Согласно определению 1.24 критическая точка ранга $i$ отображения момента $\mathcal{F}$ является невырожденной в том и только в том случае, когда подалгебра $K(x,\mathcal{F})$ в вещественной симплектической алгебре Ли $\mathrm{sp}(2(n-i),\mathbb{R})$ является картановской. Напомним, что в отличие от случая комплексной симплектической алгебры Ли $sp(n-i,C)$, в вещественной алгебре Ли $sp(2(n-i),\mathbb{R})$ существуют несопряженные картановские подалгебры. Они имеют разные типы, и эти типы фактически классифицируют невырожденные точки отображения момента в вещественном случае. Такая классификация была предложена Вильямсоном (J. Williamson) [391]. Чтобы сформулировать его теорему, удобно смоделировать вещественную алгебру Ли $sp(2m,\mathbb{R})$ как пространство однородных квадратичных полиномов в симплектическом пространстве ${\mathbb{R}}^{2m}$ с канонической линейной 2 -формой $\omega$ (обозначим ее матрицу через $\mathrm{\Omega }$ ). Коммутатор в этой алгебре — это обычная скобка Пуассона полиномов (рассматриваемых как функции).

Комментарий. Поясним связь этой модели с конструкцией предыдущего параграфа. Рассмотрим однородный квадратичный полином $f$ и соответствующее ему векторное поле sgrad $f$. Оно имеет особую точку в нуле, и мы можем поэтому рассмотреть его линеаризацию $A_f$ как некоторый симплектический оператор. Легко проверяется, что отображение $f\to A_f$ является изоморфизмом алгебры квадратичных полиномов на алгебру $\mathrm{sp}(2m,\mathbb{R})$.

Tеорема 1.6 (J. Williamson). Пусть $K\subset sp(2m,\mathbb{R})$ — подалгебра Картана. Тогда существует симплектическая система координат $x_1,\dots ,x_m,y_1,\dots ,y_m$ в ${\mathbb{R}}^{2m}$ и базис $e_1,\dots ,e_m$ в $K$ такие, что каждый из квадратичных полиномов $e_i$ имеет один из следующих видов:

1) $e_i=x_i^2+y_i^2$ (эллиптический тип),
2) $e_i=x_i{y}_i$ (гиперболический тип),
3) $e_i=x_i{y}_{i+1}-x_{i+1}{y}_i,e_{i+1}=x_i{y}_i+x_{i+1}{y}_{i+1}$ (mип фокус-фокус).

Из этой теоремы видно, что тип картановской подалгебры $K$ полностью определяется набором трех целых чисел $(m_1,m_2,m_3)$, где $m_1+m_2+2m_3=m$, и $m_1$ — это число элементов базиса эллиптического типа, $m_2$ — гиперболического типа, а $m_3$ — число пар элементов $e_i,e_{i+1}$ базиса, имеющих тип фокус-фокус.

Комментарий. Тип $(m_1,m_2,m_3)$ картановской подалгебры $K$ в $sp(2m,\mathbb{R})$ можно описать несколько по-другому. Рассмотрим регулярный элемент в картановской подалгебре $K$. Его можно представить как квадратичный полином $f$, который задается некоторой симметричной матрицей. Обозначим ее снова через $f$. Рассмотрим ее характеристическое уравнение относительно формы $\omega$ :
$$\det (f-\mu \mathrm{\Omega })=0.$$

Это уравнение имеет какой-то набор корней. Корни разбиваются на три группы:

1) пары сопряженных чисто мнимых корней $i\alpha ,-i\alpha$,
2) пары вещественных корней $\beta ,-\beta$,
3) четверки комплексно сопряженных корней $\alpha +i\beta ,\alpha -i\beta ,-\alpha +i\beta ,-\alpha -i\beta$.
Количество элементов в каждой такой группе обозначим соответственно через $m_1,m_2,m_3$. Это и есть те самые числа $m_1,m_2,m_3$, которые появились при классификации картановских подалгебр.

Итак, с каждой невырожденной особенностью отображения момента $\mathcal{F}$ связана некоторая картановская подалгебра, которая классифицируется некоторой тройкой целых чисел ( $m_1,m_2,m_3$ ). Поэтому совершенно естественно назвать эту тройку $(m_1,m_2,m_3)$ типом данной особенности.

Окончательно мы получаем, что невырожденная особенность отображения момента $\mathcal{F}$ характеризуется четырьмя целыми числами:
$$\text{ ( }i=\text{ ранг особенности, }(m_1,m_2,m_3)=\text{ тип). }$$

При этом $m_1+m_2+2m_3+i=n$, где $n$ — число степеней свободы данной интегрируемой системы.

Наша ближайшая цель — описать структуру слоения Лиувилля в окрестности невырожденной особенности в многообразии $M^{2n}$. Сначала определим некоторое модельное слоение Лиувилля в ${\mathbb{R}}^{2n}$. Для этого рассмотрим набор функций следующего вида:
$$\begin{array}{rl}{F}_j& =p_j^2+q_j^2,\\ F_k& =p_k{q}_k,\\ F_l& =p_l{q}_{l+1}-q_l{p}_{l+1},F_{l+1}=p_l{q}_l+p_{l+1}{q}_{l+1},\\ F_s& =p_s,\end{array}$$

где $j=1,\dots ,m_1;k=m_1+1,\dots ,m_1+m_2;l=m_1+m_2+1,m_1+m_2+3,\dots ,m_1+$ $+m_2+2m_3-1;s=m_1+m_2+2m_3+1,\dots ,n$. Ясно, что все эти функции $(F_j,F_k,F_l,F_s)$ коммутируют друг с другом относительно скобки Пуассона, их $n$ штук и они функционально независимы. Поэтому они определяют некоторое модельное (каноническое) лиувиллево слоение ${\mathcal{L}}_{\text{can }}$ в окрестности точки 0 , которая, очевидно, является невырожденной особой точкой отображения момента ${\mathcal{F}}_{\text{can }}:{\mathbb{R}}^{2n}\to {\mathbb{R}}^n,{\mathcal{F}}_{\text{can }}(x)=(F_1(x),\dots ,F_n(x))$. Легко видеть, что ранг этой невырожденной особенности равен $i$, а тип — $(m_1,m_2,m_3)$. Рюссмана-Вея-Ито о приведении к каноническому виду (нормальной форме) коммутирующих функций в окрестности невырожденной особой точки. Эта теорема подробно обсуждается в приложении 3 .

Теорема 1.7 (Теорема о локальной линеаризации слоения Лиувилля около невырожденной особенности). Пусть дана вещественно-аналитическая интегриремая система с $n$ степенями свободы на вещественноаналитическом многообразии $M^{2n}$. Тогда слоение Лиувилля в окрестности невырожденной особой точки ранга і и типа ( $m_1,m_2,m_3)$ всегда локально симплектоморфно модельному слоению Лиувилля ${\mathcal{L}}_{\text{can }}$ с теми же параметрами. В частности, любые два слоения Лиувиля с совпадающими параметрами $(i,m_1,m_2,m_3)$ локально симплектоморфны.

Теорема 1.7 может быть переформулирована несколько иначе. Пусть $f_1,\dots ,f_n$ — произвольные коммутирующие функции. Рассмотрим их тейлоровские разложения в невырожденной особой точке отображения $\mathcal{F}$ в некоторой канонической системе координат. Отбросим все члены этих разложений кроме линейных и квадратичных. Легко видеть, что полученные функции останутся коммутирующими и будут определять некоторое слоение Лиувилля ${\mathcal{L}}_0$, которое естественно считать линеаризацией исходного слоения $\mathcal{L}$, задаваемого функциями $f_1,\dots ,f_n$. Теорема 1.7 утверждает, что локально слоение $\mathcal{L}$ симплектоморфно своей линеаризации ${\mathcal{L}}_0$.

Еще одно важное следствие теоремы 1.7 состоит в том, что локально невырожденная особенность имеет тип прямого произведения, в котором каждый сомножитель представляет собой элементарную особенность, а их число равно $m=i+m_1+m_2+m_3$. Более точно мы имеем в виду следующее. Симплектическое многообразие $M^{2n}$ может быть представлено в виде декартова произведения $M^{2n}=M_1\times \dots \times M_m$ симплектических многообразий, на каждом из которых задано отображение момента с элементарной особенностью. Это отображение задается одной из модельных функций $F_j,F_k,F_s$ или парой $F_l,F_{l+1}$.

Это разложение позволяет понять, как выглядит бифуркационная диаграмма в окрестности невырожденной особой точки. Она будет диффеоморфна бифуркационной диаграмме модельного отображения момента ${\mathcal{F}}_{\text{can }}$, которую мы в дальнейшем будем называть канонической бифуркационной диаграммой и обозначать через ${\mathrm{\Sigma }}_{\text{can }}$. Опишем ее структуру более подробно.

Сначала посмотрим, как локально выглядит образ отображения момента и бифуркационная диаграмма для элементарных невырожденных особенностей. Таких особенностей три — центр, седло и фокус. Кроме них в разложении учас-

твуют сомножители без особенностей (задаваемые четвертой группой функций вида $F_s=p_s$ ). Формально можно считать, что мы имеем дело с тривиальной особенностью. Все четыре возможности перечислены на рис. 1.11:

Рис. 1.11

a) $M={\mathbb{R}}^2,F=p^2+q^2$ (центр). Образ отображения момента — это луч, а бифуркационная диаграмма $\mathrm{\Sigma }$ — его вершина.
b) $M={\mathbb{R}}^2,F=pq$ (седло). Образ отображения момента — прямая, а $\mathrm{\Sigma }$ — это точка на ней.
c) $M={\mathbb{R}}^4,F_1=p_1{q}_2-q_1{p}_2,F_2=p_1{q}_1+p_2{q}_2$ (фокус-фокус). Образ отображения момента это плоскость, а $\mathrm{\Sigma }$ — изолированная точка на ней.
d) $M={\mathbb{R}}^2,F=p$ (регулярный случай). Образ отображения момента прямая, а $\mathrm{\Sigma }$ — пустое множество.

Поскольку модельная особенность имеет тип прямого произведения перечисленных четырех типов сомножителей, то и образ $U_{\text{can }}$ отображения момента ${\mathcal{F}}_{\text{can }}$, и бифуркационная диаграмма ${\mathrm{\Sigma }}_{\text{can }}$ тоже разлагаются в прямое произведение в следующем естественном смысле. Рассмотрим образы $U_i$ отображения момента для каждого из сомножителей $M_i$ вместе с соответствующей бифуркационной диаграммой ${\mathrm{\Sigma }}_i\subset U_i$. Тогда
$$\begin{array}{l}{U}_{\text{can }}=U_1\times \dots \times U_m,\\ {\mathrm{\Sigma }}_{\text{can }}=U_{\text{can }}\mathrm{\setminus }(\left(U_1\mathrm{\setminus }{\mathrm{\Sigma }}_1\right)\times \left(U_2\mathrm{\setminus }{\mathrm{\Sigma }}_2\right)\times \dots \times \left(U_s\mathrm{\setminus }{\mathrm{\Sigma }}_s\right)).\end{array}$$

Поскольку все возможные сомножители, т.е. пары $(U_i,{\mathrm{\Sigma }}_i)$, нам известны и перечислены на рис. 1.11, то для невырожденной особенности каждого типа нетрудно явно описать ее локальную бифуркационную диаграмму $\mathrm{\Sigma }$. Конечно, здесь мы имеем в виду описание с точностью до диффеоморфизма.

Подчеркнем, что каждый из типов ( $i,m_1,m_2,m_3$ ) однозначно определяет свою бифуркационную диаграмму. Кроме того, для разных типов соответствующие бифуркационные диаграммы различны, т. е. имеется взаимно-однозначное соответствие между типами особенностей и их (локальными) бифуркационными диаграммами.

В качестве примера перечислим все бифуркационные диаграммы невырожденных особенностей для случая трех степеней свободы. Здесь четверки $(i,m_1,m_2,m_3)$ выглядят так:

1) $(3,0,0,0)$ — регулярная точка,
2) $(2,1,0,0)$ — эллиптическая особая точка ранга 2 (центр),
3) $(2,0,1,0)$ — гиперболическая особая точка ранга 2 (седло),
4) $(1,0,0,1)$ — фокус-фокус ранга 1 ,
5) $(1,2,0,0)$ — центр-центр ранга 1 ,
6) $(1,1,1,0)$ — центр-седло ранга 1 ,
7) $(1,0,2,0)$ — седло-седло ранга 1 ,
8) $(0,3,0,0)$ — центр-центр-центр ранга 0 ,
9) $(0,2,1,0)$ — центр-центр-седло ранга 0 ,
10) $(0,1,2,0)$ — центр-седло-седло ранга 0 ,
11) $(0,0,3,0)$ — седло-седло-седло ранга 0 ,
12) $(0,1,0,1)$ — центр-фокус-фокус ранга 0 ,
13) $(0,0,1,1)$ — седло-фокус-фокус ранга 0 .

Рис. 1.13
Рис. 1.14

Соответствующие образы отображений момента и бифуркационные диаграммы ${\mathrm{\Sigma }}_{\text{can }}$ в ${\mathbb{R}}^3$ изображены на рис. 1.12. Точечная штриховка указывает трехмерные области, заполненные образом отображения момента ${\mathcal{F}}_{\text{can }}$. На рисунке показаны бифуркационные диаграммы ${\mathrm{\Sigma }}_{\text{can }}$ для канонических моделей. Эти диаграммы составлены из кусков двумерных плоскостей и прямых. Если же рассматривается аналитическая интегрируемая система общего вида, то указанные картинки подвергнутся диффеоморфизму.
Если интегрируемая система не аналитическая, а гладкая, то могут появиться расщепления бифуркационных диаграмм, как показано на рис. 1.13. Некоторая дуга (или поверхность) диаграммы $\mathrm{\Sigma }$ может в особой точке из $\mathrm{\Sigma }$ расщепиться на две касающиеся дуги (или на две касающиеся поверхности). Подчеркнем, что касание поверхностей (или дуг), возникающее в момент расщепления диаграммы $\mathrm{\Sigma }$, обязано иметь бесконечный порядок. В аналитическом случае таких расщеплений, конечно, не

бывает. Эффект гладкого расщепления связан с тем, что в седловом случае линия уровня $pq=\epsilon$ несвязна и состоит из двух компонент. При этом каждая из них может отображаться независимо, «ничего не зная» о другой компоненте.

В качестве примера рассмотрим следующую пару коммутирующих функций:
$$\begin{array}{l}{f}_1=p_1{q}_1,\\ f_2=p_2{q}_2+\lambda (p_1,q_1),\end{array}$$

где $\lambda$ — функция класса $C^{\mathrm{\infty }}$ (но не аналитическая), задаваемая формулой
$$\lambda (p_1,q_1)=\{\begin{array}{ll}h\left(p_1{q}_1\right)& \text{ при }{p}_1>0,q_1>0,\\ 0& \text{ в остальных случанх },\end{array}$$

где функция $h(x)$ имеет ноль бесконечного порядка при $x=0$. Особые точки заполняют здесь две поверхности $\{p_1=0,q_1=0\}$, и $\{p_2=0,q_2=0\}$. Бифуркационная диаграмма на плоскости с координатами $f_1,f_2$ состоит из двух прямых $f_1=0,f_2=0$, и кривой $f_2=h\left(f_1\right)$. См. рис. 1.14 . Видно, что в нуле происходит бесконечно гладкое расщепление оси $f_1$.