Рассмотрим все критические точки $S_{1}, \ldots, S_{n}$ функции $F$ на $P$, т.е. вершины графа $K$. В каждой точке $S_{i}$ мы можем рассмотреть линеаризацию гамильтонова векторного поля $w=\operatorname{sgrad} F$ и собственные значения $\lambda_{i}$ и $\mu_{i}$ линеаризованной системы. Поскольку рассматриваемое векторное поле – гамильтоново, то $\lambda_{i}=-\mu_{i}$, а в силу невырожденности особой точки $\lambda_{i}>0$. Хорошо

известно, что $\lambda_{i}$ – гладкий инвариант поля $w$ в особой точке $S_{i}$. Однако при гомеоморфизмах он не обязан сохраняться. Другими словами, каждое из чисел $\lambda_{i}$, рассматриваемое по отдельности, не является инвариантом в смысле топологической сопряженности. Тем не менее, рассмотрев все эти числа в совокупности, мы можем изготовить из них топологический инвариант. Вместо собственных значений линеаризованного векторного поля нам будет при этом удобнее рассмотреть их обратные величины $\Lambda_{i}=\lambda_{i}^{-1}$.
Определение 6.1. Совокупность вещественных чисел $\left\{\Lambda_{1}: \Lambda_{2}: \ldots: \Lambda_{n}\right\}$, pacсматриваемых с точностью до пропорциональности, мы назовем $\Lambda$-инвариантом гамильтоновой системы $w=\operatorname{sgrad} F$ на атоме $(P, K)$.
Комментарий. Если $\left(x^{1}, x^{2}\right)$ – локальная система координат в окрестности особой точки $S_{i}$, то число $\Lambda_{i}$ может быть вычислено по следующей явной формуле
\[
\Lambda_{i}=\left(-\frac{\operatorname{det}\left(d^{2} F\right)}{\operatorname{det} \Omega}\right)^{1 / 2},
\]

где $d^{2} F=\left(\frac{\partial^{2} F}{\partial x^{k} \partial x^{j}}\left(S_{i}\right)\right)$ и $\Omega=\left(\omega_{k l}\left(S_{i}\right)\right)$ – матрица симплектической формы.
Предложение 6.1. $\Lambda$-инварианты топологически сопряженных гамильтоновых систем (заданных на двух экземплярах одного и того же атома) совпадают. Доказательство.
Мы начнем с некоторой технической, но важной леммы, которая будет использоваться нами неоднократно и в дальнейшем.
Удаляя из поверхности $P$ особый слой $K$, мы превращаем $P$ в несвязное объединение колец $C_{1}, \ldots, C_{l}$, каждое из которых естественным образом расслоено на замкнутые траектории гамильтоРис. 6.1 нова поля $w$. На каждом из этих колец мы можем ввести канонические переменные действие-угол $s$ и $\varphi$. Сейчас нас будет интересовать переменная «угол» $\varphi$. Эта переменная является гладкой функцией на кольце, а потому можно рассмотреть ее линии уровня. Линии уровня $\varphi$ определены неоднозначно, поскольку угол на каждой неособой окружности (являющейся линией уровня переменной действия $s$ ) определен с точностью до сдвига. Поэтому, если мы хотим изобразить линии уровня функции $\varphi$, нам нужно сначала выбрать и фиксировать начало отсчета на каждой траектории. Это можно сделать, положив $\left.\varphi\right|_{N}=0$, где $N-$ некоторый гладкий «отрезок», соединяющий пару точек на внешней и внутренней границе кольца и трансверсальный траекториям (рис. 6.1). После этого функция $\varphi$ будет

определена однозначно. На рис. 6.1 изображена качественная картина поведений ее линий уровня. Более точно, справедливо следующее утверждение.
Лемма 6.1. Пусть $C=C_{m}$ – произвольное кольцо атома $(P, K), K_{m_{1}}, \ldots, K_{m_{p}}-$ ребра графа $К$, примыкающие (инцидентные) к данному кольцу $C$. Пусть $S_{m_{i}}$ – вериины графа $К$, являющиеся концами ребер $K_{m_{i}}$. Тогда:
a) На каждом ребре $K_{m_{i}}$ существует единственная внутренняя точка $x_{i}$, являющаяся предельной точкой некоторой гладкой линии уровня $N=\left\{\varphi=\alpha_{i}\right\}$ переменной Рис. 6.2 «угол» $\varphi$ на кольце $C$ (рис. 6.1). При этом начальный отрезок $N$ совпадает с $N_{1}$.
б) Отрезки $N_{i}$ разбивают кольцо $C$ в сумму «прямоугольников» $Z_{i}$, на каждом из которых линии уровня функции $\varphi$ качественно ведут себя так, как это показано на рис. 6.2 (см. также рис. 6.1). Другими словами, все остальные линии уровня $\{\varphi=$ const $\}$ (за исключением $N_{i}$ ) втыкаются в особые точки $S_{m_{i}}$.
в) Имеют место следующие формулы:
\[
N_{1}=\{\varphi=0\},
\]

а при $i=1, \ldots, p$
\[
N_{i+1}=\left\{\varphi=2 \pi \frac{\sum_{j=1}^{i} \Lambda_{m_{j}}}{\sum_{j=1}^{p} \Lambda_{m_{j}}}\right\} .
\]

Другими словами, приращение переменной «угол» $\varphi$ внутри области $Z_{i}$ пропорционально числу $\Lambda_{m_{i}}$, отвечающему вериине $S_{m_{i}}$. Построенные в этой лемме линии уровня $N_{i}$ мы будем называть отрезками раздела.
Доказательство.
Сначала докажем полезное вспомогательное утверждение, показывающее, с какой скоростью гамильтонов поток течет вблизи седловой особенности.

Рассмотрим на плоскости с координатами (u,v) функцию $F=u v$, произвольную симплектическую структуру $\omega=\omega(u, v) d u \wedge d v$ и соответствующее гамильтоново поле $w=\operatorname{sgrad} F$. Рассмотрим область $G$, изображенную на рис. 6.3. Она ограничена неотрицательными полуосями координат $u$ и $v$, гиперболой $F=u v=\varepsilon_{0}$ и двумя отРис. 6.3 резками $\gamma_{1}=\{u=1\}$ и $\gamma_{2}=\{v=1\}$, трансверсально пересекающими линии уровня $F=$ const. Рассмотрим функцию $\Pi(\varepsilon)$, сопоставляющую каждому $\varepsilon \in\left(0, \varepsilon_{0}\right)$ время движения по куску $\gamma_{\varepsilon}$ траектории $\{F=\varepsilon\}$, высекаемому отрезками $\gamma_{1}$ и $\gamma_{2}$ (рис. 6.3).

Лемма 6.2. Для любого $n \in \mathbb{N}$ имеет место равенство:
\[
\Pi(\varepsilon)=-P_{n}(\varepsilon) \ln (\varepsilon)+c(\varepsilon),
\]

где $P_{n}$ – некоторый полином степени $n$, а $c(\varepsilon)$ – функция класса $C^{n}$ на отрезке $\left[0, \varepsilon_{0}\right]$. При этом коэффициенты $a_{i}$ полинома
\[
P_{n}(\varepsilon)=a_{0}+a_{1} \varepsilon+a_{2} \varepsilon^{2}+\ldots+a_{n} \varepsilon^{n}
\]

совпадают с коэффициентами $a_{i i}$ в тейлоровском разложении
\[
\omega(u, v) \simeq \sum_{i, j=0}^{\infty} a_{i j} u^{i} v^{j} .
\]

В частности, $a_{0}=\omega(0,0)$.
Доказательство.
Мы утверждаем, что значение функции $\Pi(\varepsilon)$ может быть вычислено по формуле
\[
\Pi(\varepsilon)=\int_{\gamma_{\varepsilon}} \omega(u, v) \frac{u d u-v d v}{u^{2}+v^{2}} .
\]

Действительно, параметризуем $\gamma_{\varepsilon}$ как траекторию векторного поля $w$. Тогда $\gamma_{\varepsilon}=(u(t), v(t)), t \in[0, \Pi(\varepsilon)]$ и
\[
\left(\frac{d u}{d t}, \frac{d v}{d t}\right)=w=\omega^{-1}(d F)=\left(\frac{u}{\omega(u, v)},-\frac{v}{\omega(u, v)}\right) .
\]

Подставляя в интеграл, получаем
\[
\int_{\gamma_{\varepsilon}} \omega(u, v) \frac{u d u-v d v}{u^{2}+v^{2}}=\int_{0}^{\Pi(\varepsilon)} d t=\Pi(\varepsilon) .
\]

Параметризуем теперь эту же кривую иначе:
\[
\gamma(\varepsilon)=\left(\varepsilon e^{\tau}, e^{-\tau}\right), \quad \tau \in[0,-\ln \varepsilon],
\]

Подставляя в интеграл, получаем
\[
\Pi(\varepsilon)=\int_{0}^{-\ln \varepsilon} \omega\left(\varepsilon e^{\tau}, e^{-\tau}\right) d \tau .
\]

Поскольку $\omega$ – гладкая функция, то справедливо представление
\[
\omega(u, v)=a_{00}+u g_{0}(u)+v h_{0}(v)+u v l_{0}(u, v),
\]

где $g_{0}, h_{0}$ и $l_{0}$ – гладкие функции. Применяя такое разложение для функции $l_{0}$ и повторяя эту процедуру несколько раз, мы получаем
\[
\omega\left(\varepsilon e^{\tau}, e^{-\tau}\right)=\sum_{k=0}^{n} a_{k k} \varepsilon^{k}+\varepsilon e^{\tau} g_{n}\left(\varepsilon e^{\tau}\right)++e^{-\tau} h_{n}\left(e^{-\tau}\right)+\varepsilon^{n+1} l_{n}\left(\varepsilon e^{\tau}, e^{-\tau}\right),
\]

где $g_{n}, h_{n}$ и $l_{n}$ – гладкие функции. Интегрируя это выражение по $\tau$, получаем
\[
\Pi(\varepsilon)=-\left(\sum_{k=0}^{n} a_{k k} \varepsilon^{k}\right) \ln \varepsilon+c(\varepsilon),
\]

где $c(\varepsilon)$ – функция класса $C^{n}$ на отрезке $\left[0, \varepsilon_{0}\right]$, что и требовалось доказать. Лемма 6.2 доказана.
\[
\Pi(\varepsilon)=-A(\varepsilon) \ln \varepsilon+B(\varepsilon),
\]

где $A(\varepsilon)$ и $B(\varepsilon)$ – гладкие функции класса $C^{\infty}$ на отрезке $\left[0, \varepsilon_{0}\right]$.
Вернемся к доказательству леммы 6.1. Рассмотрим на кольце С гладкие отрезки $\widetilde{N}_{i}$, разбивающие кольцо на «прямоугольники» $\widetilde{Z}_{i}$, как показано на рис. 6.4.

Каждому ребру $K_{m_{i}}$ отвечает ровно один отрезок $\tilde{N}_{i}$. Напомним, что кольцо $C$ расслоено на замкнутые траектории потока $\sigma^{t}$, и каждая такая траектория однозначно задается значением гамильтониана $F$ на ней (мы будем обозначать ее через $\gamma_{F}$ ). Пусть $\Pi_{i}(F)$ – время прохождения точки внутри «прямоугольника» $\widetilde{Z}_{i}$ от его левой стороны $\widetilde{N}_{i}$ до правой стороны $\tilde{N}_{i+1}$ под действием потока $\sigma^{t}$ вдоль ин-

Рис. 6.4 тегральной траектории $\gamma_{F}$.

Отметим, что в условиях леммы 6.2 вместо отрезков $\gamma_{1}$ и $\gamma_{2}$ можно рассмотреть любые другие гладкие кривые, пересекающие трансверсально оси координат. При этом вид формулы полностью сохраняется, лишь к функции $c(\varepsilon)$ добавится некоторая гладкая функция. Поэтому, используя лемму Морса, мы можем применить нашу лемму 6.2 к «прмоугольнику» $\widetilde{Z}_{i}$. В результате (для $n=0$ ) мы получаем следующее асимптотическое представление для функции П $(F)$ :
\[
\Pi(F)=-\Lambda_{m_{i}} \ln F+c_{i}(F),
\]

где $c_{i}(F)$ – функция непрерывная на всем отрезке $\left[0, F_{0}\right]$ (включая нуль).
Обозначим через $\Pi(F)$ полный период траектории $\gamma_{F}$. Функция $\Pi(F)$ будет неоднократно встречаться нам и в дальнейшем, и мы будем называть ее функцией периода (отвечающей данному кольцу $C$ ). Для каждого $i$ рассмотрим далее функцию
\[
\theta_{i}(F)=d_{i} \Pi(F)-\sum_{j=1}^{i} \Pi_{j}(F),
\]

где $d_{i}=\left(\sum_{j-1}^{i} \Lambda_{m_{j}}\right) /\left(\sum_{j-1}^{p} \Lambda_{m_{j}}\right)$.

$\mathrm{y}_{\text {тверждается, что эта функция непрерывна }}$ на всем отрезке $\left[0, F_{0}\right]$ и гладкая всюду, кроме, быть может, нуля. В самом деле, все «чистые логарифмы», входящие в выражения для периодов, сокращаются и в результате остается выражение:
\[
\theta_{i}(F)=d_{i}\left(\sum_{j=1}^{m} c_{j}(F)\right)-\sum_{j=1}^{i} c_{j}(F),
\]

которое, очевидно, является непрерывной функцией от $F$ на всем отрезке $\left[0, F_{0}\right]$, включая нуль.

Отметим, что если бы функции $\theta_{i}$ оказались тождественно равными нулю, мы получили бы, что $\sum_{j=1}^{i} \Pi(F)=d_{i} \Pi(F)$. Это означало бы, что приращение переменной «угол» $\varphi$ в каждом прямоугольнике $\widetilde{Z}_{i}$ равняется в точности $\frac{2 \pi \Lambda_{m_{i}}}{\sum_{j=1}^{p} \Lambda_{m_{j}}}$. Другими словами, отрезки $\widetilde{N}_{i}$ оказались бы линиями уровня переменной $\varphi$ и совпали бы с искомыми отрезками $N_{i}$. Мы используем здесь тот факт, что для каждой траектории $\gamma_{F}$ ее естественный параметр $t$ и переменная «угол» $\varphi$ связаны простым соотношением $d \varphi=\left(\frac{2 \pi}{\Pi(F)}\right) d t$, т.е. попросту пропорциональны с постоянным на траектории коэффициентом.

Однако, вообще говоря, $\theta_{i}$ отличны от нуля. Но они оказались непрерывными функциями от $F$, поэтому нам достаточно рассмотреть новые отрезки $N_{i}$, получающиеся из исходных отрезков $\widetilde{N}_{i}$ некоторыми сдвигами. А именно, нужно сдвинуть каждую точку отрезка $\widetilde{N}_{i}$ на величину $\theta_{i}(F)$. Более точно, каждая точка на $\widetilde{N}_{i}$ задается некоторым значением $F$, и сдвигать ее нужно вдоль траектории потока $\sigma^{t}$ на величину $\theta_{i}(F)$. Ясно, что для построенных таким путем новых отрезков $N_{i}$ новые функции $\theta_{i}$ уже будут тождественно равны нулю, и тогда вступает в силу сделанное выше замечание. Новые отрезки $N_{i}$ являются гладкими на открытом кольце и каждый из них имеет предельную точку на внутренней границе кольца, которую мы и обозначим через $x_{i}$.

Итак, мы построили отрезки $N_{i}$ таким образом, что выполнена формула пункта «в» леммы 6.1. Осталось доказать единственность точки $x_{i}$ (см. пункт «а» леммы) и то, что все остальные траектории ведут себя так, как указано в пункте «б». Другими словами, достаточно доказать, что в «прямоугольнике» $Z_{i}$ все остальные линии уровня функции $\varphi$ втыкаются в особую точку $S_{m_{i}}$. Но этот факт легко следует из уже использованного нами соотношения $d \varphi=\left(\frac{2 \pi}{\Pi(F)}\right) d t$.

Действительно, если мы сместимся с построенного нами отрезка $N_{i}=\{\varphi=$ $\left.=\alpha_{i}\right\}$ внутрь прямоугольника $Z_{i}$ на произвольную положительную величину $\Delta \varphi$, то вблизи графа $K$ мы удалимся от отрезка $N_{i}$ на сколь угодно большое время в смысле потока $\sigma^{t}$, поскольку $\Pi(F) \rightarrow \infty$ при $F \rightarrow 0$. Поэтому предельной точкой сдвинутого отрезка $\left\{\varphi=\alpha_{i}+\Delta \varphi\right\}$ (т. е. линии уровня функции $\varphi$ ) может быть только особая точка $S_{m_{i}}$. Лемма 6.1 полностью доказана.
Комментарий. Начальный отрезок $N=N_{1}$ предполагался гладким, однако ясно, что можно было бы взять любой непрерывный отрезок на кольце $C$, соединяющий

пару точек на противоположных границах кольца и по одному разу пересекающий каждую интегральную траекторию потока $\sigma^{t}$. Все отличие от доказанной выше леммы 6.1 будет тогда состоять в том, что и все остальные отрезки $N_{i}$ (строящиеся при помощи $N_{1}$ ) также будут непрерывными дугами, соединяющими пары точек на противоположных границах кольца и пересекающими по одному разу каждую интегральную траекторию потока.

Возвращаемся к доказательству предложения 6.1. Пусть $(P, K)$ и $\left(P^{\prime}, K^{\prime}\right)$ два экземпляра одного и того же атома $V$, на которых заданы топологически сопряженные между собой гамильтоновы системы $w$ и $w^{\prime}$. Пусть $\xi: P \rightarrow P^{\prime}-$ сопрягающий гомеоморфизм. Обозначим через $\Lambda_{i}$ и $\Lambda_{i}^{\prime}$ значения $\Lambda$-инварианта первой и второй системы соответственно. Здесь одинаковыми индексами мы нумеруем особые точки первой системы $S_{i}$ и их образы $S_{i}^{\prime}=\xi\left(S_{i}\right)$.

Граф $K$ разбивает $P$ в объединение колец. Пусть $C$ – любое из них и $C^{\prime}$ кольцо, отвечающее ему при гомеоморфизме $\xi$. Рассмотрим на кольце $C$ систему отрезков раздела $N_{i}$, построенных при помощи леммы 6.1 , и отвечающих некоторой переменной «угол» $\varphi$.

Рассмотрим образы $N_{i}^{\prime}=\xi\left(N_{i}\right)$ отрезков $N_{i}$ при гомеоморфизме $\xi$. Они разбивают кольцо $C^{\prime}$ в объединение прямоугольников $Z_{i}$. Эти отрезки будут линиями уровня переменной «угол» $\varphi^{\prime}$ при условии, что за начальный отрезок (отвечающий $\varphi^{\prime}=0$ ) взят отрезок $\xi\left(N_{1}\right)$. Это сразу следует из топологической сопряженности систем $w$ и $w^{\prime}$. Более того, функция $\varphi^{\prime}$ принимает на отрезках $N_{i}^{\prime}$ те же значения, что и функция $\varphi$ на отрезках $N_{i}$. Таким образом, $N_{i}^{\prime}$ являются отрезками раздела для кольца $C^{\prime}$ и обладают всеми свойствами, перечисленными в лемме 6.1 , в частности, для них верна формула пункта «в».
Поскольку $\left.\varphi_{i}\right|_{N_{i}}=\left.\varphi_{i}^{\prime}\right|_{N_{i}^{\prime}}$, то отсюда мы сразу получаем, что
\[
\frac{\sum_{j=1}^{i} \Lambda_{m_{j}}}{\sum_{j=1}^{p} \Lambda_{m_{j}}}=\frac{\sum_{j=1}^{i} \Lambda_{m_{j}}^{\prime}}{\sum_{j=1}^{p} \Lambda_{m_{j}}^{\prime}} .
\]

Из этого соотношения сразу следует, что наборы чисел $\Lambda_{m_{i}}$ и $\Lambda_{m_{i}}^{\prime}$ для каждого кольца $C$ и его образа $C^{\prime}$ совпадают с точностью до пропорциональности. Проводя это рассуждение для всех остальных колец, мы получаем утверждение предложения 6.1.