Начнем с того, что для каждого 3-атома в молекуле выберем и зафиксируем какое-то трансверсальное сечение $P_{t r}$, а также допустимые системы координат на граничных торах 3-атома. При этом, для каждого 3 -атома трансверсальные сечения и допустимые системы координат нужно выбирать согласованно. Чтобы уточнить,что здесь мы имеем в виду, придется по отдельности рассмотреть все три возможных случая.
Случай 1: Атом $A$.
Случай 2: Седловой 3 -атом, у которого все критические окружности имеют ориентированные сепаратрисные диаграммы (атом без звездочек).

Случай 3: Седловой 3-атом, у которого есть критические окружности с неориентируемыми диаграммами (атом со звездочками).

Начнем со случая атома $A$. Трансверсальное сечение $P_{t r}$ в данном случае определено однозначно с точностью до изотопии, и является 2-диском. Его границей является исчезающий цикл $\lambda$ на граничном торе полнотория. Этот цикл мы выбираем за первый цикл допустимой системы координат. Второй цикл $\mu$ выбираем произвольно, лишь бы пара циклов $(\lambda, \mu)$ образовывала базис на 2-торе.

Рассмотрим второй случай, т. е. седловой атом без звездочек. Здесь мы фиксируем на границе каждого куска $Q_{c}$ допустимые системы координат ( $\lambda_{j}, \mu_{j}$ ) следующим образом. Напомним, что индекс $j$ нумерует граничные торы куска $Q_{c}$. В качестве первого цикла $\lambda_{j}$ допустимой системы координат мы возьмем слой расслоения Зейферта. Второй цикл $\mu_{j}$ высекается на граничном торе $T_{j}$ трансверсальным сечением $P_{t r}$, другими словами, $\mu_{j}=P_{t r} \cap T_{j}$. Отметим, что если атом является плоским (т.е. $P_{t r}$ вкладывается в плоскость), то сечение $P_{t r}$ однозначно с точностью до изотопии определяется набором циклов $\left\{\mu_{j}\right\}$, т.е. своей границей. Однако в общем случае это неверно, т. е. по допустимой системе координат трансверсальное сечение, вообще говоря, однозначно не восстанавливается.

Теперь перейдем к последнему случаю, т.е. к атому со звездочками. В данном случае неверно, что циклы $\left\{\mu_{j}\right\}$ допустимой системы координат являются границей трансверсального сечения $P_{t r} \subset Q_{c}$. Грубо говоря, эти циклы $\left\{\mu_{j}\right\}$ составляют всего лишь «половину границы» трансверсального сечения. Более того, для случая атомов со звездочками трансверсальных сечений «очень много». Они могут иметь разную топологию и быть не гомеоморфными. Поэтому сначала нам придется выбрать и фиксировать топологический тип трансверсальных сечений в таких 3-атомах.

Пусть нам задан 3 -атом $Q_{c}$, имеющий критические окружности с неориентируемыми сепаратрисными диаграммами. Ему, как мы показали в главе 3, соответствует 2 -атом $P$ со звездочками, являющийся просто базой соответствующего расслоения Зейферта на $Q_{c}$. В качестве трансверсального сечения $P_{t r}$ мы должны взять некоторый дубль этого атома, т.е. двумерную поверхность $\widehat{P}$ с инволюцией $\chi$ такую, что $P=\widehat{P} / \chi$ (см. подробности в главе 3 ). Нам нужно выбрать канонический тип этого дубля. Рассмотрим для этого все вершины-звездочки 2 -атома $P$. Каждую из них соединим разрезом с положительной граничной

окружностью 2-атома, проходящей мимо этой вершины. Другими словами, мы делаем разрезы 2-атома из «в одном и том же направлении» – от вершин звездочек к положительной границе 2-атома. Затем берем два экземпляра получившейся поверхности и склеиваем из них дубль $\widehat{P}$, отождествляя берега «одинаковых разрезов», т.е. отвечающих одной и той же вершине-звездочке. См. рис. 8.1. На этом дубле очевидно определена инволюция $\chi$, единственными неподвижными точками которой являются вершины-звездочки.

Построим теперь вложение дубля $\widehat{P}$ в 3 -атом $Q_{c}$ в виде трансверсального сечения $P_{t r}$. Вложение должно быть таким, чтобы следующая диаграмма оказалась коммутативной:

Существование такого сечения фактически уже было доказано выше. См. главы 3,5 .
Рис. 8.1
Начиная с этого момента, для атомов со звездочками мы будем рассматривать только такие трансверсальные сечения $\alpha(\widehat{P})=P_{t r}$. Поясним теперь, как используя это сечение, построить допустимые системы координат на граничных торах 3-атома $Q_{c}$. Рассмотрим произвольный граничный тор $T_{j} \subset \partial Q_{c}$. В качестве первого базисного цикла по определению берется слой расслоения Зейферта. Далее, как мы это уже делали в главе 4 , положим $\widehat{\mu}_{j}=$ $=P_{t r} \cap T_{j}$. Все торы $T_{j}$ естественным образом делятся на положительные и отрицательные (по знаку функции вращения в допустимой системе координат, см. об этом ниже). Легко видеть, что в случае отрицательного тора $\widehat{\mu}_{j}$ представляет собой несвязное объединение двух гомологичных между собой циклов, каждый из которых является сечением расслоения Зейферта. В качестве базисного цикла мы берем один из них. Если тор – положительный, то возможны два случая: либо $\widehat{\mu}_{j}$ – объединение двух несвязных циклов, либо $\widehat{\mu}_{j}$ – один цикл, имеющий индекс пересечения 2 со слоем расслоения Зейферта. Несложно понять, когда реализуется каждый из этих случаев. Рассмотрим для этого проекцию $\pi: P_{t r} \rightarrow P$ и образ $\pi\left(\widehat{\mu}_{j}\right)$. Этот образ, очевидно, представляет собой одну из граничных окружностей поверхности $P$. Пусть $s_{j}$ – число вершин-звездочек, мимо которых проходит данная окружность (или, что тоже самое, число разрезов, которые мы делали при построении дубля, выходящих на эту окружность). Тогда, если $s_{j}$ четно, то $\widehat{\mu}_{j}$ – пара несвязных циклов и, наоборот, если $s_{j}$ нечетно, то $\widehat{\mu}_{j}$ – связный цикл. В обоих случаях мы определим

базисный цикл $\mu_{j}$ из соотношения
\[
\mu_{j}=\frac{1}{2}\left(\widehat{\mu}_{j}+s_{j} \lambda\right) .
\]

Это соотношение имеет смысл, поскольку выражение, стоящее в скобках, в обоих случаях является «двукратным» циклом. Итак, мы указали явные формулы, которые связывают границу трансверсального сечения $\partial P_{t r}=\left\{\widehat{\mu}_{j}\right\}$ с базисными циклами допустимой системы координат.

Фиксируем теперь для каждого седлового 3 -атома $Q_{c}$ (со звездочками или без) трансверсальное сечение $P_{t r}$. Для атомов типа $A$ фиксируем структуру тривиального $S^{1}$-расслоения, выбрав каким-то образом слой $\mu$ на его граничном торе. Напомним, что в отличие от седловых атомов в этом случае неоднозначность состоит в выборе слоя расслоения Зейферта, тогда как трансверсальное сечение определено однозначно. Набор фиксированных сечений для седловых атомов и слоев для атомов типа $A$, мы будем обозначать через $\mathbb{P}$.
КоммЕНТАРИй. В дальнейшем, говоря о наборе $\mathbb{P}$, мы будем употреблять термин «набор сечений», хотя для атомов типа $A$ мы выбираем не сечение, а слой. Это не должно нас смущать, поскольку в действительности «теория сечений» играет основную роль во всех наших построениях.

Итак, пусть нам задан конкретный набор сечений $\mathbb{P}$. Тогда мы можем произвести вычисления многих естественных объектов. А именно, мы можем вычислить все матрицы склейки, все векторы вращения, все $\Lambda$-, $\Delta$ – и $Z$-инварианты потоков Пуанкаре для каждого конкретного сечения $P_{t r} \subset Q_{c}$. Проделаем эту процедуру. Введем следующие обозначения:
$e_{j}$ – ребро молекулы $W$;
$\left(\lambda_{j}^{-}, \mu_{j}^{-}\right)$и $\left(\lambda_{j}^{+}, \mu_{j}^{+}\right)$- допустимые системы координат на начале и конце ребра $e_{j}$ соответственно, зависящие от $\mathbb{P}$;
$C_{j}(\mathbb{P})$ – соответствующая матрица склейки на ребре $e_{j}$;
$R_{j}^{-}(\mathbb{P})$ и $R_{j}^{+}(\mathbb{P})$ – векторы вращения гамильтоновой системы $v$ на ребре $e_{j}$ в этих системах координат;
$\Lambda_{c}(\mathbb{P}), \Delta_{c}(\mathbb{P})$ и $Z_{c}(\mathbb{P})-\Lambda, \Delta$ и $Z$-инварианты потоков Пуанкаре для каждого 3 -атома $Q_{c}$, при данном выборе набора глобальных сечений $\mathbb{P}$.

Комментарий. Напомним наше предположение о том, что все седловые критические окружности интеграла $f$ на $Q^{3}$ являются гиперболическими. Это гарантирует нам, что гамильтониан Пуанкаре на трансверсальном 2 -сечении будет функцией Морса. См. выше предложение 5.5. Поэтому $\Lambda$-, $\Delta$ – и $Z$-инварианты будут корректно определены для каждого седлового атома.

Определение 8.1. Совокупность объектов
\[
\mathbb{T}=\left\{C_{j}(\mathbb{P}), R_{j}^{-}(\mathbb{P}), R_{j}^{+}(\mathbb{P}), \Lambda_{c}(\mathbb{P}), \Delta_{c}(\mathbb{P}), Z_{c}(\mathbb{P})\right\}
\]

мы будем называть избыточным $t$-оснащением молекулы $W$.
Другими словами, рассматривая избыточное $t$-оснащение, мы собираем вместе всю информацию об атомных и реберных траекторных инвариантах. Следующее утверждение показывает, что этой информации достаточно для траекторной классификации.

Лемма 8.1 (Основная). Пусть $v_{1} u v_{2}$-две интегрируемые гамильтоновы системы на изоэнергетических 3-поверхностях $Q_{1}$ и $Q_{2}$ соответственно. Пусть их молекулы совпадают. Эти системы траекторно топологически эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют наборы сечений $\mathbb{P}_{1}$ и $\mathbb{P}_{2}$, для систем $v_{1}$ $u v_{2}$ соответственно, такие, что отвечающие им избыточные $t$-оснащения совпадают.

Комментарий. Эта лемма показывает, что набор описанных нами траекторных инвариантов является полным. Следовательно, никаких других инвариантов (для целей траекторной классификации) искать уже не нужно. В то же время нужно отметить, что некоторым недостатком обнаруженных инвариантов является то, что они определены не однозначно, а зависят от выбора трансверсальных сечений. Однако эту неоднозначность можно устранить с помощью некоторой формальной процедуры. Грубо говоря, нужно произвести факторизацию избыточных $t$-оснащений по действию группы замен трансверсальных сечений. Это будет сделано в следующем параграфе.

Доказательство.
В одну сторону утверждение очевидно. Действительно, если системы эквивалентны, то для любого набора $\mathbb{P}_{1}$ мы можем в качестве $\mathbb{P}_{2}$ рассмотреть образ $\mathbb{P}_{1}$ при гомеоморфизме $\xi$, устанавливающем траекторную эквивалентность между системами. Тогда все инварианты, входящие в избыточное $t$-оснащение, совпадут. Докажем предложение в обратную сторону. Нужно показать, что две системы $v_{1}$ и $v_{2}$ с совпадающими избыточными $t$-оснащениями траекторно эквивалентны. Начнем со случая седловых атомов. Рассмотрим заданные нам наборы сечений $\mathbb{P}_{1}$ и $\mathbb{P}_{2}$. Из совпадения на них $\Lambda$-, $\Delta$ – и $Z$-инвариантов для $v_{1}$ и $v_{2}$ следует, что порождаемые ими потоки Пуанкаре $w_{1}$ и $w_{2}$ топологически сопряжены на заданных выше сечениях (см. теоремы 6.1 и 6.2 ). Отсюда следует, что системы $v_{1}$ и $v_{2}$ траекторно эквивалентны на соответствующих седловых атомах (см. теорему редукции 5.1 главы 5). В случае атомов $A$ ситуация совершенно аналогична и даже проще, поскольку здесь никаких атомных инвариантов нет. Достаточно знать поведение функции вращения на ребре молекулы вблизи атома $A$. А именно, справедлива следующая лемма.
Лемма 8.2. Пусть даны две интегрируемые системы $v_{1}$ и $v_{2}$ на 3-атоме $A$, то есть в окрестности устойчивой периодической траектории. Пусть функции вращения $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ этих систем сопряжены (непрерывно или гладко) в этой окрестности. Тогда системы $v_{1}$ и $v_{2}$ траекторно эквивалентны (топологически или гладко соответственно).
Доказательство.
Это утверждение является следствием доказанной выше теоремы редукции систем двух степеней свободы к системам одной степени свободы. Как будет показано ниже (в этой же главе), функция вращения системы $v_{i}$ на 3 -атоме $A$ совпадает с функцией периода редуцированной системы на 2 -атоме $A$, то есть на двумерном диске. В результате, вопрос о траекторной эквивалентности систем на 3 -атоме $A$ сводится к доказательству сопряженности редуцированных систем $w_{1}$ и $w_{2}$ на двумерном диске, при условии, что функции периодов сопряжены. Но в этом предположении можно написать явную формулу, задающую искомый гомеоморфизм (или диффеоморфизм, соответственно). Легко видеть (см., например [281]), что для каждой системы $w_{i}$ на 2-диске существуют локальные канонические координаты $p_{i}$ и $q_{i}$ такие, что гамильтонианы $F_{i}$ систем $w_{i}$ запишутся в виде $F_{i}=F_{i}\left(p_{i}^{2}+q_{i}^{2}\right)$. При этом функции периодов $\Pi_{i}\left(s_{i}\right)$ будут иметь следующий вид:
\[
\Pi_{i}\left(s_{i}\right)=2 \pi\left(\frac{\partial F_{i}}{\partial s_{i}}\right)^{-1},
\]

где $s_{i}=p_{i}^{2}+q_{i}^{2}$. Если функции вращения сопряжены при помощи замены $s_{2}=s_{2}\left(s_{1}\right)$, то гомеоморфизм (соответственно, диффеоморфизм), сопрягающий системы $w_{1}$ и $w_{2}$, может быть записан в следующем простом виде: $\varphi_{1}=\varphi_{2}$, $s_{2}=s_{2}\left(s_{1}\right)$, где $\varphi_{i}$ – полярные углы, отвечающие «декартовым» координатам $p_{i}, q_{i}$. Следовательно, потоки Пуанкаре на двумерном диске сопряжены, а потому исходные системы $v_{1}$ и $v_{2}$ траекторно эквивалентны на 3 -атоме $A$. Лемма доказана.

Итак, вблизи особых слоев (то есть, на 3-атомах) данные системы $v_{1}$ и $v_{2}$ траекторно эквивалентны. Кроме того, по условию, совпадают векторы вращения сравниваемых систем на соответствующих ребрах молекул $W_{1}$ и $W_{2}$. Отсюда и из предложений 5.2 и 5.3 главы 5 следует, что системы $v_{1}$ и $v_{2}$ траекторно эквивалентны на каждом ребре. Осталось сшить имеющиеся траекторные эквивалентности на атомах и на ребрах. Итак, рассмотрим произвольное ребро $e$, примыкающее к какому-либо атому $V$. Вблизи атома на некотором однопараметрическом семействе торов Лиувилля $T \times[a, b]$ мы имеем два различных траекторных изоморфизма:
\[
\xi, \eta: T^{2} \times[a, b] \rightarrow T^{2} \times\left[a^{\prime}, b^{\prime}\right] .
\]

Для сшивания мы должны построить некоторый новый траекторный изоморфизм $\zeta: T^{2} \times[a, b] \rightarrow T^{2} \times\left[a^{\prime}, b^{\prime}\right]$, который совпадает с $\xi$ в окрестности одного граничного тора, т.е. на множестве $T^{2} \times[a, a+\varepsilon]$, и совпадает с $\eta$ в окрестности второго граничного слоя, т.е. на множестве $T^{2} \times[b-\varepsilon, b]$. Отметим, что оба изоморфизма в нашей ситуации являются послойными, т.е. образом тора Лиувилля из семейства $T^{2} \times[a, b]$ является некоторый тор Лиувилля из семейства $T^{2} \times\left[a^{\prime}, b^{\prime}\right]$, причем один и тот же для обоих диффеоморфизмов. Дело в том, что при траекторных изоморфизмах обязано сохраняться число вращения, которое вблизи седлового атома меняется монотонно. Кроме этого траекторные изоморфизмы $\xi$ и $\eta$ являются гомотопически эквивалентными. Это связано с тем, что гомотопический класс отображения определяется образами базисных циклов на торе, т.е. циклов, задающих допустимые системы координат. В нашем случае образы базисных циклов фиксированы, поскольку фиксированы наборы сечений. Требуемое сшивание возможно в силу следующей леммы о сшивании, которая справедлива как в гладком, так и в топологическом случае.
Лемма 8.3 (Лемма о сшивании). Пусть заданы два различных траекторных изоморфизма между интегрируемыми гамильтоновыми системами $v_{1} u v_{2}$,

ограниченными на однопараметрические семейства лиувиллевых торов:
\[
\xi, \eta: T^{2} \times[a, b] \rightarrow T^{2} \times\left[a^{\prime}, b^{\prime}\right] .
\]

Пусть $\xi\left(T^{2} \times\{c\}\right)=\eta\left(T^{2} \times\{c\}\right)$ и кроме того $\xi$ и $\eta$ гомотопны. Тогда существует сшивающий траекторный изоморфизм $\zeta$ такой, что
\[
\begin{array}{l}
\zeta=\xi \text { на множестве } T^{2} \times[a, a+\varepsilon], \text { и } \\
\zeta=\eta \text { на множестве } T^{2} \times[b-\varepsilon, b] .
\end{array}
\]

Доказательство.
Рис. 8.2
Без ограничения общности мы можем считать, что функция вращения меняется мало на нашем семействе торов. Иначе мы можем разбить все на узкие кусочки и доказывать для каждого из них лемму по отдельности. Это условие нужно нам для существования трансверсального сечения. В нашем случае, впрочем, оно будет выполнено автоматически, поскольку вблизи атома такое сечение всегда существует.
Итак, рассмотрим произвольное трансверсальное сечение $P=S^{1} \times[a, b] \subset T^{2} \times[a, b]$ к векторному полю $v_{1}$ и построим соответствующее ему трансверсальное сечение $P^{\prime}$ к векторному полю $v_{2}$ в семействе $T^{2} \times\left[a^{\prime}, b^{\prime}\right]$ так, чтобы вблизи граничного тора $T^{2} \times\{a\}$ оно совпадало с образом $\xi(P)$, а вблизи другого граничного тора $T^{2} \times\{b\}$ с образом $\eta(P)$. Легко видеть, что такая трансверсаль $P^{\prime}$ существует.

Далее, на трансверсалях $P$ и $P^{\prime}$ возникают потоки Пуанкаре, которые будут сопряжены в силу теоремы редукции. Изоморфизм $\varkappa$, сопрягающий эти потоки, определен неоднозначно. Произвол состоит в следующем. Пусть $N$ – произвольная кривая, соединяющая пару точек на двух компонентах границы кольца $P$ и трансверсальная траекториям потока Пуанкаре (рис. 8.2). Тогда в качестве образа $N$ при отображении $\varkappa$ мы можем взять произвольную аналогичную трансверсальную кривую $N^{\prime}$ на кольце $P^{\prime}$. Легко видеть, что если образ $\varkappa(N)$ фиксирован, то далее $\varkappa$ однозначно восстанавливается.

В нашем случае в качестве трансверсали $N^{\prime}$ на кольце $P^{\prime}$ мы возьмем такую кривую, которая вблизи одной граничной окружности совпадает с $\xi(N)$, а вблизи другой граничной окружности совпадает с $\eta(N)$. Внутри кольца кривая $N^{\prime}$ может быть выбрана произвольным образом, лишь бы она была гладкой и трансверсальной потоку Пуанкаре. После этого мы можем однозначно восстановить изоморфизм $\varkappa: P \rightarrow P^{\prime}$, переводящий поток Пуанкаре $\sigma^{t}$ на $P$ в поток Пуанкаре $\sigma^{\prime t}$ на $P^{\prime}$. Ясно, что по построению, вблизи первой граничной окружности $\varkappa$ совпадает с ограничением $\left.\xi\right|_{P}$, а вблизи другой граничной окружности с $\left.\eta\right|_{P}$.

Теперь нам нужно продолжить отображение $\varkappa: P \rightarrow P^{\prime}$ до траекторного изоморфизма $\zeta$ между семействами торов Лиувилля $T^{2} \times[a, b]$ и $T^{2} \times\left[a^{\prime}, b^{\prime}\right]$. Такое продолжение всегда возможно.

Дадим формальное построение. Сделаем гладкую замену времени на траекториях потоков $v$ и $v^{\prime}$ так, чтобы время движения от произвольной точки $x \in P$ (соответственно, $x^{\prime} \in P^{\prime}$ ) до точки $\sigma(x) \in P$ (соответственно, $\sigma^{\prime}\left(x^{\prime}\right) \in P^{\prime}$ ) было равно единице. Тогда на семействах торов $T^{2} \times[a, b]$ и $T^{2} \times\left[a^{\prime}, b^{\prime}\right]$ возникают естественные системы координат $(x, t)$ и $\left(x^{\prime}, t^{\prime}\right)$, где $x$ и $x^{\prime}$ – точки на поверхностях $P$ и $P^{\prime}$ соответственно, а $t$ и $t^{\prime}$ – новые времена вдоль потоков. При этом точки $(x, t+1)$ и $(\sigma(x), t)$ отождествляются. Аналогично, имеем $\left(x^{\prime}, t^{\prime}+1\right)=\left(\sigma^{\prime}\left(x^{\prime}\right), t^{\prime}\right)$. Точку $x$ в свою очередь удобно представлять в виде пары $(\varphi, f)$, где $\varphi$ – параметр на окружности, а $f$ – параметр на отрезке $[a, b]$. Аналогично, имеем $x^{\prime}=\left(\varphi^{\prime}, f^{\prime}\right)$.

Теперь изоморфизм $\zeta$ в координатах может быть записан следующим образом:
\[
\zeta(x, t)=\left(x^{\prime}=\varkappa(x), t^{\prime}=t^{\prime}(x, t)\right),
\]

причем
1) $t^{\prime}$ монотонна;
2) $t^{\prime}(x, t+1)=t^{\prime}(\sigma(x), t)+1$
3) $t^{\prime}(x, 0)=0, t^{\prime}(x, 1)=1$.
Отображение, удовлетворяющее этим условиям, очевидно, существует, поскольку потоки Рис. 8.3 Пуанкаре $\sigma^{t}$ и $\sigma^{\prime t}$ сопряжены. Возьмем произвольное такое отображение $\widetilde{\zeta}$. Соответствующую функцию $t^{\prime}(x, t)$ мы обозначим через $\widetilde{t^{\prime}}(x, t)$. Затем «продеформируем» отображение так, чтобы вблизи граничных торов оно совпадало с $\xi$ и $\eta$ соответственно. Ясно, что формулы изоморфизмов $\xi$ и $\eta$ в координатах имеют такой же вид, что и выписанные выше формулы для $\widetilde{\zeta}$. Отличие состоит лишь в выборе функции $t^{\prime}$. Обозначим эти функции для $\xi$ и $\eta$ через $t_{\xi}^{\prime}$ и $t_{\eta}^{\prime}$ соответственно. Определим теперь новую функцию $t^{\prime}$ по формуле
\[
t^{\prime}(x, t)=\left\{\begin{array}{ll}
(1-c(f)) t_{\xi}^{\prime}(x, t)+c(f) \widetilde{t^{\prime}}(x, t) & \text { при } f \in[a, a+2 \varepsilon], \\
\widetilde{t^{\prime}}(x, t) & \text { при } f \in[a+2 \varepsilon, b-2 \varepsilon], \\
(1-c(f)) t_{\eta}^{\prime}(x, t)+c(f) \widetilde{t^{\prime}}(x, t) & \text { при } f \in[b-2 \varepsilon, b] .
\end{array}\right.
\]

Здесь $c(f)$ – гладкая функция, график которой изображен на рис. 8.3. Легко видеть, что функция $t^{\prime}(x, t)$ удовлетворяет всем требуемым условиям. Лемма о сшивании доказана.

Замечание. Нетрудно увидеть, что доказательство леммы справедливо и в гладком случае. Более того, все доказательство построено по существу на неявном предположении о гладкости всех рассматриваемых объектов. Это вполне естественно, поскольку, как мы уже видели, вся негладкость сосредоточена только на особых слоях, а сшивание производится на некотором удалении от них. Эту лемму мы используем ниже при рассмотрении гладкого случая.

Итак, сшивая между собой с помощью этой леммы атомные и реберные траекторные изоморфизмы, мы получаем в результате глобальный траекторный изоморфизм, что и требовалось.
Основная лемма в топологическом случае доказана.