Используя простые молекулы, можно дать классификацию простых функций Морса на замкнутых ориентируемых поверхностях малого рода с точностью до послойной эквивалентности. В классе простых функций Морса естественно выделяется подкласс простых минимальных функций Морса, то есть таких, у которых число критических точек минимально (для данной поверхности). Хорошо известно, что если функция Морса минимальна, то у нее есть ровно один минимум, ровно один максимум, а число седел равно $2 g$, где $g$ – это род поверхности (число ручек). Например, на сфере минимальная функция Морса ровно одна (с точностью до послойной эквивалентности). Это – функция высоты при стандартном вложении сферы в $R^{3}$.

Чтобы получить указанную классификацию на поверхности рода $g$, достаточно перечислить простые молекулы, содержащие ровно два атома $A$ (отвечающих одному минимуму и одному максимуму) и $2 g$ атомов $B$ (отвечающих $2 g$ седлам).

Теорема 2.5. Число классов послойно неэквивалентных простых функций Морса на замкнутой ориентированной поверхности рода д равно:

1 для сферы (т.е. $g=0$ ),
1 для тора (т.е. $g=1$ ),
3 для кренделя (т.е. $g=2$ ),
16 для сферы с тремя ручками (т.е. $g=3$ ).

Все соответствующие этим классам простые молекулы представлены на puc. $2.22(a, b)$.

Доказательство получается несложным перебором простых молекул.
Отношение послойной эквивалентности можно усилить следующим образом. Две функции Морса $f$ и $g$ на поверхности $M$ называются топологически эквивалентными, если существует диффеоморфизм $\xi: M \rightarrow M$ и $\eta: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, такой, что $f(\xi(x))=\eta(g(x))$. Будем считать, что диффеоморфизм $\eta$ вещественной прямой на себя сохраняет ориентацию.

Отличие топологической эквивалентности и послойной эквивалентности состоит в следующем. Пусть какая-то линия уровня функции Морса состоит из нескольких компонент связности. При послойной эквивалентности эти компоненты могут «разьехаться» на разные уровни функции Mорса. В то же время, при топологической эквивалентности, все эти компоненты обязаны оставаться на одном и том же уровне (хотя соответствующее критическое значение этого уровня может конечно измениться). В частности, при изучении топологической эквивалентности можно считать, что все критические уровни функции Морса естественно упорядочены (по их возрастанию). Важно, что этот порядок не меняется при топологической эквивалентности функций Морса. Поэтому классов топологической эквивалентности функций Морса больше чем классов послойной эквивалентности. Мы приведем здесь теорему, полученную Е.В.Кулиничем.

Теорема 2.6. Число классов топологически неэквивалентных функций Морса на замкнутой ориентированной поверхности рода р равно:

1 для сферы (т.е. $g=0$ ),
1 для тора (т.е. $g=1$ ),
3 для кренделя (т.е. $g=2$ ),
31 для сферы с тремя ручками (т.е. $g=3$ ),
778 для сферы с четырьмя ручками (т.е. $g=4$ ),
37998 для сферы с пятью ручками (т.е. $g=5$ ),
3171619 для сферы с шестью ручками (т.е. $g=6$ ).

Все графы Риба, отвечающие функциям Морса указанного вида на торе, кренделе и на сфере с тремя ручками, показаны на рис. 2.23(a, b, c). На этом рисунке учитывается взаимное расположение седловых критических уровней функции Морса. Критическая точка, отвечающая большему критическому значению функции, изображена выше, чем критические точки с меньшим критическим значением. На рис. 2.23 обведены пунктиром те графы Риба, которые попадают в один класс послойной эквивалентности функций Морса. В результате вычеркивания дубликатов из рис. 2.23 , получается рис. 2.22 .