Таким образом, мы описали следующие четыре класса 3-многообразий:
\[
(H),(Q),(W),\left(H^{\prime}\right) .
\]

Нам потребуются далее понятие связной суммы многообразий и понятие неприводимого многообразия.

Пусть $M$ и $N$ — два гладких многообразия одинаковой размерности $n$. Удалив из них по открытому шару $D^{n}$, получим два многообразия $M \backslash D$ и $N \backslash D$ с краем, гомеоморфным сфере $S^{n-1}$. Построим новое многообразие, склеив $M \backslash D$ и $N \backslash D$ по какому-нибудь гомеоморфизму их граничных сфер. На этом многообразии можно задать гладкую структуру.
Определение 4.13. Получившееся $n$-многообразие обозначим через $M \# N$ и назовем связной суммой многообразий $M$ и $N$. Многообразие называется примарным, если его нельзя представить в виде связной суммы двух других многообразий, каждое из которых отлично от сферы. Трехмерное многообразие называется неприводимым, если любая вложенная в него двумерная сфера ограничивает трехмерный шар.

Далее мы ограничимся рассмотрением лишь ориентируемых трехмерных многообразий.

Нижеследующая теорема является результатом усилий нескольких авторов: А. В. Браилова, С. В. Матвеева, А. Т. Фоменко и Х. Цишанга.

Теорема 4.3.
а) Четыре описанных выше класса 3-многообразий в действительности совпадают, m.e.
\[
(H)=(Q)=(W)=\left(H^{\prime}\right) .
\]
б) Класс (H) строго меньше (т.е. не исчерпывает) класса (M) всех 3-многообразий.
в) Если $Q^{\prime}$ и $Q^{\prime \prime}$ — два любых многообразия из класса (H), то их связная сумма $Q=Q^{\prime} \# Q^{\prime \prime}$ также принадлежит классу $(H)$.
2) Если многообразие $Q$ из класса $(H)$ является приводимым, т.е. представляется в виде связной суммы каких-то многообразий $Q^{\prime}$ и $Q^{\prime \prime}$, отличных от сферы (т.е. $Q=Q^{\prime} \# Q^{\prime \prime}$ ), то оба многообразия $Q^{\prime}$ и $Q^{\prime \prime}$ обязательно принадлежат тому же классу $(H)$.

Из этой важной теоремы 4.3 сразу получаем, например, такое следствие.
Предложение 4.9. Не каждое ориентируемое компактное замкнутое 3-многообразие может служить изоэнергетической 3 -поверхностью гамильтоновой системы, интегрируемой при помощи боттовского интеграла.

Другими словами, не каждое многообразие из класса ( $M$ ) является изоэнергетической 3 -поверхностью интегрируемой боттовской системы. Это означает, как мы уже отмечали, что возникают новые топологические препятствия к интегрируемости (в классе не только боттовских, но даже ручных интегралов). В нижеследующей теореме приведен пример достаточно эффективного критерия, позволяющего устанавливать неинтегрируемость гамильтоновых систем. Напомним, что многообразие называется гиперболическим, если его можно снабдить полной римановой метрикой постоянной отрицательной секционной кривизны.

Оказывается, класс $(H)$ не содержит гиперболических многообразий [125]. Следовательно, любая гамильтонова система, имеющая в качестве изоэнергетической 3 -поверхности компактное замкнутое гиперболическое многообразие, неинтегрируема (на данной поверхности) в классе боттовских интегралов (и более того, даже в классе ручных интегралов).