Доказательство теоремы 9.3.
Рассмотрим особый слой $L$ типа седло-седло и его 4 -окрестность $U(L)$. Как мы видели выше, эта 4-окрестность может быть представлена в виде склейки элементарных 4-блоков вида «крест на крест». Число таких элементарных блоков в точности равно числу особых точек типа седло-седло, лежащих на особом слое $L$. Как склеивается $U(L)$ из этих 4-блоков? Чтобы описать склейку, достаточно задать пары склеиваемых компонент 3-границ, то есть пары «трехмерных шайб», каждая из которых есть прямое произведение «крест на отрезок». Причем для каждой такой пары склеиваемых 3 -шайб нужно указать правило их склейки. Для этого нужно задать правило склейки креста с крестом и отрезка с отрезком. Если мы знаем комбинаторную структуру комп-
Рис. 9.47 лекса $L$, то мы, очевидно, знаем и структуру разбиения 3 -компонент границы на пары. При склейке двух 3 -шайб нужно описать — как склеиваются два соответствующих 2-креста и два 1-отрезка. Склейка двух 2-крестов однозначно восстанавливается по комбинаторной структуре комплекса $L$. Каждой такой склейке взаимно-однозначно отвечает некоторое ребро комплекса $L$. Каждое такое ребро является четверной линией, то есть на нем трансверсально сходятся четыре квадрата (рис. 9.47). Концевым точкам отрезка $S_{i}$ и $S_{j}$ отвечают в $U(L)$ два блока вида «крест на крест». Как они склеиваются? Граница каждого из них является произведением 2 -креста на отрезок. Склейка двух 2 -крестов, отвечающих вершинам $S_{i}$ и $S_{j}$, полностью задается четверной линией $\alpha$ (рис. 9.47). Осталось склеить два отрезка,
Рис. 9.48 на которые прямым образом умножаются 2 -кресты.
См. рис. 9.48. Их можно интерпретировать как берега трансверсальных разрезов на одном из атомов $P_{1}$, или $P_{2}$, которому принадлежит ребро $\alpha$. Структура этого атома однозначно диктует правило склейки этих двух отрезков между собой.
Изложенное рассуждение показывает, что по $C l$-типу особенности однозначно, в комбинаторном смысле, восстанавливается правило склейки окрестности $U(L)$ из элементарных блоков вида «крест на крест».
Другими словами, на односвязной накрывающей $\widetilde{U}(\widetilde{L})$ действие фундаментальной группы $Y=\pi_{1} U(L)$ восстанавливается однозначно. Поскольку $U(L)=$ $=(\widetilde{U}(\widetilde{L})) / Y=(\widetilde{B} \times \widetilde{B}) / Y$, то 4-многообразие $U(L)$ полностью определяется своим $\mathrm{Cl}$-типом. Дело в том, что универсальное накрывающее пространство для всех атомов — одно и то же. Более того, — как мы только что выяснили, действие на нем фундаментальной группы $Y$, как группы скольжений, — также одно и то же. Следовательно, и фактор-пространства у них — изоморфны. Теорема доказана.
Доказательство теоремы 9.4.
Пусть задан произвольный допустимый $\mathrm{Cl}$-тип. Нужно реализовать его как $C l$-тип некоторой особенности типа седло-седло. Как мы уже выяснили выше, для этого достаточно предъявить подгруппу $Y$ в группе Aut $\times$ Aut такую, чтобы фактор-пространство $(\widetilde{B} \times \widetilde{B}) / Y$ обладало бы заданным заранее $C l$-типом. Берем 2 -комплекс $L$ и его универсальную накрывающую $\widetilde{L}$. Утверждается, что эта универсальная накрывающая — одна и та же для любых допустимых 2 -комплексов $L$. Чтобы доказать это, достаточно предъявить накрывающую $\widetilde{L}$ в явном виде. В качестве $\widetilde{L}$ мы возьмем особый слой в 4 -комплексе $\widetilde{B} \times \widetilde{B}$, описанный нами выше. Этот слой является прямым произведением двух « 1 -деревьев», каждое из которых в свою очередь является универсальным накрытием «восьмерки». Легко видеть, что 2-комплекс $\widetilde{L}$ удовлетворяет всем свойствам допустимого комплекса из определения 9.5 , за исключением одного условия — конечности. Так как каждое «1-дерево»- бесконечно. Кроме того, проекция $\widetilde{L} \rightarrow L$, сохраняющая комбинаторную структуру допустимого комплекса, также восстанавливается однозначно в комбинаторном смысле. Дело в том, что если задать произвольным образом образ какого-то одного квадрата, с метками на его сторонах, то после этого отображение проекции однозначно распространяется во все стороны от этого начального квадрата. А именно, последовательно переходя через ребра склеенных квадратов, с учетом меток на них, мы в конце концов перебираем все квадраты и определяем проекцию во всех точках $\widetilde{L}$.
Теперь заметим, что на универсальном накрывающем пространстве $\widetilde{L}$ естественным образом действует фундаментальная группа $\pi_{1}(L)$, как группа скольжений накрытия $L \rightarrow \widetilde{L}$. С другой стороны, поскольку $\widetilde{L}$ вложено в $\widetilde{B} \times \widetilde{B}$, то на $\widetilde{L}$ действует группа Aut $\times$ Aut. Следовательно, действие группы $\pi_{1}(L)$ скольжениями на $\widetilde{L}$ задает нам вложение этой группы в группу Aut $\times$ Aut. Итак, мы предъявили некоторую подгруппу в группе Aut $\times$ Aut, отвечающую выбранному нами $C l$-типу. Теперь берем 4 -пространство $\widetilde{U}(\widetilde{L})=\widetilde{B} \times \widetilde{B}, 2$-остовом которого и является $\widetilde{L}$. Рассмотрим на нем действие группы $\pi_{1}(L)$, уже реализованной нами в виде подгруппы в полной дискретной группе автоморфизмов. Факторизуя 4-многообразие $\widetilde{U}(\widetilde{L})=\widetilde{B} \times \widetilde{B}$ по этому действию, мы и получаем некоторое компактное 4-многообразие $U(L)$. Очевидно, что оно и дает нам искомую реализацию выбранного $\mathrm{Cl}$-типа. Теорема реализации доказана.
