Пусть $x$ – особая точка типа центр-седло в 4-многообразии $M, L-$ проходящий через нее особый слой и $U(L)$ – его 4-мерная окрестность в $M$.

Приведем пример особенности типа центр-седло. Рассмотрим произвольный седловой атом $V=(P, K)$ и один атом $A$. Эти 2-атомы являются двумерными поверхностями с симплектической структурой, причем на каждом из них задана функция $f_{1}$ и $f_{2}$ (соответственно), определяющая на соответствующей поверхности структуру атома, т.е. одномерное слоение Лиувилля с единственным особым слоем. Рассмотрим прямое произведение $A \times V$ и определим на нем симплектическую структуру как сумму исходных симплектических структур на $A$ и $V$. См. рис. 9.9. Функции $f_{1}$ и $f_{2}$ естественным образом поднимаются

на это прямое произведение и коммутируют относительно указанной симплектической структуры. Поэтому они определяют слоение Лиувилля. Легко видеть, что оно имеет ровно одну особенность типа центр-седло, причем прямое произведение $A \times V$ является регулярной окрестностью одномерного особого слоя $L$. Особой слой $L-$ это в точности граф $K$ атома $V$. Точки типа центр-седло это в точности вершины атома $V$. В дальнейшем будем обозначать такую каноническую особенность через $A \times V$.
Рис. 9.9
Рис. 9.10

Теорема 9.2. Любая особенность типа центр-седло лиувиллево эквивалентна канонической особенности вида $A \times V$ для некоторого подходящего седлового атома $V=(P, K)$. При этом справедливы также следующие утверждения.
а) Особый слой L совпадает с графом $K$ атома $V$.
б) Окрестность $U(L)$ является прямым произведением двумерного диска на двумерную поверхность $P$.
в) l-тип этой особенности имеет вид ( $s A, V)$, где $s$ – это число вериин графа $K$. Через $s A$ здесь обозначено несвязное объединение $s$ экземпляров атома $A$.
2) Круговая молекула особенности центр-седло имеет вид, показанный на рис. 9.10, причем $r$-метки на всех ребрах равны бесконечности. На всех входящих ребрах атома $V$, – например, на левых на рис. 9.10 , – метка $\varepsilon$ одна и та же, и путем выбора ориентации может быть сделана равной +1 . Тогда на всех исходящих ребрах ребра атома $V$, – справа на рис. 9.10, метка одна и та же и равна -1.
д) Изоэнергетическая 3-поверхность $Q$, отвечающая круговой молекуле особенности центр-седло, является связной суммой $s+1$ экземпляров 3 -многообразий $S^{1} \times S^{2}$, m. e.
\[
Q=\left(S^{1} \times S^{2}\right) \# \ldots \#\left(S^{1} \times S^{2}\right) \quad(s+1 \text { paз }) .
\]

Доказательство.
Выше было доказано, что все особые точки на связном особом слое $L$ всегда имеют один и тот же тип. Пусть $s$ – число особых точек на слое $L$. Все они имеют тип центр-седло. Рассмотрим любую из них. В ее окрестности всегда можно выбрать локальную регулярную систему координат $p_{1}, q_{1}, p_{2}, q_{2}$, относительно которой слоение Лиувилля задается парой коммутирующих функций $p_{1}^{2}+q_{1}^{2}$ и $p_{2} q_{2}$. Следовательно, особый слой в окрестности каждой особой точки выглядит как одномерный крест, т. е. как два трансверсально пересекающихся отрезка.

Следовательно, весь особый слой $L$ получается склейкой таких «крестов», т. е. является некоторым графом с $s$ вершинами, каждая из которых имеет кратность 4 . Обозначим его через $K$. Сейчас мы увидим, что он естественным образом вкладывается в некоторый 2 -атом $V$.

Действительно, как мы показали выше, множество особых точек отображения момента, попавших в окрестность $U(L)$, представляет собой две трансверсально пересекающиеся поверхности. Поскольку мы рассматриваем сейчас особенность типа седло-центр, то одна из этих поверхностей $P_{1}$ представляет собой несвязное объединение $s$ экземпляров атома типа $A$, а другая $P_{2}$ имеет структуру седлового атома $V=\left(P_{2}, K_{2}\right)$. Легко видеть, что особый слой $L$ целиком состоит из критических точек, поэтому он целиком лежит в поверхности $P_{2}$. Кроме того, $H(L)=$ const, поэтому $L$ – это не что иное как граф $K_{2}$.

Идея дальнейшего доказательства довольно естественна. Мы разрежем окрестность $U(L)$ на некоторые стандартные куски, каждый из которых представляет собой регулярную окрестность особой точки типа седло-центр. Структура слоения Лиувилля в каждой из таких точек нам уже хорошо известна: согласно теореме 1.5 главы 1 оно представляет собой прямое произведение расслоенного диска и расслоенного креста (рис. 9.12). Затем мы покажем, что при сделанных выше ограничениях обратная склейка окрестности $U(L)$ из стандартных кусков проводится однозначно с точностью до послойной изотопии. В результате из локальных «прямых произведений»мы получим «глобальное прямое произведение», что и требуется. Эта же идея будет использована нами и в других случаях.

Отметим середины всех ребер графа $K$, т. е. слоя $L$, вложенного в 4 -многообразие $U(L)$. Рис. 9.12 Напомним, что $U(L)$ является окрестностью особого слоя $L=K$. См. рис. 9.11. В середине каждого ребра рассмотрим трехмерный диск, трансверсальный ребру графа $L=K$. Разрежем теперь 4-многообразие $U(L)$ по всем этим трехмерным шарам. Многообразие распадется в объединение 4-мерных блоков, каждый из них, очевидно, является регулярной окрестностью особой точки графа $L$ и имеет поэтому структуру указанного выше прямого произведения.

Займемся теперь обратной склейкой. Начнем с того, что «улучшим» функции $H$ и $f$ в окрестности особого слоя $L$. Сделаем регулярную замену
\[
\widetilde{H}=\widetilde{H}(H, f) \text { и } \tilde{f}=\tilde{f}(H, f)
\]

Рис. 9.13
такую, чтобы бифуркационная диаграмма в окрестности точки $\mathcal{F}(x)$ «выпрямилась», то есть приняла вид, показанный на рис. 9.13: прямолинейный отрезок

ортогонально втыкается в середину другого отрезка. В результате две поверхности $P_{1}$ и $P_{2}$ в $M^{4}$ стали критическими невырожденными подмногообразиями для двух новых функций $\widetilde{f}, \widetilde{H}$. Более точно, двумерная поверхность $P_{1}-$ критическая для $\widetilde{f}$, а $P_{2}$ – критическая для $\widetilde{H}$. При этом, $P_{1}$ – критическое подмногообразие индекса $\lambda=1$, то есть седловое. А $P_{2}$ – это критическое подмногообразие индекса $\lambda=0$, т. е. отвечающее минимуму. Мы оказались в ситуации обобщенной леммы Морса-Ботта (см. предложение 1.16 главы 1). Применим эту лемму. Тогда в некоторой окрестности 2 -многообразия $P_{2}$ существуют две гладкие независимые, всюду на окрестности, функции $x_{1}, y_{1}$, что $\widetilde{H}=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}$. Аналогично, в некоторой окрестности поверхности $P_{1}$, являющейся несвязным объединением $s$ экземпляров 2 -дисков, т.е. атомов $A$, также существуют две гладкие независимые функции $x_{2}, y_{2}$ такие, что $\tilde{f}=x_{2} y_{2}$. На самом деле пока что эта пара функций $x_{2}, y_{2}$ определена не на всем элементарном 4 -блоке, а лишь на его части, являющейся прямым произведением атома $A$ на малую окрестность центра двумерного креста. Нам же нужно продолжить эту пару функций с этой окрестности на весь крест. Это, очевидно, можно сделать, не теряя их независимости и так, чтобы по-прежнему $\widetilde{f}=x_{2} y_{2}$. В результате мы получаем четверку функций $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}$ на всем элементарном 4 -блоке. Они являются на нем регулярными гладкими координатами, – не обязательно, впрочем, симплектическими, – относительно которых
\[
\widetilde{H}=x_{1}^{2}+y_{1}^{2} \quad \text { и } \quad \tilde{f}=x_{2} y_{2} .
\]

Итак, на каждом 4-блоке определена структура 2-слоения, показанная на рис. 9.12. При склейке границ 4-блоков мы должны «хорошо» склеить 1-слои каждого «заполненного цилиндра» вида $I \times D^{2}$. Каждый такой 3 -цилиндр расслоен на концентрические окружности, центры которых расположены на его оси – отрезке $I$. См. рис. 9.14. Эти окружности являются следами слоев слоения Лиувилля на границе 4-блока. На границе блока они задаются уравнениями: $H=$ const и $f=$ const. Следовательно, для каждой такой окружности на границе одного 4 -блока мы всегда можем найти ровно одну соответствующую окружность на
Рис. 9.14 границе соседнего блока, а именно, взяв окружность с точно такими же значениями функций $\widetilde{H}$ и $\tilde{f}$. См. рис. 9.14. Склеиваем эти окружности. Ясно, что тем самым мы однозначно задаем, с точностью до послойной изотопии, диффеоморфизм склейки двух «краевых» 3цилиндров $I \times D^{2}$. Осталось заметить, что функции $\widetilde{H}$ и $\widetilde{f}$ заданы глобально на всем 4 -многообразии $U(L)$, что дает нам возможность производить все склейки по стандартному и однозначно определенному правилу. Ясно, что в результате на $U(L)$ естественно возникает структура прямого произведения двух атомов $A$ и $V$.
Пункты (а),(б),(в) теоремы немедленно следуют из этого утверждения.

Перейдем к вычислению круговой молекулы. На рис. 9.15 показана дуга $\gamma_{\varepsilon}$, прообразом которой является 3 -многообразие $Q_{\varepsilon}$. Точке $y_{2}$ отвечает седловая бифуркация. Поскольку особенность $x$ имеет тип прямого произведения $A \times V$, то ясно, что эта бифуркация отвечает атому $V$. Аналогично, точкам $y_{1}$ и $y_{3}$ отвечают бифуркацииатомы $A$. Поэтому молекула, пока без меток, очевидно имеет требуемый вид, показанный на рис. 9.10. Осталось найти метки.

Рассмотрим точку на произвольном ребре молекулы и отвечающий ей тор Лиувилля. На это торе возьмем два

Рис. 9.15 цикла. Первый – тот, который сжимается в точку при подходе к точке $y_{1}$.

Второй цикл – это тот, который превращается в седловую критическую окружность при подходе к точку $y_{2}$. Очевидно, что это – один и тот же иикл. Этот цикл показан на рис. 9.9 как одна из окружностей, на которые расслоен атом $A$. В смысле имеющейся структуры прямого произведения этот цикл представляет собой неособый слой атома $A$, умноженный на вершину атома $V$. Как мы знаем из главы 4 , это означает, что соответствующая $r$-метка равна бесконечности. Следовательно, на всех ребрах молекулы нужно поставить $r$-метки, равные бесконечности.

Вычислим метки типа $\varepsilon$. Они стоят на ребрах молекулы и определяются взаимными ориентациями циклов. Рассмотрим исходный гамильтониан $H$ на $U(L)$. Поверхности $P_{1}$ и $P_{2}$ инвариантны относительно гамильтонова потока $\operatorname{sgrad} H$ и, следовательно, этот поток задает естественную ориентацию на всех критических окружностях. Рассмотрим произвольный тор Лиувилля. Его можно естественным образом отождествить с произведением двух критических окружностей, одна из которых лежит на поверхности $P_{1}$, а вторая на поверхности $P_{2}$. Поскольку обе эти окружности ориентированы потоком, то на торе возникает естественная ориентация. С другой стороны, на этом же торе, — как на торе из лиувиллева слоения на $Q_{\varepsilon}$, — есть еще одна ориентация. В нашем случае тор Лиувилля ограничивает полноторие, поэтому может рассматриваться как граничный тор 3 -атома $A$. Ориентация полнотория, индуцированная фиксированной ориентацией на $Q_{\varepsilon}$ при помощи внутренней нормали к границе полнотория, задает некоторую ориентацию на граничном торе. Сравним две возникшие ориентации на одном и том же торе. Если они совпадают, то метка $\varepsilon$ равна +1 . Если противоположны, то $\varepsilon=-1$.

В нашем случае эти ориентации показаны на рис. 9.16. На двух изображенных торах видно, что ориентации троек $(n, \lambda, \mu)$ и ( $\left.n^{\prime}, \lambda^{\prime}, \mu^{\prime}\right)$ различны. Следовательно, $\varepsilon$-метки, стоящие на ребрах, отвечающих этим торам Лиувилля, имеют

разные знаки. На этом рисунке взяты торы из разных семейств по отношению к атому $V$. Как видно из того же рисунка, — на торах, отвечающих ребрам одного типа, либо справа, либо слева от атома, метка $\varepsilon$ – одна и та же. Дело в том, что ориентации указанных троек совпадают.

Осталось вычислить топологию 3 -многообразия $Q_{\varepsilon}$. Но это уже было сделано выше в предложении 4.5 главы 4 . Теорема доказана.