В этом параграфе мы покажем, как идея атомов и молекул может быть применена к траекторной классификации потоков Морса-Смейла на замкнутых двумерных поверхностях. Излагаемая ниже конструкция появилась как результат обсуждения авторами и В.В.Шарко различных применений атомов и молекул. Затем А.А.Ошемков развил этот подход. Получившиеся результаты см. в приложении 1 , в конце нашей книги.

Необходимые определения из общей теории динамических систем см., например, в обзоре Д. В. Аносова, С. Х. Арансона, И. У. Бронштейна, В. З. Гринеса [4].

Напомним, что векторные поля $v_{1}$ и $v_{2}$, заданные на замкнутых поверхностях $M_{1}$ и $M_{2}$, называются топологически траекторно эквивалентными, если существует гомеоморфизм $h: M_{1} \rightarrow M_{2}$, переводнщий траектории векторного поля $v_{1}$ в траектории векторного поля $v_{2}$ с сохранением ориентации на траекториях.
Определение 2.23. Векторное поле $v$ на многообразии $M$ называется грубым, если при малом возмущении поля $v$ топологическое поведение его траекторий не меняется, т.е. после возмущения поле топологически траекторно эквивалентно исходному.

Согласно теореме М. Пейксото [354], [355], [356], грубыми векторными полями на двумерной поверхности являются в точности поля Морса-Смейла. В случае двумерной поверхности их можно определить следующим образом.
Определение 2.24. Векторное поле $v$ на замкнутой двумерной поверхности $M^{2}$ называется полем Морса-Смейла, если
1) $v$ имеет конечное число особых точек и периодических траекторий, причем все они гиперболические;
2) не существует траекторий, идущих из седла в седло;
3 ) для каждой траектории поля $v$ ее $\alpha$-предельное и $\omega$-предельное множества являются либо особой точкой, либо периодической траекторией, т.е. предельным циклом.

Здесь для простоты мы опишем классификацию потоков Морса-Смейла без периодических траекторий. Мы будем называть их потоками Морса. Классификацию же общих потоков Морса-Смейла на $M^{2}$ см. в приложении, в конце настоящей книги.

Потоки Морса имеют еще одно естественное описание. Это в точности градиенто-подобные потоки без сепаратрис, идущих из седла в седло. Здесь поток называется градиенто-подобным, если он топологически эквивалентен потоку $\operatorname{grad} f$ для некоторой функции Морса $f$ и некоторой римановой метрики $g_{i j}$ на многообразии $M$.

Оказывается, каждому потоку Морса на двумерной поверхности $M^{2}$ можно естественным образом сопоставить некоторый $f$-граф, или $f$-атом, таким образом, что соответствие между $f$-атомами и классами топологический траекторной эквивалентности потоков Морса будет взаимно однозначным. Опишем эту конструкцию.

Все особые точки потока Морса можно разделить на три типа: стоки, источники и седла. Кроме того поток имеет сепаратрисы, соединяющие стоки и источники с седлами. Каждому седлу при этом соответствуют две входящие и две выходящие сепаратрисы.

Рассмотрим на $M^{2}$ вокруг каждого источника маленькую окружность, трансверсальную потоку (рис. 2.78(a)). Ориентируем ее произвольным образом и отметим на ней точки пересечения с сепаратрисами. Отмеченные точки можно естественным образом разделить на пары. Действительно, рассмотрим для каждого седла пару входящих в него сепаратРис. 2.78 рис. Тогда кривая, составленная из этих сепаратрис соединяет между собой некоторую пару отмеченных точек (рис. 2.78(a)).

Рассмотрим теперь граф, вершинами которого являются отмеченные точки, а ребрами – дуги окружностей, идущих вокруг каждого источника и кривые, составленные из двух сепаратрис и соединяющие парные вершины. В результате каждой вершине инцидентны три ребра, причем два из них имеют ориентацию (это дуги окружности), а третье (т.е. кривая, составленная из сепаратрис) неориентировано (рис. 2.78(b)). Для получения $f$-графа нам остается сопоставить каждому неориентированному ребру метку +1 или -1 . Это делается точно так же как и выше. Правило показано на рис. 2.79. Поскольку конструируемый граф

вложен в поверхность $M^{2}$, то можно рассмотреть узкий прямоугольник-ленточку вокруг неориентированного отрезка. На торцах прямоугольника появятся две стрелки – ориентации с окружностей, окружающих источники. Возможны два случая: эти две стрелки на торцах прямоугольника-ленточки определяют одинаковую ориентацию на границе прямоугольника, либо имеют противоположные ориентации. В зависимости от этого ставим на неори-
Рис. 2.79 ентированном ребре числовую метку: либо +1 , либо -1. См. рис. 2.79. После этого мы получаем $f$-граф, определенный нами выше при описании атомов. Другими словами, каждому потоку Морса на поверхности естественно сопоставляется некоторый атом, реализованный в виде $f$-графа. Это важное обстоятельство и лежит в основе классификации потоков Морса при помощи атомов.

Как мы знаем, для $f$-графов вводится естественное отношение эквивалентности. См. выше параграф 7. Аналогичное отношение эквивалентности возникает и при появлении атомов в теории потоков Морса. Здесь это связано с неоднозначностью выбора ориентации на окружностях вокруг источников. Легко видеть, что оба отношения эквивалентности в действительности совпадают.

Отметим, впрочем, что если поверхность $M$ ориентирована, то все окружности могут быть снабжены канонической ориентацией, в результате чего все метки станут равны +1 , и о них можно будет забыть.
В изложенной выше конструкции предполагается существование по крайней мере одного седла у потока Морса. Но есть простейший поток Морса, у которого ни одного седла нет. Это градиентный поток функции высоты на двумерной сфере (рис. 2.80). Он течет из южного полюса в северный вдоль меридианов. У такого потока нет естественно определенного графа. Но он здесь и не нужен, поскольку такой поток только один, с точностью до траекторной топологической эквивалентности. В дальнейшем будем считать, что рас-
Рис. 2.80 сматриваемые нами потоки Морса отличны от указанного простейшего, то есть имеют хотя бы одно седло.
Легко видеть из нашего построения, что $f$-граф потока Морса, рассматриваемый с точностью до эквивалентности, является траекторным топологическим инвариантом потока. Более того, можно показать, что этот инвариант является классифицирующим, т. е. справедливо следующее утверждение.
Теорема 2.22 (классификация потоков Морса на поверхностях).
a) Существует естественное взаимно-днозначное соответствие между $f$-атомами и потоками Морса на поверхостях, рассматриваемыми с точностью до топологической траекторной эквивалентности.
б) Два потока Морса $v_{1}$ и $v_{2}$, не являющиеся простейиими, на двумерных поверхностях $M_{1}$ и $M_{2}$, топологически траекторно эквивалентны тогда и только тогда, когда эквивалентны соответствующие им $f$-графы.
В такой формулировке теорема классификации была получена В.В.Шарко и А.А.Ошемковым. Отсюда сразу следует, что траекторная топологическая классификация потоков Морса совпадает с классификацией $f$-атомов, то есть фактически атомов. Классификация атомов была уже получена ранее в работе А.В.Болсинова, С. В. Матвеева, А.Т.Фоменко [30] и подробно описана выше, в настоящей главе.

В то же время нужно отметить, что описанная связь между потоками Морса и $f$-атомами фактически содержится в работе К. Р. Мейера 1968 года [333]. Хотя у него не было классификации атомов ( $f$-атомов). Опишем эту связь явно. Пусть дан поток Морса $v$. Поскольку он градиентно-подобен по определению, то он непрерывно траекторно эквивалентен градиентному потоку некоторой функции $f$. Можно было сразу взять эту функцию в качестве инварианта потока. Однако этого делать нельзя, так как функция $f$ определена на самом деле неоднозначно. В частности, она зависит от выбора римановой метрики. Чтобы устранить произвол, можно, оказывается, поступить так. Достаточно выбрать такую функцию $f$, у которой все седловые критические точки расположены на одном уровне. Тот факт, что такая функция всегда существует, можно усмотреть из сформулированной выше теоремы о соответствии между потоками Морса и $f$-графами. Берем поток Морса $v$, затем берем отвечающий ему $f$-граф, который, по своему определению, уже вложен в исходную поверхность $M$. Затем строим функцию, отвечающую этому $f$-графу. Все ее седловые критические точки очевидно лежат на одном уровне.
Теорема 2.23 (Meyer K. R. [333]).
Пусть $M$ – замкнутая двумерная поверхность с некоторой римановой метрикой.
a) Сопоставим каждой функции $f$, седловые точки которой лежат на одном уровне, ее градиентный поток относительно выбранной римановой метрики. Это сопоставление устанавливает естественное взаимно-однозначное соответствие между классами послойной эквивалентности таких функций на поверхности и классами топологической траекторной эквивалентности потоков Морса.
б) Это взаимно-однозначное соответствие не зависит от выбора римановой метрики на поверхности.
Классы послойной эквивалентности функций с указанным свойством взаимно-однозначно отвечают $f$-атомам.

Все сказанное относилось пока лишь к потокам Морса. Однако переход от них к общим потокам Морса-Смейла полностью аналогичен переходу от атомов к молекулам. Оказывается, потоки Морса-Смейла классифицируются молекулами, составленными из атомов. Подробнее об этом см. в приложении в конце книги. Там же перечислены все потоки Морса и потоки Морса-Смейла малой сложности, т.е. с малым числом критических точек и периодических траекторий.