появился). Если $\widetilde{P}$ ориентируема, то расслоение $\widetilde{U}$ тривиально, а следовательно (см. выше), получается склейкой некоторого числа полноторий и 3 -штанов. Если же $\widetilde{P}$ неориентируема, то сначала вырежем из $\widetilde{P}$ все листы Мебиуса, чтобы получить ориентированную базу. С этой ориентированной базой поступаем как и раньше. С листами Мебиуса делаем следующее. Над листом Мебиуса $\mu$ есть только два расслоения со слоем окружность: это $\mu \times S^{1}$ и $\mu \widetilde{\times} S^{1}$, где волна обозначает косое произведение. Случай прямого произведения здесь исключается из рассмотрения по той простой причине, что $\mu \times S^{1}$ является неориентируемым 3 -многообразием, которых в наших классах вообще нет.
Лемма 4.9. Косое произведение $\mu \widetilde{\times} S^{1}$ можно представить как расслоение Зейферта над 2-диском с двумя особыми слоями типа $(2,1)$.
Доказательство.
Рассмотрим толстый цилиндр, т.е. $S^{1} \times[-1,1] \times D^{1}$ и отождествим его основания $S^{1} \times[-1,1] \times\{0\}$ и $S^{1} \times[-1,1] \times\{1\}$ по суперпозиции $\tau$ симметрии относительно окружности и симметрии относительно ее диаметра (рис. 4.18). Симметрия $\tau$ является инволюцией с двумя неподвижными точками. Покажем, что на полученном 3 -многообразии $X$ можно двумя различными способами ввести структуру расслоения Зейферта. Первый способ состоит в том, что толстый цилиндр разбивается на окружности вида $S^{1} \times\{*\} \times\{*\}$, и это разбиение индуцирует на $X$ структуру расслоения Зейферта без особых слоев с листом Мебиуса в качестве базы. Другими словами, $X=\mu \widetilde{\times} S^{1}$. С другой стороны, $X$ можно разбить на отрезки вида $\{*\} \times\{*\} \times D^{1}$, которые после склейки осноРис. 4.18 ваний цилиндра превратятся в окружности. Такое разбиение индуцирует на $X$ структуру расслоения Зейферта с базой диск и двумя особыми слоями типа $(2,1)$, соответствующими неподвижным точкам инволюции $\tau$. Лемма доказана.
Отсюда следует, что $\mu \widetilde{\times} S^{1}$ получается склейкой 3 -штанов и двух полноторий, т. е. лежит в классе $(Q)$. Итак, мы доказали, что $(W) \subset(Q)$.
Обратное включение $(Q) \subset(W)$ очевидным образом вытекает из определения этих классов.
Итак, мы доказали, что $(H)=(Q)=(W)$.
Совпадение классов $(H)$ и $\left(H^{\prime}\right)$ доказано в работе С.В.Матвеева и А.Т.Фоменко [126]. Это доказательство изложено также в книге А.В.Болсинова и А. Т. Фоменко [42].
Класс $(H)$ строго меньше класса $(M)$. Мы уже показали, что $(H)=(W)$. В то же время из работы Вальдхаузена [386] следует, что класс $(W)$ не совпадает с классом $(M)$ всех ориентированных замкнутых 3 -многообразий. Как мы отмечали, известны некоторые интересные классы 3 -многообразий, – например, класс гиперболических многообразий, – которые не лежат в классе $(H)$.
