Пусть задана интегрируемая гамильтонова система $v$ на изоэнергетическом 3-многообразии $Q$.
1 Шаг. Рассмотрим отвечающую ей меченую молекулу $W^{*}$. Она включает в себя $r$-метки, $n$-метки и $\varepsilon$-метки.
2 Шаг. Строим на каждом ребре $e_{i}$ молекулы $R$-инвариант $R_{i}$. Их совокупность обозначим через $\{R\}$.
3 Шаг. Выделяем в молекуле $W^{*}$ радикалы $U$.
4 Шаг. На каждом седловом атоме $V$ молекулы $W^{*}$ строим $\tilde{\Lambda}$-инвариант.
5 Шаг. На каждом радикале $U$ молекулы $W$ строим $\tilde{\Delta} \tilde{Z}[\tilde{\theta}]$-инвариант.
Определение 8.9. Объект
\[
W^{* t}=((W, r, \varepsilon),\{R\},\{\tilde{\Lambda}\},\{\tilde{\Delta} \tilde{Z}[\tilde{\theta}]\})
\]

называется топологической траекторной молекулой или, короче, $t$-молекулой данной интегрируемой системы $v$ на данном изоэнергетическом 3 -многообразии $Q$.
КоммЕНТАРиЙ. Как видно из определения 8.9 , обычная меченая молекула $W$ вошла в $t$-молекулу не полностью: из нее выпал важный параметр — $n$-метки. Это произошло потому, что $n$-инвариант в действительности распадается в «объединение» $b$-инвариантов. При этом, $b$-инварианты, в свою очередь, выражаются через $\widetilde{\Delta} \widetilde{Z}[\widetilde{\theta}]$-инвариант.

Нам следует обсудить здесь еще один вопрос: что означает выражение «две $t$-молекулы совпадают». Это требует некоторых разъяснений, поскольку этот объект довольно сложен. Итак, пусть $W_{1}^{* t}$ и $W_{2}^{* t}$ — две $t$-молекулы. Во-первых, они являются графами с ориентированными ребрами и с вершинами разных типов. Разумеется, при гомеоморфизме одной молекулы на другую ориентации ребер должны сохраняться и каждая вершина первой молекулы должна переходить в такую же вершину второй молекулы. Более того, задание молекулы предполагает, что для каждого атома молекулы установлено взаимно-однозначное соответствие между ребрами, входящими и выходящими в него и граничными окружностями соответствующего 2-атома из канонического списка. Поэтому гомеоморфизм между молекулами предполагает существование соответствующих гомеоморфизмов для всех его вершин как двумерных поверхностей. Причем на границе 2-атома этот гомеоморфизм уже фактически определен отображением между графами. Таким образом, для совпадения двух $t$-молекул должны быть определены гомеоморфизм графов и гомеоморфизмы между соответствующими друг другу 2-атомами, т.е. вершинами графов. И наконец, эти гомеоморфизмы должны сохранять все «числовые параметры $t$-молекулы».

Из этого комментария видно, что сравнение $t$-молекул в общем случае может оказаться трудной задачей (впрочем, как и сравнение двух произвольных графов). Разумеется, в реальных ситуациях, когда мы сравниваем конкретные примеры интегрируемых систем, проблем такого сорта как правило не возникает.

Следует обратить внимание еще на одно обстоятельство. Определение $t$-молекулы зависит от выбора двух ориентаций: ориентации трехмерного многообразия $Q^{3}$ и ориентации ребер молекулы. Отметим, что мы постоянно пользовались терминами типа «начало» или «конец ребра» и, кроме того, мы использовали ориентацию $Q^{3}$ для определения допустимых систем координат.

В принципе мы выше уже договорились, что при траекторной эквивалентности должна сохраняться ориентация изоэнергетического многообразия, но от

этого условия вполне можно отказаться, описав явно изменения параметров $t$-молекулы при замене ориентации на $Q$.

Аналогичным образом дело обстоит с ориентацией на ребрах. Для каждой конкретной системы мы можем договориться ориентировать их по направлению возрастания дополнительного интеграла $f$ и потом требовать «сохранения» этого направления при траекторных изоморфизмах. Тогда данное выше определение $t$-молекулы абсолютно корректно. Или же мы можем указать, что происходит с $t$-молекулой при изменении ориентации ребер, а затем считать $t$-молекулы, получающиеся друг из друга такими преобразованиями, по определению совпадающими. Это вполне разумно, поскольку с содержательной точки зрения изменение направления стрелки на ребре вообще ничего не меняет.

Итак, в заключение этого параграфа мы опишем формальные преобразования $t$-молекулы, связанные с изменением ориентаций.