Начнем с того, что для каждого 3-атома в молекуле выберем и зафиксируем какое-то трансверсальное сечение $P_{tr}$, а также допустимые системы координат на граничных торах 3-атома. При этом, для каждого 3 -атома трансверсальные сечения и допустимые системы координат нужно выбирать согласованно. Чтобы уточнить,что здесь мы имеем в виду, придется по отдельности рассмотреть все три возможных случая.
Случай 1: Атом $A$.
Случай 2: Седловой 3 -атом, у которого все критические окружности имеют ориентированные сепаратрисные диаграммы (атом без звездочек).

Случай 3: Седловой 3-атом, у которого есть критические окружности с неориентируемыми диаграммами (атом со звездочками).

Начнем со случая атома $A$. Трансверсальное сечение $P_{tr}$ в данном случае определено однозначно с точностью до изотопии, и является 2-диском. Его границей является исчезающий цикл $\lambda$ на граничном торе полнотория. Этот цикл мы выбираем за первый цикл допустимой системы координат. Второй цикл $\mu$ выбираем произвольно, лишь бы пара циклов $(\lambda ,\mu )$ образовывала базис на 2-торе.

Рассмотрим второй случай, т. е. седловой атом без звездочек. Здесь мы фиксируем на границе каждого куска $Q_c$ допустимые системы координат ( ${\lambda }_j,{\mu }_j$ ) следующим образом. Напомним, что индекс $j$ нумерует граничные торы куска $Q_c$. В качестве первого цикла ${\lambda }_j$ допустимой системы координат мы возьмем слой расслоения Зейферта. Второй цикл ${\mu }_j$ высекается на граничном торе $T_j$ трансверсальным сечением $P_{tr}$, другими словами, ${\mu }_j=P_{tr}\cap T_j$. Отметим, что если атом является плоским (т.е. $P_{tr}$ вкладывается в плоскость), то сечение $P_{tr}$ однозначно с точностью до изотопии определяется набором циклов $\left\{{\mu }_j\right\}$, т.е. своей границей. Однако в общем случае это неверно, т. е. по допустимой системе координат трансверсальное сечение, вообще говоря, однозначно не восстанавливается.

Теперь перейдем к последнему случаю, т.е. к атому со звездочками. В данном случае неверно, что циклы $\left\{{\mu }_j\right\}$ допустимой системы координат являются границей трансверсального сечения $P_{tr}\subset Q_c$. Грубо говоря, эти циклы $\left\{{\mu }_j\right\}$ составляют всего лишь «половину границы» трансверсального сечения. Более того, для случая атомов со звездочками трансверсальных сечений «очень много». Они могут иметь разную топологию и быть не гомеоморфными. Поэтому сначала нам придется выбрать и фиксировать топологический тип трансверсальных сечений в таких 3-атомах.

Пусть нам задан 3 -атом $Q_c$, имеющий критические окружности с неориентируемыми сепаратрисными диаграммами. Ему, как мы показали в главе 3, соответствует 2 -атом $P$ со звездочками, являющийся просто базой соответствующего расслоения Зейферта на $Q_c$. В качестве трансверсального сечения $P_{tr}$ мы должны взять некоторый дубль этого атома, т.е. двумерную поверхность $\hat{P}$ с инволюцией $\chi$ такую, что $P=\hat{P}/\chi$ (см. подробности в главе 3 ). Нам нужно выбрать канонический тип этого дубля. Рассмотрим для этого все вершины-звездочки 2 -атома $P$. Каждую из них соединим разрезом с положительной граничной

окружностью 2-атома, проходящей мимо этой вершины. Другими словами, мы делаем разрезы 2-атома из «в одном и том же направлении» — от вершин звездочек к положительной границе 2-атома. Затем берем два экземпляра получившейся поверхности и склеиваем из них дубль $\hat{P}$, отождествляя берега «одинаковых разрезов», т.е. отвечающих одной и той же вершине-звездочке. См. рис. 8.1. На этом дубле очевидно определена инволюция $\chi$, единственными неподвижными точками которой являются вершины-звездочки.

Построим теперь вложение дубля $\hat{P}$ в 3 -атом $Q_c$ в виде трансверсального сечения $P_{tr}$. Вложение должно быть таким, чтобы следующая диаграмма оказалась коммутативной:

Существование такого сечения фактически уже было доказано выше. См. главы 3,5 .
Рис. 8.1
Начиная с этого момента, для атомов со звездочками мы будем рассматривать только такие трансверсальные сечения $\alpha (\hat{P})=P_{tr}$. Поясним теперь, как используя это сечение, построить допустимые системы координат на граничных торах 3-атома $Q_c$. Рассмотрим произвольный граничный тор $T_j\subset \partial Q_c$. В качестве первого базисного цикла по определению берется слой расслоения Зейферта. Далее, как мы это уже делали в главе 4 , положим ${\hat{\mu }}_j=$ $=P_{tr}\cap T_j$. Все торы $T_j$ естественным образом делятся на положительные и отрицательные (по знаку функции вращения в допустимой системе координат, см. об этом ниже). Легко видеть, что в случае отрицательного тора ${\hat{\mu }}_j$ представляет собой несвязное объединение двух гомологичных между собой циклов, каждый из которых является сечением расслоения Зейферта. В качестве базисного цикла мы берем один из них. Если тор — положительный, то возможны два случая: либо ${\hat{\mu }}_j$ — объединение двух несвязных циклов, либо ${\hat{\mu }}_j$ — один цикл, имеющий индекс пересечения 2 со слоем расслоения Зейферта. Несложно понять, когда реализуется каждый из этих случаев. Рассмотрим для этого проекцию $\pi :P_{tr}\to P$ и образ $\pi \left({\hat{\mu }}_j\right)$. Этот образ, очевидно, представляет собой одну из граничных окружностей поверхности $P$. Пусть $s_j$ — число вершин-звездочек, мимо которых проходит данная окружность (или, что тоже самое, число разрезов, которые мы делали при построении дубля, выходящих на эту окружность). Тогда, если $s_j$ четно, то ${\hat{\mu }}_j$ — пара несвязных циклов и, наоборот, если $s_j$ нечетно, то ${\hat{\mu }}_j$ — связный цикл. В обоих случаях мы определим

базисный цикл ${\mu }_j$ из соотношения
$${\mu }_j=\frac{1}{2}({\hat{\mu }}_j+s_j\lambda ).$$

Это соотношение имеет смысл, поскольку выражение, стоящее в скобках, в обоих случаях является «двукратным» циклом. Итак, мы указали явные формулы, которые связывают границу трансверсального сечения $\partial P_{tr}=\left\{{\hat{\mu }}_j\right\}$ с базисными циклами допустимой системы координат.

Фиксируем теперь для каждого седлового 3 -атома $Q_c$ (со звездочками или без) трансверсальное сечение $P_{tr}$. Для атомов типа $A$ фиксируем структуру тривиального $S^1$-расслоения, выбрав каким-то образом слой $\mu$ на его граничном торе. Напомним, что в отличие от седловых атомов в этом случае неоднозначность состоит в выборе слоя расслоения Зейферта, тогда как трансверсальное сечение определено однозначно. Набор фиксированных сечений для седловых атомов и слоев для атомов типа $A$, мы будем обозначать через $\mathbb{P}$.
КоммЕНТАРИй. В дальнейшем, говоря о наборе $\mathbb{P}$, мы будем употреблять термин «набор сечений», хотя для атомов типа $A$ мы выбираем не сечение, а слой. Это не должно нас смущать, поскольку в действительности «теория сечений» играет основную роль во всех наших построениях.

Итак, пусть нам задан конкретный набор сечений $\mathbb{P}$. Тогда мы можем произвести вычисления многих естественных объектов. А именно, мы можем вычислить все матрицы склейки, все векторы вращения, все $\mathrm{\Lambda }$-, $\mathrm{\Delta }$ — и $Z$-инварианты потоков Пуанкаре для каждого конкретного сечения $P_{tr}\subset Q_c$. Проделаем эту процедуру. Введем следующие обозначения:
$e_j$ — ребро молекулы $W$;
$({\lambda }_j^{-},{\mu }_j^{-})$и $({\lambda }_j^{+},{\mu }_j^{+})$- допустимые системы координат на начале и конце ребра $e_j$ соответственно, зависящие от $\mathbb{P}$;
$C_j(\mathbb{P})$ — соответствующая матрица склейки на ребре $e_j$;
$R_j^{-}(\mathbb{P})$ и $R_j^{+}(\mathbb{P})$ — векторы вращения гамильтоновой системы $v$ на ребре $e_j$ в этих системах координат;
${\mathrm{\Lambda }}_c(\mathbb{P}),{\mathrm{\Delta }}_c(\mathbb{P})$ и $Z_c(\mathbb{P})-\mathrm{\Lambda },\mathrm{\Delta }$ и $Z$-инварианты потоков Пуанкаре для каждого 3 -атома $Q_c$, при данном выборе набора глобальных сечений $\mathbb{P}$.

Комментарий. Напомним наше предположение о том, что все седловые критические окружности интеграла $f$ на $Q^3$ являются гиперболическими. Это гарантирует нам, что гамильтониан Пуанкаре на трансверсальном 2 -сечении будет функцией Морса. См. выше предложение 5.5. Поэтому $\mathrm{\Lambda }$-, $\mathrm{\Delta }$ — и $Z$-инварианты будут корректно определены для каждого седлового атома.

Определение 8.1. Совокупность объектов
$$\mathbb{T}=\{C_j(\mathbb{P}),R_j^{-}(\mathbb{P}),R_j^{+}(\mathbb{P}),{\mathrm{\Lambda }}_c(\mathbb{P}),{\mathrm{\Delta }}_c(\mathbb{P}),Z_c(\mathbb{P})\}$$

мы будем называть избыточным $t$-оснащением молекулы $W$.
Другими словами, рассматривая избыточное $t$-оснащение, мы собираем вместе всю информацию об атомных и реберных траекторных инвариантах. Следующее утверждение показывает, что этой информации достаточно для траекторной классификации.

Лемма 8.1 (Основная). Пусть $v_{1}u{v}_2$-две интегрируемые гамильтоновы системы на изоэнергетических 3-поверхностях $Q_1$ и $Q_2$ соответственно. Пусть их молекулы совпадают. Эти системы траекторно топологически эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют наборы сечений ${\mathbb{P}}_1$ и ${\mathbb{P}}_2$, для систем $v_1$ $u{v}_2$ соответственно, такие, что отвечающие им избыточные $t$-оснащения совпадают.

Комментарий. Эта лемма показывает, что набор описанных нами траекторных инвариантов является полным. Следовательно, никаких других инвариантов (для целей траекторной классификации) искать уже не нужно. В то же время нужно отметить, что некоторым недостатком обнаруженных инвариантов является то, что они определены не однозначно, а зависят от выбора трансверсальных сечений. Однако эту неоднозначность можно устранить с помощью некоторой формальной процедуры. Грубо говоря, нужно произвести факторизацию избыточных $t$-оснащений по действию группы замен трансверсальных сечений. Это будет сделано в следующем параграфе.

Доказательство.
В одну сторону утверждение очевидно. Действительно, если системы эквивалентны, то для любого набора ${\mathbb{P}}_1$ мы можем в качестве ${\mathbb{P}}_2$ рассмотреть образ ${\mathbb{P}}_1$ при гомеоморфизме $\xi$, устанавливающем траекторную эквивалентность между системами. Тогда все инварианты, входящие в избыточное $t$-оснащение, совпадут. Докажем предложение в обратную сторону. Нужно показать, что две системы $v_1$ и $v_2$ с совпадающими избыточными $t$-оснащениями траекторно эквивалентны. Начнем со случая седловых атомов. Рассмотрим заданные нам наборы сечений ${\mathbb{P}}_1$ и ${\mathbb{P}}_2$. Из совпадения на них $\mathrm{\Lambda }$-, $\mathrm{\Delta }$ — и $Z$-инвариантов для $v_1$ и $v_2$ следует, что порождаемые ими потоки Пуанкаре $w_1$ и $w_2$ топологически сопряжены на заданных выше сечениях (см. теоремы 6.1 и 6.2 ). Отсюда следует, что системы $v_1$ и $v_2$ траекторно эквивалентны на соответствующих седловых атомах (см. теорему редукции 5.1 главы 5). В случае атомов $A$ ситуация совершенно аналогична и даже проще, поскольку здесь никаких атомных инвариантов нет. Достаточно знать поведение функции вращения на ребре молекулы вблизи атома $A$. А именно, справедлива следующая лемма.
Лемма 8.2. Пусть даны две интегрируемые системы $v_1$ и $v_2$ на 3-атоме $A$, то есть в окрестности устойчивой периодической траектории. Пусть функции вращения ${\rho }_1$ и ${\rho }_2$ этих систем сопряжены (непрерывно или гладко) в этой окрестности. Тогда системы $v_1$ и $v_2$ траекторно эквивалентны (топологически или гладко соответственно).
Доказательство.
Это утверждение является следствием доказанной выше теоремы редукции систем двух степеней свободы к системам одной степени свободы. Как будет показано ниже (в этой же главе), функция вращения системы $v_i$ на 3 -атоме $A$ совпадает с функцией периода редуцированной системы на 2 -атоме $A$, то есть на двумерном диске. В результате, вопрос о траекторной эквивалентности систем на 3 -атоме $A$ сводится к доказательству сопряженности редуцированных систем $w_1$ и $w_2$ на двумерном диске, при условии, что функции периодов сопряжены. Но в этом предположении можно написать явную формулу, задающую искомый гомеоморфизм (или диффеоморфизм, соответственно). Легко видеть (см., например [281]), что для каждой системы $w_i$ на 2-диске существуют локальные канонические координаты $p_i$ и $q_i$ такие, что гамильтонианы $F_i$ систем $w_i$ запишутся в виде $F_i=F_i(p_i^2+q_i^2)$. При этом функции периодов ${\mathrm{\Pi }}_i\left(s_i\right)$ будут иметь следующий вид:
$${\mathrm{\Pi }}_i\left(s_i\right)=2\pi {\left(\frac{\partial F_i}{\partial s_i}\right)}^{-1},$$

где $s_i=p_i^2+q_i^2$. Если функции вращения сопряжены при помощи замены $s_2=s_2\left(s_1\right)$, то гомеоморфизм (соответственно, диффеоморфизм), сопрягающий системы $w_1$ и $w_2$, может быть записан в следующем простом виде: ${\phi }_1={\phi }_2$, $s_2=s_2\left(s_1\right)$, где ${\phi }_i$ — полярные углы, отвечающие «декартовым» координатам $p_i,q_i$. Следовательно, потоки Пуанкаре на двумерном диске сопряжены, а потому исходные системы $v_1$ и $v_2$ траекторно эквивалентны на 3 -атоме $A$. Лемма доказана.

Итак, вблизи особых слоев (то есть, на 3-атомах) данные системы $v_1$ и $v_2$ траекторно эквивалентны. Кроме того, по условию, совпадают векторы вращения сравниваемых систем на соответствующих ребрах молекул $W_1$ и $W_2$. Отсюда и из предложений 5.2 и 5.3 главы 5 следует, что системы $v_1$ и $v_2$ траекторно эквивалентны на каждом ребре. Осталось сшить имеющиеся траекторные эквивалентности на атомах и на ребрах. Итак, рассмотрим произвольное ребро $e$, примыкающее к какому-либо атому $V$. Вблизи атома на некотором однопараметрическом семействе торов Лиувилля $T\times [a,b]$ мы имеем два различных траекторных изоморфизма:
$$\xi ,\eta :T^2\times [a,b]\to T^2\times [a^{\prime },b^{\prime }].$$

Для сшивания мы должны построить некоторый новый траекторный изоморфизм $\zeta :T^2\times [a,b]\to T^2\times [a^{\prime },b^{\prime }]$, который совпадает с $\xi$ в окрестности одного граничного тора, т.е. на множестве $T^2\times [a,a+\epsilon ]$, и совпадает с $\eta$ в окрестности второго граничного слоя, т.е. на множестве $T^2\times [b-\epsilon ,b]$. Отметим, что оба изоморфизма в нашей ситуации являются послойными, т.е. образом тора Лиувилля из семейства $T^2\times [a,b]$ является некоторый тор Лиувилля из семейства $T^2\times [a^{\prime },b^{\prime }]$, причем один и тот же для обоих диффеоморфизмов. Дело в том, что при траекторных изоморфизмах обязано сохраняться число вращения, которое вблизи седлового атома меняется монотонно. Кроме этого траекторные изоморфизмы $\xi$ и $\eta$ являются гомотопически эквивалентными. Это связано с тем, что гомотопический класс отображения определяется образами базисных циклов на торе, т.е. циклов, задающих допустимые системы координат. В нашем случае образы базисных циклов фиксированы, поскольку фиксированы наборы сечений. Требуемое сшивание возможно в силу следующей леммы о сшивании, которая справедлива как в гладком, так и в топологическом случае.
Лемма 8.3 (Лемма о сшивании). Пусть заданы два различных траекторных изоморфизма между интегрируемыми гамильтоновыми системами $v_{1}u{v}_2$,

ограниченными на однопараметрические семейства лиувиллевых торов:
$$\xi ,\eta :T^2\times [a,b]\to T^2\times [a^{\prime },b^{\prime }].$$

Пусть $\xi (T^2\times \{c\})=\eta (T^2\times \{c\})$ и кроме того $\xi$ и $\eta$ гомотопны. Тогда существует сшивающий траекторный изоморфизм $\zeta$ такой, что
$$\begin{array}{l}\zeta =\xi \text{ на множестве }{T}^2\times [a,a+\epsilon ],\text{ и }\\ \zeta =\eta \text{ на множестве }{T}^2\times [b-\epsilon ,b].\end{array}$$

Доказательство.
Рис. 8.2
Без ограничения общности мы можем считать, что функция вращения меняется мало на нашем семействе торов. Иначе мы можем разбить все на узкие кусочки и доказывать для каждого из них лемму по отдельности. Это условие нужно нам для существования трансверсального сечения. В нашем случае, впрочем, оно будет выполнено автоматически, поскольку вблизи атома такое сечение всегда существует.
Итак, рассмотрим произвольное трансверсальное сечение $P=S^1\times [a,b]\subset T^2\times [a,b]$ к векторному полю $v_1$ и построим соответствующее ему трансверсальное сечение $P^{\prime }$ к векторному полю $v_2$ в семействе $T^2\times [a^{\prime },b^{\prime }]$ так, чтобы вблизи граничного тора $T^2\times \{a\}$ оно совпадало с образом $\xi (P)$, а вблизи другого граничного тора $T^2\times \{b\}$ с образом $\eta (P)$. Легко видеть, что такая трансверсаль $P^{\prime }$ существует.

Далее, на трансверсалях $P$ и $P^{\prime }$ возникают потоки Пуанкаре, которые будут сопряжены в силу теоремы редукции. Изоморфизм $\varkappa$, сопрягающий эти потоки, определен неоднозначно. Произвол состоит в следующем. Пусть $N$ — произвольная кривая, соединяющая пару точек на двух компонентах границы кольца $P$ и трансверсальная траекториям потока Пуанкаре (рис. 8.2). Тогда в качестве образа $N$ при отображении $\varkappa$ мы можем взять произвольную аналогичную трансверсальную кривую $N^{\prime }$ на кольце $P^{\prime }$. Легко видеть, что если образ $\varkappa (N)$ фиксирован, то далее $\varkappa$ однозначно восстанавливается.

В нашем случае в качестве трансверсали $N^{\prime }$ на кольце $P^{\prime }$ мы возьмем такую кривую, которая вблизи одной граничной окружности совпадает с $\xi (N)$, а вблизи другой граничной окружности совпадает с $\eta (N)$. Внутри кольца кривая $N^{\prime }$ может быть выбрана произвольным образом, лишь бы она была гладкой и трансверсальной потоку Пуанкаре. После этого мы можем однозначно восстановить изоморфизм $\varkappa :P\to P^{\prime }$, переводящий поток Пуанкаре ${\sigma }^t$ на $P$ в поток Пуанкаре ${\sigma }^{\prime t}$ на $P^{\prime }$. Ясно, что по построению, вблизи первой граничной окружности $\varkappa$ совпадает с ограничением ${\xi |}_P$, а вблизи другой граничной окружности с ${\eta |}_P$.

Теперь нам нужно продолжить отображение $\varkappa :P\to P^{\prime }$ до траекторного изоморфизма $\zeta$ между семействами торов Лиувилля $T^2\times [a,b]$ и $T^2\times [a^{\prime },b^{\prime }]$. Такое продолжение всегда возможно.

Дадим формальное построение. Сделаем гладкую замену времени на траекториях потоков $v$ и $v^{\prime }$ так, чтобы время движения от произвольной точки $x\in P$ (соответственно, $x^{\prime }\in P^{\prime }$ ) до точки $\sigma (x)\in P$ (соответственно, ${\sigma }^{\prime }\left(x^{\prime }\right)\in P^{\prime }$ ) было равно единице. Тогда на семействах торов $T^2\times [a,b]$ и $T^2\times [a^{\prime },b^{\prime }]$ возникают естественные системы координат $(x,t)$ и $(x^{\prime },t^{\prime })$, где $x$ и $x^{\prime }$ — точки на поверхностях $P$ и $P^{\prime }$ соответственно, а $t$ и $t^{\prime }$ — новые времена вдоль потоков. При этом точки $(x,t+1)$ и $(\sigma (x),t)$ отождествляются. Аналогично, имеем $(x^{\prime },t^{\prime }+1)=({\sigma }^{\prime }\left(x^{\prime }\right),t^{\prime })$. Точку $x$ в свою очередь удобно представлять в виде пары $(\phi ,f)$, где $\phi$ — параметр на окружности, а $f$ — параметр на отрезке $[a,b]$. Аналогично, имеем $x^{\prime }=({\phi }^{\prime },f^{\prime })$.

Теперь изоморфизм $\zeta$ в координатах может быть записан следующим образом:
$$\zeta (x,t)=(x^{\prime }=\varkappa (x),t^{\prime }=t^{\prime }(x,t)),$$

причем
1) $t^{\prime }$ монотонна;
2) $t^{\prime }(x,t+1)=t^{\prime }(\sigma (x),t)+1$
3) $t^{\prime }(x,0)=0,t^{\prime }(x,1)=1$.
Отображение, удовлетворяющее этим условиям, очевидно, существует, поскольку потоки Рис. 8.3 Пуанкаре ${\sigma }^t$ и ${\sigma }^{\prime t}$ сопряжены. Возьмем произвольное такое отображение $\tilde{\zeta }$. Соответствующую функцию $t^{\prime }(x,t)$ мы обозначим через $\widetilde{t^{\prime }}(x,t)$. Затем «продеформируем» отображение так, чтобы вблизи граничных торов оно совпадало с $\xi$ и $\eta$ соответственно. Ясно, что формулы изоморфизмов $\xi$ и $\eta$ в координатах имеют такой же вид, что и выписанные выше формулы для $\tilde{\zeta }$. Отличие состоит лишь в выборе функции $t^{\prime }$. Обозначим эти функции для $\xi$ и $\eta$ через $t_{\xi }^{\prime }$ и $t_{\eta }^{\prime }$ соответственно. Определим теперь новую функцию $t^{\prime }$ по формуле
$$t^{\prime }(x,t)=\{\begin{array}{ll}(1-c(f))t_{\xi }^{\prime }(x,t)+c(f)\widetilde{t^{\prime }}(x,t)& \text{ при }f\in [a,a+2\epsilon ],\\ \widetilde{t^{\prime }}(x,t)& \text{ при }f\in [a+2\epsilon ,b-2\epsilon ],\\ (1-c(f))t_{\eta }^{\prime }(x,t)+c(f)\widetilde{t^{\prime }}(x,t)& \text{ при }f\in [b-2\epsilon ,b].\end{array}$$

Здесь $c(f)$ — гладкая функция, график которой изображен на рис. 8.3. Легко видеть, что функция $t^{\prime }(x,t)$ удовлетворяет всем требуемым условиям. Лемма о сшивании доказана.

Замечание. Нетрудно увидеть, что доказательство леммы справедливо и в гладком случае. Более того, все доказательство построено по существу на неявном предположении о гладкости всех рассматриваемых объектов. Это вполне естественно, поскольку, как мы уже видели, вся негладкость сосредоточена только на особых слоях, а сшивание производится на некотором удалении от них. Эту лемму мы используем ниже при рассмотрении гладкого случая.

Итак, сшивая между собой с помощью этой леммы атомные и реберные траекторные изоморфизмы, мы получаем в результате глобальный траекторный изоморфизм, что и требовалось.
Основная лемма в топологическом случае доказана.