Напомним, что две динамические системы $\left(g^{t}, X\right.$ ) и ( $g^{\prime t}, X^{\prime}$ ) топологически (гладко) сопряжены, если существует гомеоморфизм (соотв. диффеоморфизм) $\xi: X \rightarrow X^{\prime}$, переводящий первую систему во вторую, т.е.
\[
g^{t}=\xi g^{t} \xi^{-1} .
\]

Кроме этого, в случае, когда многообразия $X$ и $X^{\prime}$ являются ориентированными, мы будем дополнительно требовать, чтобы $\xi$ сохранял ориентацию.
Теорема 5.1 (Теорема редукции).
a) Пусть две интегрируемые системы топологически (гладко) траекторно эквивалентны. Рассмотрим два атома $U(L)$ и $U^{\prime}\left(L^{\prime}\right)$, соответствующие друг другу при этой эквивалентности, и пусть $P_{t r} \subset U(L)$ – любое гладкое трансверсальное сечение. Тогда существует гладкое трансверсальное сечение $P_{t r}^{\prime} \subset U^{\prime}\left(L^{\prime}\right)$ такое, что потоки Пуанкаре на $P_{t r}$ и на $P_{t r}^{\prime}$ топологически (гладко) сопряжены. При этом в случае седлового атома со звездочками сопрягающий гомеоморфизм (диффеоморфизм) переводит инволюцию х в инволюцию $\chi^{\prime}$.

б) Обратно, пусть дана система $v$ на атоме $U(L)$ и система $v^{\prime}$ на атоме $U^{\prime}\left(L^{\prime}\right)$. Пусть внутри каждого из атомов существуют трансверсальные сечения $P_{t r}$ и $P_{t r}^{\prime}$ такие, что потоки Пуанкаре на этих сечениях топологически (гладко) сопряжены, причем в случае седловых атомов со звездочками сопрягающий гомеоморфизм (диффеоморфизм) переводит инволюцию $\chi$ в инволюцию $\chi^{\prime}$. Тогда две системы $v$ и $v^{\prime}$ топологически (гладко) траекторно эквивалентны на данных атомах.

Доказательство.
(a) Рассмотрим сначала непрерывный случай. Пусть $\bar{P}_{t r}$ – образ сечения $P_{t r}$ при траекторном гомеоморфизме $U(L) \rightarrow U^{\prime}\left(L^{\prime}\right)$. Вообще говоря, $\bar{P}_{t r}$ не является гладкой поверхностью в $U^{\prime}\left(L^{\prime}\right)$. Нам же нужны гладкие сечения. Поэтому вместо $\bar{P}_{t r}$ мы возьмем любое гладкое сечение $P_{t r}^{\prime}$, ему изотопное. Из траекторной эквивалентности систем $v$ и $v^{\prime}$ следует, что на сечениях $P_{t r}$ и $P_{t r}^{\prime}$ отображения Пуанкаре $\sigma$ и $\sigma^{\prime}$ сопряжены. При этом мы опираемся на то обстоятельство, что при изотопии сечения класс сопряженности отображения Пуанкаре не меняется.

Нам нужно показать теперь, что из сопряженности отображений Пуанкаре следует сопряженность соответствующих потоков Пуанкаре. Выше мы договорились рассматривать только нерезонансные системы. Покажем, что при этом предположении из условия $\sigma^{\prime}=\xi^{-1} \sigma \xi$ автоматически следует, что $\sigma^{\prime t}=\xi \sigma^{t} \xi^{-1}$. Действительно, в терминах отображения Пуанкаре нерезонансность означает, что почти для любой точки $x \in P_{t r}$ замыкание ее орбиты под действием $\sigma$ является окружностью – линией уровня дополнительного интеграла $f$. В силу гамильтоновости, ограничение $\sigma$ на эту окружность сопряжено повороту на некоторый угол $2 \pi \alpha$, где $\alpha$ – некоторое ирациональное число. Как теперь найти точку $\sigma^{t}(x)$, зная лишь образы $x$ под действием отображений вида $\sigma^{n}$, где $n-$ целое? Ответ следующий. В силу иррациональности $\alpha$ существует последовательность целых чисел $n_{k}$, для которых $\left(\alpha n_{k}-t\right) \bmod 1 \rightarrow 0$. Поэтому точка $\sigma^{t}(x)$ может быть охарактеризована как следующий предел
\[
\sigma^{t}(x)=\lim _{k \rightarrow \infty} \sigma^{n_{k}}(x) .
\]

Совершенно аналогичным образом дело обстоит и на трансверсальном сечении $P_{t r}^{\prime}$ для точки $y=\xi(x)$. Числа $\alpha$ и $\alpha^{\prime}$ при этом обязаны совпадать в силу сопряженности $\sigma$ и $\sigma^{\prime}$. Поэтому
\[
\sigma^{\prime t}(\xi(x))=\lim _{k \rightarrow \infty} \sigma^{n_{k}}(\xi(x)) .
\]

Переходя к пределу в равенстве $\sigma^{\prime n_{k}}(\xi(x))=\xi \sigma^{n_{k}}(x)$, получаем
\[
{\sigma^{\prime t}}^{t}(\xi(x))=\xi\left(\sigma^{t}(x)\right) .
\]

Поскольку «иррациональные» точки всюду плотны, то из соображений непрерывности это соотношение будет выполняться тождественно, что и требовалось.

Отметим, что хотя мы пользовались здесь условием нерезонансности, утверждение теоремы остается справедливым и в общем случае.

В случае атомов со звездочками утверждение о согласованности сопрягающего гомеоморфизма $\xi$ с инволюциями $\chi$ и $\chi^{\prime}$ следует из того, что эти инволюции однозначно определяются траекториями рассматриваемых гамильтоновых систем.
(б) Докажем утверждение в обратную сторону. Пусть задан гомеоморфизм между сечениями $P_{t r}$ и $P_{t r}^{\prime}$, сопрягающий потоки Пуанкаре (и переводящий $\chi$ в $\chi^{\prime}$ в случае атомов со звездочками). Рассмотрим произвольную точку $x$ в атоме $U(L)$. Проведем через нее интегральную траекторию $\gamma$ поля $\operatorname{sgrad} H$. Двигаясь по ней в обратном направлении из точки $x$, мы в некоторый момент впервые встретим сечение $P_{t r}$ в некоторой точке $y$. Обозначим через $t$ время, необходимое точке, движущейся под действием гамильтонова потока, чтобы попасть из $x$ в $y$. Рассмотрим на сечении $P_{t r}^{\prime}$ соответствующую точку $\zeta(y)$ и затем сместим ее вдоль траектории $\gamma^{\prime}$ поля $v^{\prime}$ на время $t^{\prime}=\frac{t c^{\prime}}{c}$. Здесь $c-$ время первого возвращения точки $y$ на сечение $P_{t r}$. Другими словами, $c$ – это длина участка траектории $\gamma$ от точки $y$ до точки $\bar{\sigma}(y)$. Число $c^{\prime}$ определяется аналогично. В результате мы получим некоторую точку на траектории $\gamma^{\prime}$. Обозначим ее через $\xi(x)$.

Построенное отображение $\xi: U(L) \rightarrow U^{\prime}\left(L^{\prime}\right)$ непрерывно и сохраняет траектории. В самом деле, его непрерывность нужно проверять лишь на самом трансверсальном сечении $P_{t r}$, а это гарантируется тем, что $\zeta$ сопрягает отображения Пуанкаре. В случае седлового атома со звездочками нам на самом деле требуется, чтобы отображение $\zeta: P_{t r} \rightarrow P_{t r}^{\prime}$ сопрягало $\bar{\sigma}$ и $\bar{\sigma}^{\prime}$. Но это сразу следует из того, что $\bar{\sigma}=\chi \sigma^{1 / 2}$, и оба сомножителя справа сохраняются по предположению.

Итак, мы построили гомеоморфизм $\xi: U(L) \rightarrow U^{\prime}\left(L^{\prime}\right)$, являющийся, очевидно, искомой траекторной эквивалентностью.

В гладком случае доказательство практически дословно повторяется. Нам остается только дополнительно проследить за тем, чтобы время на траекториях менялось гладко. Теорема доказана.

Таким образом, топологическая (гладкая) траекторная классификация интегрируемых систем на трехмерном атоме сводится с классификации гамильтоновых систем на двумерной поверхности с точностью до топологической (гладкой) сопряженности. Эта последняя задача нетривиальна. Следующий шаг, которому посвящены главы 6,7 , – описание инвариантов гамильтоновых систем, рассматриваемых с точностью до сопряженности, на двумерных атомах. При этом мы будем всегда предполагать, что все критические седловые окружности интеграла $f$ являются гиперболическими периодическими траекториями рассматриваемой системы. Это будет гарантировать нам, что гамильтониан редуцированной системы (на трансверсальном 2-сечении) является функцией Морса.
Но прежде мы поговорим об общей стратегии.