Согласно определению 1.24 критическая точка ранга $i$ отображения момента $\mathcal{F}$ является невырожденной в том и только в том случае, когда подалгебра $K(x, \mathcal{F})$ в вещественной симплектической алгебре Ли $\operatorname{sp}(2(n-i), \mathbb{R})$ является картановской. Напомним, что в отличие от случая комплексной симплектической алгебры Ли $s p(n-i, C)$, в вещественной алгебре Ли $s p(2(n-i), \mathbb{R})$ существуют несопряженные картановские подалгебры. Они имеют разные типы, и эти типы фактически классифицируют невырожденные точки отображения момента в вещественном случае. Такая классификация была предложена Вильямсоном (J. Williamson) [391]. Чтобы сформулировать его теорему, удобно смоделировать вещественную алгебру Ли $s p(2 m, \mathbb{R})$ как пространство однородных квадратичных полиномов в симплектическом пространстве $\mathbb{R}^{2 m}$ с канонической линейной 2 -формой $\omega$ (обозначим ее матрицу через $\Omega$ ). Коммутатор в этой алгебре – это обычная скобка Пуассона полиномов (рассматриваемых как функции).

Комментарий. Поясним связь этой модели с конструкцией предыдущего параграфа. Рассмотрим однородный квадратичный полином $f$ и соответствующее ему векторное поле sgrad $f$. Оно имеет особую точку в нуле, и мы можем поэтому рассмотреть его линеаризацию $A_{f}$ как некоторый симплектический оператор. Легко проверяется, что отображение $f \rightarrow A_{f}$ является изоморфизмом алгебры квадратичных полиномов на алгебру $\operatorname{sp}(2 m, \mathbb{R})$.

Tеорема 1.6 (J. Williamson). Пусть $K \subset s p(2 m, \mathbb{R})$ – подалгебра Картана. Тогда существует симплектическая система координат $x_{1}, \ldots, x_{m}, y_{1}, \ldots, y_{m}$ в $\mathbb{R}^{2 m}$ и базис $e_{1}, \ldots, e_{m}$ в $K$ такие, что каждый из квадратичных полиномов $e_{i}$ имеет один из следующих видов:

1) $e_{i}=x_{i}^{2}+y_{i}^{2}$ (эллиптический тип),
2) $e_{i}=x_{i} y_{i}$ (гиперболический тип),
3) $e_{i}=x_{i} y_{i+1}-x_{i+1} y_{i}, e_{i+1}=x_{i} y_{i}+x_{i+1} y_{i+1}$ (mип фокус-фокус).

Из этой теоремы видно, что тип картановской подалгебры $K$ полностью определяется набором трех целых чисел $\left(m_{1}, m_{2}, m_{3}\right)$, где $m_{1}+m_{2}+2 m_{3}=m$, и $m_{1}$ – это число элементов базиса эллиптического типа, $m_{2}$ – гиперболического типа, а $m_{3}$ – число пар элементов $e_{i}, e_{i+1}$ базиса, имеющих тип фокус-фокус.

Комментарий. Тип $\left(m_{1}, m_{2}, m_{3}\right)$ картановской подалгебры $K$ в $s p(2 m, \mathbb{R})$ можно описать несколько по-другому. Рассмотрим регулярный элемент в картановской подалгебре $K$. Его можно представить как квадратичный полином $f$, который задается некоторой симметричной матрицей. Обозначим ее снова через $f$. Рассмотрим ее характеристическое уравнение относительно формы $\omega$ :
\[
\operatorname{det}(f-\mu \Omega)=0 .
\]

Это уравнение имеет какой-то набор корней. Корни разбиваются на три группы:

1) пары сопряженных чисто мнимых корней $i \alpha,-i \alpha$,
2) пары вещественных корней $\beta,-\beta$,
3) четверки комплексно сопряженных корней $\alpha+i \beta, \alpha-i \beta,-\alpha+i \beta,-\alpha-i \beta$.
Количество элементов в каждой такой группе обозначим соответственно через $m_{1}, m_{2}, m_{3}$. Это и есть те самые числа $m_{1}, m_{2}, m_{3}$, которые появились при классификации картановских подалгебр.

Итак, с каждой невырожденной особенностью отображения момента $\mathcal{F}$ связана некоторая картановская подалгебра, которая классифицируется некоторой тройкой целых чисел ( $m_{1}, m_{2}, m_{3}$ ). Поэтому совершенно естественно назвать эту тройку $\left(m_{1}, m_{2}, m_{3}\right)$ типом данной особенности.

Окончательно мы получаем, что невырожденная особенность отображения момента $\mathcal{F}$ характеризуется четырьмя целыми числами:
\[
\text { ( } i=\text { ранг особенности, }\left(m_{1}, m_{2}, m_{3}\right)=\text { тип). }
\]

При этом $m_{1}+m_{2}+2 m_{3}+i=n$, где $n$ – число степеней свободы данной интегрируемой системы.

Наша ближайшая цель – описать структуру слоения Лиувилля в окрестности невырожденной особенности в многообразии $M^{2 n}$. Сначала определим некоторое модельное слоение Лиувилля в $\mathbb{R}^{2 n}$. Для этого рассмотрим набор функций следующего вида:
\[
\begin{aligned}
F_{j} & =p_{j}^{2}+q_{j}^{2}, \\
F_{k} & =p_{k} q_{k}, \\
F_{l} & =p_{l} q_{l+1}-q_{l} p_{l+1}, \quad F_{l+1}=p_{l} q_{l}+p_{l+1} q_{l+1}, \\
F_{s} & =p_{s},
\end{aligned}
\]

где $j=1, \ldots, m_{1} ; k=m_{1}+1, \ldots, m_{1}+m_{2} ; l=m_{1}+m_{2}+1, m_{1}+m_{2}+3, \ldots, m_{1}+$ $+m_{2}+2 m_{3}-1 ; \quad s=m_{1}+m_{2}+2 m_{3}+1, \ldots, n$. Ясно, что все эти функции $\left(F_{j}, F_{k}, F_{l}, F_{s}\right)$ коммутируют друг с другом относительно скобки Пуассона, их $n$ штук и они функционально независимы. Поэтому они определяют некоторое модельное (каноническое) лиувиллево слоение $\mathcal{L}_{\text {can }}$ в окрестности точки 0 , которая, очевидно, является невырожденной особой точкой отображения момента $\mathcal{F}_{\text {can }}: \mathbb{R}^{2 n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}, \mathcal{F}_{\text {can }}(x)=\left(F_{1}(x), \ldots, F_{n}(x)\right)$. Легко видеть, что ранг этой невырожденной особенности равен $i$, а тип – $\left(m_{1}, m_{2}, m_{3}\right)$. Рюссмана-Вея-Ито о приведении к каноническому виду (нормальной форме) коммутирующих функций в окрестности невырожденной особой точки. Эта теорема подробно обсуждается в приложении 3 .

Теорема 1.7 (Теорема о локальной линеаризации слоения Лиувилля около невырожденной особенности). Пусть дана вещественно-аналитическая интегриремая система с $n$ степенями свободы на вещественноаналитическом многообразии $M^{2 n}$. Тогда слоение Лиувилля в окрестности невырожденной особой точки ранга і и типа ( $\left.m_{1}, m_{2}, m_{3}\right)$ всегда локально симплектоморфно модельному слоению Лиувилля $\mathcal{L}_{\text {can }}$ с теми же параметрами. В частности, любые два слоения Лиувиля с совпадающими параметрами $\left(i, m_{1}, m_{2}, m_{3}\right)$ локально симплектоморфны.

Теорема 1.7 может быть переформулирована несколько иначе. Пусть $f_{1}, \ldots, f_{n}$ – произвольные коммутирующие функции. Рассмотрим их тейлоровские разложения в невырожденной особой точке отображения $\mathcal{F}$ в некоторой канонической системе координат. Отбросим все члены этих разложений кроме линейных и квадратичных. Легко видеть, что полученные функции останутся коммутирующими и будут определять некоторое слоение Лиувилля $\mathcal{L}_{0}$, которое естественно считать линеаризацией исходного слоения $\mathcal{L}$, задаваемого функциями $f_{1}, \ldots, f_{n}$. Теорема 1.7 утверждает, что локально слоение $\mathcal{L}$ симплектоморфно своей линеаризации $\mathcal{L}_{0}$.

Еще одно важное следствие теоремы 1.7 состоит в том, что локально невырожденная особенность имеет тип прямого произведения, в котором каждый сомножитель представляет собой элементарную особенность, а их число равно $m=i+m_{1}+m_{2}+m_{3}$. Более точно мы имеем в виду следующее. Симплектическое многообразие $M^{2 n}$ может быть представлено в виде декартова произведения $M^{2 n}=M_{1} \times \ldots \times M_{m}$ симплектических многообразий, на каждом из которых задано отображение момента с элементарной особенностью. Это отображение задается одной из модельных функций $F_{j}, F_{k}, F_{s}$ или парой $F_{l}, F_{l+1}$.

Это разложение позволяет понять, как выглядит бифуркационная диаграмма в окрестности невырожденной особой точки. Она будет диффеоморфна бифуркационной диаграмме модельного отображения момента $\mathcal{F}_{\text {can }}$, которую мы в дальнейшем будем называть канонической бифуркационной диаграммой и обозначать через $\Sigma_{\text {can }}$. Опишем ее структуру более подробно.

Сначала посмотрим, как локально выглядит образ отображения момента и бифуркационная диаграмма для элементарных невырожденных особенностей. Таких особенностей три – центр, седло и фокус. Кроме них в разложении учас-

твуют сомножители без особенностей (задаваемые четвертой группой функций вида $F_{s}=p_{s}$ ). Формально можно считать, что мы имеем дело с тривиальной особенностью. Все четыре возможности перечислены на рис. 1.11:

Рис. 1.11

a) $M=\mathbb{R}^{2}, F=p^{2}+q^{2}$ (центр). Образ отображения момента – это луч, а бифуркационная диаграмма $\Sigma$ – его вершина.
b) $M=\mathbb{R}^{2}, F=p q$ (седло). Образ отображения момента – прямая, а $\Sigma$ – это точка на ней.
c) $M=\mathbb{R}^{4}, F_{1}=p_{1} q_{2}-q_{1} p_{2}, F_{2}=p_{1} q_{1}+p_{2} q_{2}$ (фокус-фокус). Образ отображения момента это плоскость, а $\Sigma$ – изолированная точка на ней.
d) $M=\mathbb{R}^{2}, F=p$ (регулярный случай). Образ отображения момента прямая, а $\Sigma$ – пустое множество.

Поскольку модельная особенность имеет тип прямого произведения перечисленных четырех типов сомножителей, то и образ $U_{\text {can }}$ отображения момента $\mathcal{F}_{\text {can }}$, и бифуркационная диаграмма $\Sigma_{\text {can }}$ тоже разлагаются в прямое произведение в следующем естественном смысле. Рассмотрим образы $U_{i}$ отображения момента для каждого из сомножителей $M_{i}$ вместе с соответствующей бифуркационной диаграммой $\Sigma_{i} \subset U_{i}$. Тогда
\[
\begin{array}{l}
U_{\text {can }}=U_{1} \times \ldots \times U_{m}, \\
\Sigma_{\text {can }}=U_{\text {can }} \backslash\left(\left(U_{1} \backslash \Sigma_{1}\right) \times\left(U_{2} \backslash \Sigma_{2}\right) \times \ldots \times\left(U_{s} \backslash \Sigma_{s}\right)\right) .
\end{array}
\]

Поскольку все возможные сомножители, т.е. пары $\left(U_{i}, \Sigma_{i}\right)$, нам известны и перечислены на рис. 1.11, то для невырожденной особенности каждого типа нетрудно явно описать ее локальную бифуркационную диаграмму $\Sigma$. Конечно, здесь мы имеем в виду описание с точностью до диффеоморфизма.

Подчеркнем, что каждый из типов ( $i, m_{1}, m_{2}, m_{3}$ ) однозначно определяет свою бифуркационную диаграмму. Кроме того, для разных типов соответствующие бифуркационные диаграммы различны, т. е. имеется взаимно-однозначное соответствие между типами особенностей и их (локальными) бифуркационными диаграммами.

В качестве примера перечислим все бифуркационные диаграммы невырожденных особенностей для случая трех степеней свободы. Здесь четверки $\left(i, m_{1}, m_{2}, m_{3}\right)$ выглядят так:

1) $(3,0,0,0)$ – регулярная точка,
2) $(2,1,0,0)$ – эллиптическая особая точка ранга 2 (центр),
3) $(2,0,1,0)$ – гиперболическая особая точка ранга 2 (седло),
4) $(1,0,0,1)$ – фокус-фокус ранга 1 ,
5) $(1,2,0,0)$ – центр-центр ранга 1 ,
6) $(1,1,1,0)$ – центр-седло ранга 1 ,
7) $(1,0,2,0)$ – седло-седло ранга 1 ,
8) $(0,3,0,0)$ – центр-центр-центр ранга 0 ,
9) $(0,2,1,0)$ – центр-центр-седло ранга 0 ,
10) $(0,1,2,0)$ – центр-седло-седло ранга 0 ,
11) $(0,0,3,0)$ – седло-седло-седло ранга 0 ,
12) $(0,1,0,1)$ – центр-фокус-фокус ранга 0 ,
13) $(0,0,1,1)$ – седло-фокус-фокус ранга 0 .

Рис. 1.13
Рис. 1.14

Соответствующие образы отображений момента и бифуркационные диаграммы $\Sigma_{\text {can }}$ в $\mathbb{R}^{3}$ изображены на рис. 1.12. Точечная штриховка указывает трехмерные области, заполненные образом отображения момента $\mathcal{F}_{\text {can }}$. На рисунке показаны бифуркационные диаграммы $\Sigma_{\text {can }}$ для канонических моделей. Эти диаграммы составлены из кусков двумерных плоскостей и прямых. Если же рассматривается аналитическая интегрируемая система общего вида, то указанные картинки подвергнутся диффеоморфизму.
Если интегрируемая система не аналитическая, а гладкая, то могут появиться расщепления бифуркационных диаграмм, как показано на рис. 1.13. Некоторая дуга (или поверхность) диаграммы $\Sigma$ может в особой точке из $\Sigma$ расщепиться на две касающиеся дуги (или на две касающиеся поверхности). Подчеркнем, что касание поверхностей (или дуг), возникающее в момент расщепления диаграммы $\Sigma$, обязано иметь бесконечный порядок. В аналитическом случае таких расщеплений, конечно, не

бывает. Эффект гладкого расщепления связан с тем, что в седловом случае линия уровня $p q=\varepsilon$ несвязна и состоит из двух компонент. При этом каждая из них может отображаться независимо, «ничего не зная» о другой компоненте.

В качестве примера рассмотрим следующую пару коммутирующих функций:
\[
\begin{array}{l}
f_{1}=p_{1} q_{1}, \\
f_{2}=p_{2} q_{2}+\lambda\left(p_{1}, q_{1}\right),
\end{array}
\]

где $\lambda$ – функция класса $C^{\infty}$ (но не аналитическая), задаваемая формулой
\[
\lambda\left(p_{1}, q_{1}\right)=\left\{\begin{array}{ll}
h\left(p_{1} q_{1}\right) & \text { при } p_{1}>0, q_{1}>0, \\
0 & \text { в остальных случанх },
\end{array}\right.
\]

где функция $h(x)$ имеет ноль бесконечного порядка при $x=0$. Особые точки заполняют здесь две поверхности $\left\{p_{1}=0, q_{1}=0\right\}$, и $\left\{p_{2}=0, q_{2}=0\right\}$. Бифуркационная диаграмма на плоскости с координатами $f_{1}, f_{2}$ состоит из двух прямых $f_{1}=0, f_{2}=0$, и кривой $f_{2}=h\left(f_{1}\right)$. См. рис. 1.14 . Видно, что в нуле происходит бесконечно гладкое расщепление оси $f_{1}$.