Рассмотрим все критические точки $S_1,\dots ,S_n$ функции $F$ на $P$, т.е. вершины графа $K$. В каждой точке $S_i$ мы можем рассмотреть линеаризацию гамильтонова векторного поля $w=\mathrm{sgrad}F$ и собственные значения ${\lambda }_i$ и ${\mu }_i$ линеаризованной системы. Поскольку рассматриваемое векторное поле — гамильтоново, то ${\lambda }_i=-{\mu }_i$, а в силу невырожденности особой точки ${\lambda }_i>0$. Хорошо

известно, что ${\lambda }_i$ — гладкий инвариант поля $w$ в особой точке $S_i$. Однако при гомеоморфизмах он не обязан сохраняться. Другими словами, каждое из чисел ${\lambda }_i$, рассматриваемое по отдельности, не является инвариантом в смысле топологической сопряженности. Тем не менее, рассмотрев все эти числа в совокупности, мы можем изготовить из них топологический инвариант. Вместо собственных значений линеаризованного векторного поля нам будет при этом удобнее рассмотреть их обратные величины ${\mathrm{\Lambda }}_i={\lambda }_i^{-1}$.
Определение 6.1. Совокупность вещественных чисел $\{{\mathrm{\Lambda }}_1:{\mathrm{\Lambda }}_2:\dots :{\mathrm{\Lambda }}_n\}$, pacсматриваемых с точностью до пропорциональности, мы назовем $\mathrm{\Lambda }$-инвариантом гамильтоновой системы $w=\mathrm{sgrad}F$ на атоме $(P,K)$.
Комментарий. Если $(x^1,x^2)$ — локальная система координат в окрестности особой точки $S_i$, то число ${\mathrm{\Lambda }}_i$ может быть вычислено по следующей явной формуле
$${\mathrm{\Lambda }}_i={(-\frac{\det \left(d^{2}F\right)}{\det \mathrm{\Omega }})}^{1/2},$$

где $d^{2}F=\left(\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x^k\partial x^j}\left(S_i\right)\right)$ и $\mathrm{\Omega }=\left({\omega }_{kl}\left(S_i\right)\right)$ — матрица симплектической формы.
Предложение 6.1. $\mathrm{\Lambda }$-инварианты топологически сопряженных гамильтоновых систем (заданных на двух экземплярах одного и того же атома) совпадают. Доказательство.
Мы начнем с некоторой технической, но важной леммы, которая будет использоваться нами неоднократно и в дальнейшем.
Удаляя из поверхности $P$ особый слой $K$, мы превращаем $P$ в несвязное объединение колец $C_1,\dots ,C_l$, каждое из которых естественным образом расслоено на замкнутые траектории гамильтоРис. 6.1 нова поля $w$. На каждом из этих колец мы можем ввести канонические переменные действие-угол $s$ и $\phi$. Сейчас нас будет интересовать переменная «угол» $\phi$. Эта переменная является гладкой функцией на кольце, а потому можно рассмотреть ее линии уровня. Линии уровня $\phi$ определены неоднозначно, поскольку угол на каждой неособой окружности (являющейся линией уровня переменной действия $s$ ) определен с точностью до сдвига. Поэтому, если мы хотим изобразить линии уровня функции $\phi$, нам нужно сначала выбрать и фиксировать начало отсчета на каждой траектории. Это можно сделать, положив ${\phi |}_N=0$, где $N-$ некоторый гладкий «отрезок», соединяющий пару точек на внешней и внутренней границе кольца и трансверсальный траекториям (рис. 6.1). После этого функция $\phi$ будет

определена однозначно. На рис. 6.1 изображена качественная картина поведений ее линий уровня. Более точно, справедливо следующее утверждение.
Лемма 6.1. Пусть $C=C_m$ — произвольное кольцо атома $(P,K),K_{m_1},\dots ,K_{m_p}-$ ребра графа $К$, примыкающие (инцидентные) к данному кольцу $C$. Пусть $S_{m_i}$ — вериины графа $К$, являющиеся концами ребер $K_{m_i}$. Тогда:
a) На каждом ребре $K_{m_i}$ существует единственная внутренняя точка $x_i$, являющаяся предельной точкой некоторой гладкой линии уровня $N=\{\phi ={\alpha }_i\}$ переменной Рис. 6.2 «угол» $\phi$ на кольце $C$ (рис. 6.1). При этом начальный отрезок $N$ совпадает с $N_1$.
б) Отрезки $N_i$ разбивают кольцо $C$ в сумму «прямоугольников» $Z_i$, на каждом из которых линии уровня функции $\phi$ качественно ведут себя так, как это показано на рис. 6.2 (см. также рис. 6.1). Другими словами, все остальные линии уровня $\{\phi =$ const $\}$ (за исключением $N_i$ ) втыкаются в особые точки $S_{m_i}$.
в) Имеют место следующие формулы:
$$N_1=\{\phi =0\},$$

а при $i=1,\dots ,p$
$$N_{i+1}=\{\phi =2\pi \frac{\sum _{j=1}^i{\mathrm{\Lambda }}_{m_j}}{\sum _{j=1}^p{\mathrm{\Lambda }}_{m_j}}\}.$$

Другими словами, приращение переменной «угол» $\phi$ внутри области $Z_i$ пропорционально числу ${\mathrm{\Lambda }}_{m_i}$, отвечающему вериине $S_{m_i}$. Построенные в этой лемме линии уровня $N_i$ мы будем называть отрезками раздела.
Доказательство.
Сначала докажем полезное вспомогательное утверждение, показывающее, с какой скоростью гамильтонов поток течет вблизи седловой особенности.

Рассмотрим на плоскости с координатами (u,v) функцию $F=uv$, произвольную симплектическую структуру $\omega =\omega (u,v)du\wedge dv$ и соответствующее гамильтоново поле $w=\mathrm{sgrad}F$. Рассмотрим область $G$, изображенную на рис. 6.3. Она ограничена неотрицательными полуосями координат $u$ и $v$, гиперболой $F=uv={\epsilon }_0$ и двумя отРис. 6.3 резками ${\gamma }_1=\{u=1\}$ и ${\gamma }_2=\{v=1\}$, трансверсально пересекающими линии уровня $F=$ const. Рассмотрим функцию $\mathrm{\Pi }(\epsilon )$, сопоставляющую каждому $\epsilon \in (0,{\epsilon }_0)$ время движения по куску ${\gamma }_{\epsilon }$ траектории $\{F=\epsilon \}$, высекаемому отрезками ${\gamma }_1$ и ${\gamma }_2$ (рис. 6.3).

Лемма 6.2. Для любого $n\in \mathbb{N}$ имеет место равенство:
$$\mathrm{\Pi }(\epsilon )=-P_n(\epsilon )\ln (\epsilon )+c(\epsilon ),$$

где $P_n$ — некоторый полином степени $n$, а $c(\epsilon )$ — функция класса $C^n$ на отрезке $[0,{\epsilon }_0]$. При этом коэффициенты $a_i$ полинома
$$P_n(\epsilon )=a_0+a_1\epsilon +a_2{\epsilon }^2+\dots +a_n{\epsilon }^n$$

совпадают с коэффициентами $a_{ii}$ в тейлоровском разложении
$$\omega (u,v)\simeq \sum _{i,j=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{ij}{u}^i{v}^j.$$

В частности, $a_0=\omega (0,0)$.
Доказательство.
Мы утверждаем, что значение функции $\mathrm{\Pi }(\epsilon )$ может быть вычислено по формуле
$$\mathrm{\Pi }(\epsilon )={\int }_{{\gamma }_{\epsilon }}\omega (u,v)\frac{udu-vdv}{u^2+v^2}.$$

Действительно, параметризуем ${\gamma }_{\epsilon }$ как траекторию векторного поля $w$. Тогда ${\gamma }_{\epsilon }=(u(t),v(t)),t\in [0,\mathrm{\Pi }(\epsilon )]$ и
$$(\frac{du}{dt},\frac{dv}{dt})=w={\omega }^{-1}(dF)=(\frac{u}{\omega (u,v)},-\frac{v}{\omega (u,v)}).$$

Подставляя в интеграл, получаем
$${\int }_{{\gamma }_{\epsilon }}\omega (u,v)\frac{udu-vdv}{u^2+v^2}={\int }_0^{\mathrm{\Pi }(\epsilon )}dt=\mathrm{\Pi }(\epsilon ).$$

Параметризуем теперь эту же кривую иначе:
$$\gamma (\epsilon )=(\epsilon e^{\tau },e^{-\tau }),\tau \in [0,-\ln \epsilon ],$$

Подставляя в интеграл, получаем
$$\mathrm{\Pi }(\epsilon )={\int }_0^{-\ln \epsilon }\omega (\epsilon e^{\tau },e^{-\tau })d\tau .$$

Поскольку $\omega$ — гладкая функция, то справедливо представление
$$\omega (u,v)=a_{00}+u{g}_0(u)+v{h}_0(v)+uv{l}_0(u,v),$$

где $g_0,h_0$ и $l_0$ — гладкие функции. Применяя такое разложение для функции $l_0$ и повторяя эту процедуру несколько раз, мы получаем
$$\omega (\epsilon e^{\tau },e^{-\tau })=\sum _{k=0}^n{a}_{kk}{\epsilon }^k+\epsilon e^{\tau }{g}_n\left(\epsilon e^{\tau }\right)++e^{-\tau }{h}_n\left(e^{-\tau }\right)+{\epsilon }^{n+1}{l}_n(\epsilon e^{\tau },e^{-\tau }),$$

где $g_n,h_n$ и $l_n$ — гладкие функции. Интегрируя это выражение по $\tau$, получаем
$$\mathrm{\Pi }(\epsilon )=-\left(\sum _{k=0}^n{a}_{kk}{\epsilon }^k\right)\ln \epsilon +c(\epsilon ),$$

где $c(\epsilon )$ — функция класса $C^n$ на отрезке $[0,{\epsilon }_0]$, что и требовалось доказать. Лемма 6.2 доказана.
$$\mathrm{\Pi }(\epsilon )=-A(\epsilon )\ln \epsilon +B(\epsilon ),$$

где $A(\epsilon )$ и $B(\epsilon )$ — гладкие функции класса $C^{\mathrm{\infty }}$ на отрезке $[0,{\epsilon }_0]$.
Вернемся к доказательству леммы 6.1. Рассмотрим на кольце С гладкие отрезки ${\tilde{N}}_i$, разбивающие кольцо на «прямоугольники» ${\tilde{Z}}_i$, как показано на рис. 6.4.

Каждому ребру $K_{m_i}$ отвечает ровно один отрезок ${\tilde{N}}_i$. Напомним, что кольцо $C$ расслоено на замкнутые траектории потока ${\sigma }^t$, и каждая такая траектория однозначно задается значением гамильтониана $F$ на ней (мы будем обозначать ее через ${\gamma }_F$ ). Пусть ${\mathrm{\Pi }}_i(F)$ — время прохождения точки внутри «прямоугольника» ${\tilde{Z}}_i$ от его левой стороны ${\tilde{N}}_i$ до правой стороны ${\tilde{N}}_{i+1}$ под действием потока ${\sigma }^t$ вдоль ин-

Рис. 6.4 тегральной траектории ${\gamma }_F$.

Отметим, что в условиях леммы 6.2 вместо отрезков ${\gamma }_1$ и ${\gamma }_2$ можно рассмотреть любые другие гладкие кривые, пересекающие трансверсально оси координат. При этом вид формулы полностью сохраняется, лишь к функции $c(\epsilon )$ добавится некоторая гладкая функция. Поэтому, используя лемму Морса, мы можем применить нашу лемму 6.2 к «прмоугольнику» ${\tilde{Z}}_i$. В результате (для $n=0$ ) мы получаем следующее асимптотическое представление для функции П $(F)$ :
$$\mathrm{\Pi }(F)=-{\mathrm{\Lambda }}_{m_i}\ln F+c_i(F),$$

где $c_i(F)$ — функция непрерывная на всем отрезке $[0,F_0]$ (включая нуль).
Обозначим через $\mathrm{\Pi }(F)$ полный период траектории ${\gamma }_F$. Функция $\mathrm{\Pi }(F)$ будет неоднократно встречаться нам и в дальнейшем, и мы будем называть ее функцией периода (отвечающей данному кольцу $C$ ). Для каждого $i$ рассмотрим далее функцию
$${\theta }_i(F)=d_i\mathrm{\Pi }(F)-\sum _{j=1}^i{\mathrm{\Pi }}_j(F),$$

где $d_i=\left(\sum _{j-1}^i{\mathrm{\Lambda }}_{m_j}\right)/\left(\sum _{j-1}^p{\mathrm{\Lambda }}_{m_j}\right)$.

${\mathrm{y}}_{\text{тверждается, что эта функция непрерывна }}$ на всем отрезке $[0,F_0]$ и гладкая всюду, кроме, быть может, нуля. В самом деле, все «чистые логарифмы», входящие в выражения для периодов, сокращаются и в результате остается выражение:
$${\theta }_i(F)=d_i(\sum _{j=1}^m{c}_j(F))-\sum _{j=1}^i{c}_j(F),$$

которое, очевидно, является непрерывной функцией от $F$ на всем отрезке $[0,F_0]$, включая нуль.

Отметим, что если бы функции ${\theta }_i$ оказались тождественно равными нулю, мы получили бы, что $\sum _{j=1}^i\mathrm{\Pi }(F)=d_i\mathrm{\Pi }(F)$. Это означало бы, что приращение переменной «угол» $\phi$ в каждом прямоугольнике ${\tilde{Z}}_i$ равняется в точности $\frac{2\pi {\mathrm{\Lambda }}_{m_i}}{\sum _{j=1}^p{\mathrm{\Lambda }}_{m_j}}$. Другими словами, отрезки ${\tilde{N}}_i$ оказались бы линиями уровня переменной $\phi$ и совпали бы с искомыми отрезками $N_i$. Мы используем здесь тот факт, что для каждой траектории ${\gamma }_F$ ее естественный параметр $t$ и переменная «угол» $\phi$ связаны простым соотношением $d\phi =\left(\frac{2\pi }{\mathrm{\Pi }(F)}\right)dt$, т.е. попросту пропорциональны с постоянным на траектории коэффициентом.

Однако, вообще говоря, ${\theta }_i$ отличны от нуля. Но они оказались непрерывными функциями от $F$, поэтому нам достаточно рассмотреть новые отрезки $N_i$, получающиеся из исходных отрезков ${\tilde{N}}_i$ некоторыми сдвигами. А именно, нужно сдвинуть каждую точку отрезка ${\tilde{N}}_i$ на величину ${\theta }_i(F)$. Более точно, каждая точка на ${\tilde{N}}_i$ задается некоторым значением $F$, и сдвигать ее нужно вдоль траектории потока ${\sigma }^t$ на величину ${\theta }_i(F)$. Ясно, что для построенных таким путем новых отрезков $N_i$ новые функции ${\theta }_i$ уже будут тождественно равны нулю, и тогда вступает в силу сделанное выше замечание. Новые отрезки $N_i$ являются гладкими на открытом кольце и каждый из них имеет предельную точку на внутренней границе кольца, которую мы и обозначим через $x_i$.

Итак, мы построили отрезки $N_i$ таким образом, что выполнена формула пункта «в» леммы 6.1. Осталось доказать единственность точки $x_i$ (см. пункт «а» леммы) и то, что все остальные траектории ведут себя так, как указано в пункте «б». Другими словами, достаточно доказать, что в «прямоугольнике» $Z_i$ все остальные линии уровня функции $\phi$ втыкаются в особую точку $S_{m_i}$. Но этот факт легко следует из уже использованного нами соотношения $d\phi =\left(\frac{2\pi }{\mathrm{\Pi }(F)}\right)dt$.

Действительно, если мы сместимся с построенного нами отрезка $N_i=\{\phi =$ $={\alpha }_i\}$ внутрь прямоугольника $Z_i$ на произвольную положительную величину $\mathrm{\Delta }\phi$, то вблизи графа $K$ мы удалимся от отрезка $N_i$ на сколь угодно большое время в смысле потока ${\sigma }^t$, поскольку $\mathrm{\Pi }(F)\to \mathrm{\infty }$ при $F\to 0$. Поэтому предельной точкой сдвинутого отрезка $\{\phi ={\alpha }_i+\mathrm{\Delta }\phi \}$ (т. е. линии уровня функции $\phi$ ) может быть только особая точка $S_{m_i}$. Лемма 6.1 полностью доказана.
Комментарий. Начальный отрезок $N=N_1$ предполагался гладким, однако ясно, что можно было бы взять любой непрерывный отрезок на кольце $C$, соединяющий

пару точек на противоположных границах кольца и по одному разу пересекающий каждую интегральную траекторию потока ${\sigma }^t$. Все отличие от доказанной выше леммы 6.1 будет тогда состоять в том, что и все остальные отрезки $N_i$ (строящиеся при помощи $N_1$ ) также будут непрерывными дугами, соединяющими пары точек на противоположных границах кольца и пересекающими по одному разу каждую интегральную траекторию потока.

Возвращаемся к доказательству предложения 6.1. Пусть $(P,K)$ и $(P^{\prime },K^{\prime })$ два экземпляра одного и того же атома $V$, на которых заданы топологически сопряженные между собой гамильтоновы системы $w$ и $w^{\prime }$. Пусть $\xi :P\to P^{\prime }-$ сопрягающий гомеоморфизм. Обозначим через ${\mathrm{\Lambda }}_i$ и ${\mathrm{\Lambda }}_i^{\prime }$ значения $\mathrm{\Lambda }$-инварианта первой и второй системы соответственно. Здесь одинаковыми индексами мы нумеруем особые точки первой системы $S_i$ и их образы $S_i^{\prime }=\xi \left(S_i\right)$.

Граф $K$ разбивает $P$ в объединение колец. Пусть $C$ — любое из них и $C^{\prime }$ кольцо, отвечающее ему при гомеоморфизме $\xi$. Рассмотрим на кольце $C$ систему отрезков раздела $N_i$, построенных при помощи леммы 6.1 , и отвечающих некоторой переменной «угол» $\phi$.

Рассмотрим образы $N_i^{\prime }=\xi \left(N_i\right)$ отрезков $N_i$ при гомеоморфизме $\xi$. Они разбивают кольцо $C^{\prime }$ в объединение прямоугольников $Z_i$. Эти отрезки будут линиями уровня переменной «угол» ${\phi }^{\prime }$ при условии, что за начальный отрезок (отвечающий ${\phi }^{\prime }=0$ ) взят отрезок $\xi \left(N_1\right)$. Это сразу следует из топологической сопряженности систем $w$ и $w^{\prime }$. Более того, функция ${\phi }^{\prime }$ принимает на отрезках $N_i^{\prime }$ те же значения, что и функция $\phi$ на отрезках $N_i$. Таким образом, $N_i^{\prime }$ являются отрезками раздела для кольца $C^{\prime }$ и обладают всеми свойствами, перечисленными в лемме 6.1 , в частности, для них верна формула пункта «в».
Поскольку ${{\phi }_i|}_{N_i}={{\phi }_i^{\prime }|}_{N_i^{\prime }}$, то отсюда мы сразу получаем, что
$$\frac{\sum _{j=1}^i{\mathrm{\Lambda }}_{m_j}}{\sum _{j=1}^p{\mathrm{\Lambda }}_{m_j}}=\frac{\sum _{j=1}^i{\mathrm{\Lambda }}_{m_j}^{\prime }}{\sum _{j=1}^p{\mathrm{\Lambda }}_{m_j}^{\prime }}.$$

Из этого соотношения сразу следует, что наборы чисел ${\mathrm{\Lambda }}_{m_i}$ и ${\mathrm{\Lambda }}_{m_i}^{\prime }$ для каждого кольца $C$ и его образа $C^{\prime }$ совпадают с точностью до пропорциональности. Проводя это рассуждение для всех остальных колец, мы получаем утверждение предложения 6.1.