Определение 1.5. Симплектической структурой на гладком многообразии $M$ называется дифференциальная 2-форма $\omega$, удовлетворяющая двум условиям:

1) $\omega$ замкнута, т.е. $d \omega=0$,
2) $\omega$ невырождена в каждой точке многообразия, т.е. в локальных координатах $\operatorname{det} \Omega(x)
eq 0$, где $\Omega(x)=\left(\omega_{i j}(x)\right)$ — матрица формы.
Многообразие, снабженное симплектической структурой, называется симплектическим.

На любом ли многообразии можно ввести симплектическую структуру? Ответ отрицательный. Многообразие обязано удовлетворять по крайней мере некоторым естественным ограничениям. Перечислим их.

Предложение 1.4. Симплектическое многообразие четномерно.
Доказательство.
Это сразу следует из того, что форма $\omega$ задает на каждом касательном пространстве структуру симплектического пространства. В силу невырожденности оно должно быть четномерным.

Предложение 1.5. Симплектическое многообразие ориентируемо.

Доказательство.

Многообразие ориентируемо, если в касательном пространстве к любой точке многообразия можно некоторым естественным образом задать ориентацию, непрерывно зависящую от точки. На симплектическом многообразии это сделать можно. Рассмотрим для этого дифференциальную форму $\tau=\underbrace{\omega \wedge \omega \wedge \cdots \wedge \omega}_{n \text { раз }}$.
Ни в одной точке многообразия она не обращается в нуль. Рассмотрим произвольный базис $e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{2 n}$ в произвольном касательном пространстве к симплектическому многообразию и по определению будем считать его ориентацию положительной, если $\tau\left(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{2 n}\right)>0$, и отрицательной в противном случае. Другими словами, многообразие ориентируемо, если на нем существует дифференциальная форма максимального ранга, нигде не обращающаяся в нуль. Здесь она существует, это $\tau=\omega^{(n)}$. При желании эту форму можно рассматривать как форму (ориентированного) объема на многообразии. Предложение доказано.

Предложение 1.6. Если симплектическое многообразие компактно, то форма $\omega$ реализует ненулевой класс двумерных когомологий де Рама. В частности, $H^{2}(M, \mathbb{R})
eq 0$.

Доказательство.

Предположим противное. Пусть симплектическая структура $\omega$ точна и $\omega=d \alpha$. Рассмотрим тогда ( $2 n-1)$-форму
\[
\varkappa=\alpha \wedge \underbrace{\omega \wedge \ldots \wedge \omega}_{n-1 \text { раз }} \text {. }
\]

Легко видеть, что $d \varkappa=\omega \wedge \omega \wedge \ldots \wedge \omega-$ форма объема. Но тогда, учитывая формулу Стокса, приходим к противоречию:
\[
\operatorname{vol}(M)=\int_{M} \omega \wedge \omega \wedge \ldots \wedge \omega=\int_{\partial M=\varnothing} \varkappa=0 .
\]

Извлечем отсюда простейшие следствия. Все нечетномерные многообразия, лист Мебиуса, проективная плоскость, сфера $S^{n}$, где $n>2$, симплектическими многообразиями не являютея.

Простейшим примером симплектических многообразий являются двумерные ориентируемые поверхности (в компактном случае — сферы с ручками). В качестве симплектической структуры можно рассмотреть форму площади.

Другой пример — линейное симплектическое пространство $\mathbb{R}^{2 n}$. Симплектическая структура — стандартная, не зависящая от точки
\[
\omega=d p_{1} \wedge d q_{1}+\ldots+d p_{n} \wedge d q_{n} .
\]

Кроме этих простейших примеров приведем еще три класса симплектических многообразий: кокасательные расслоения, кэлеровы многообразия, орбиты коприсоединенного представления.

1. Кокасательные расслоения. Пусть $M$ — гладкое многообразие, $T^{*} M$ его кокасательное расслоение. Построим сначала на $T^{*} M$ некоторую 1-форму $\alpha$, называемую формой действия. Напомним, что 1-форма на многообразии — это функция, которая каждому касательному вектору ставит в соответствие число. Пусть $\xi$ — касательный вектор к кокасательному расслоению в точке $(x, p)$. Положим по определению
\[
\alpha(\xi)=p\left(\pi_{*}(\xi)\right),
\]

где $\pi_{*}: T\left(T^{*} M\right) \rightarrow T M$ — естественная проекция, порожденная проекцией $\pi: T^{*} M \rightarrow M$. Легко видеть, что в локальных координатах форма $\alpha$ имеет вид
\[
\alpha=p_{1} d q_{1}+\ldots+p_{n} d q_{n},
\]

где $q_{1}, \ldots, q_{n}$ — локальные координаты на многообразии $M$, а $p_{1}, \ldots, p_{n}$ — соответствующие им координаты в кокасательном пространстве. В качестве симплектической структуры на $T^{*} M$ мы берем форму $\omega=d \alpha$. Очевидно, что она удовлетворяет всем необходимым условиям.

2. Комплексное пространство $\mathbb{C}^{n}$ и его комплексные подмногообразин, кэлеровы многообразия. Введем в $\mathbb{C}^{n}$ стандартное эрмитово скалярное произведение $(z, w)=\sum z_{i} \bar{w}_{i}$. Легко видеть, что его мнимая часть является симплектической структурой на $\mathbb{C}^{n}$. Рассмотрим произвольное комплексное подмногообразие в $\mathbb{C}^{n}$, например, заданное набором полиномиальных уравнений. Ограничивая на это подмногообразие мнимую часть эрмитовой структуры, мы получаем на нем некоторую замкнутую дифференциальную 2-форму. Она автоматически оказывается невырожденной, поскольку ограничение эрмитовой структуры на комплексное подмногообразие снова, очевидно, является эрмитовой структурой, а мнимая часть эрмитовой структуры всегда невырождена.

Напомним, что кэлеровой структурой на комплексном многообразии называется эрмитова структура с замкнутой мнимой частью.

Легко видеть, что кэлерово многообразие и любое его комплексное подмногообразие являются симплектическими. В качестве симплектической формы $\omega$ при этом берется мнимая часть эрмитовой структуры.

Примерами кэлеровых многообразий являются комплексное проективное пространство $\mathbb{C P}^{n}$ и любое его комплексное проективное подмногообразие.
В качестве примера определим симплектическую структуру на $\mathbb{C P}^{n}$.
Пусть $\left(z_{0}: \ldots: z_{n}\right)$ — однородные координаты в $\mathbb{C} P^{n}$. Рассмотрим одну из карт $U_{0}$ и определим обычным образом комплексные координаты:
\[
w_{1}=\frac{z_{1}}{z_{0}}, \ldots, w_{n}=\frac{z_{n}}{z_{0}}, \quad\left(z_{0}
eq 0\right) .
\]

Определим в этой карте дифференциальную 2-форму по следующей явной формуле:
\[
\omega=\frac{i}{2 \pi}\left(\frac{\sum d w_{k} \wedge d \bar{w}_{k}}{1+\sum\left|w_{k}\right|^{2}}-\frac{\left(\sum \bar{w}_{k} d w_{k}\right) \wedge\left(\sum w_{k} d \bar{w}_{k}\right)}{\left(1+\sum\left|w_{k}\right|^{2}\right)^{2}}\right) .
\]

Легко проверить, что в другой карте $U_{j}$ эта форма запишется аналогичным образом. Тем самым мы получаем глобально определенную невырожденную и замкнутую форму на всем проективном пространстве.

3. Орбиты коприсоединенного представления. Рассмотрим алгебру Ли $G$ произвольной группы Ли $\mathfrak{G}$. Рассмотрим двойственное пространство $G^{*}$ и определим на нем коприсоединенное действие группы Ли. Для простоты мы будем считать, что $G$ — матричная алгебра Ли, и присоединенное представление поэтому имеет вид сопряжения. Пусть $x, y, a \in G, A \in \mathfrak{G}, \xi \in G^{*}$. Напомним, что $\operatorname{Ad}_{A}$ и $\operatorname{ad}_{a}$ — линейные операторы на алгебре Ли, задаваемые обычными формулами
\[
\operatorname{Ad}_{A} x=A^{-1} x A, \quad \operatorname{ad}_{a} x=[a, x]=a x-x a .
\]

Операторы $\mathrm{Ad}^{*}$ и $\mathrm{ad}^{*}$, действующие на коалгебре, двойственны к операторам $\operatorname{Ad}_{A}^{-1}$ и — $\operatorname{ad}_{a}$ и определяются следующими тождествами
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{Ad}_{A}^{*} \xi(y)=\xi\left(\operatorname{Ad}_{A}^{-1} y\right), \\
\operatorname{ad}_{a}^{*} \xi(y)=\xi\left(-\operatorname{ad}_{a} y\right)=\xi([y, a]) .
\end{array}
\]

Рассмотрим теперь произвольный элемент $\xi \in G^{*}$ и его орбиту относительно коприсоединенного действия группы Ли $\mathfrak{G}$
\[
O(\xi)=\left\{\eta=\operatorname{Ad}_{A}^{*} \xi \mid A \text { пробегает группу } \mathfrak{G}\right\} .
\]

Это гладкое многообразие. Определим на нем симплектическую структуру $\omega$. Напомним, что дифференциальная 2-форма будет задана, если мы определим кососимметрическую билинейную форму в каждом касательном пространстве. Рассмотрим касательное пространство к орбите в точке $\xi$ (эта точка ничем не отличается от остальных). Можно проверить, что это касательное пространство имеет вид:
\[
T_{\xi} O(\xi)=\left\{\eta=\operatorname{ad}_{a}^{*} \xi \mid a \text { пробегает алгебру Ли } G\right\} .
\]

Возьмем теперь два произвольных касательных вектора вида
\[
\eta_{1}=\operatorname{ad}_{a_{1}}^{*} \xi \quad \text { и } \quad \eta_{2}=\operatorname{ad}_{a_{2}}^{*} \xi
\]

и положим по определению
\[
\omega\left(\eta_{1}, \eta_{2}\right)=\xi\left(\left[a_{1}, a_{2}\right]\right) .
\]

Нужно, разумеется, прежде всего проверить корректность определения. Дело в том, что один и тот же касательный вектор $\eta$ может быть различными способами представлен в виде $\operatorname{ad}_{a}^{*} \xi$. Пусть, например,
\[
\eta_{1}=\operatorname{ad}_{a_{1}}^{*} \xi=\operatorname{ad}_{a_{1}+b}^{*} \xi .
\]

Тогда имеем $\operatorname{ad}_{b}^{*} \xi=\operatorname{ad}_{a_{1}+b}^{*} \xi-\operatorname{ad}_{a_{1}}^{*} \xi=0$ и, следовательно,
\[
\begin{aligned}
\xi\left(\left[a_{1}+b, a_{2}\right]\right) & =\xi\left(\left[b, a_{2}\right]\right)+\xi\left(\left[a_{1}, a_{2}\right]\right)= \\
& =-\operatorname{ad}_{b}^{*} \xi\left(a_{2}\right)+\xi\left(\left[a_{1}, a_{2}\right]\right)=\xi\left(\left[a_{1}, a_{2}\right]\right),
\end{aligned}
\]

что и означает корректность определения. Остается проверить невырожденность и замкнутость этой 2-формы. Невырожденность проверяется довольно просто. Предположим, что существует касательный вектор $\eta_{1}$ такой, что $\omega\left(\eta_{1}, \eta_{2}\right)=0$ для любого касательного вектора $\eta_{2}$. Это эквивалентно тому, что для любого элемента $a_{2} \in G$ мы имеем
\[
\omega\left(\eta_{1}, \eta_{2}\right)=\xi\left(\left[a_{1}, a_{2}\right]\right)=-\operatorname{ad}_{a_{1}}^{*} \xi\left(a_{2}\right)=-\eta_{1}\left(a_{2}\right)=0 .
\]

Поскольку здесь $a_{2}$ произволен, то $\eta_{1}=0$, что и означает невырожденность. Замкнутость 2 -формы $\omega$ следует из тождества Якоби в алгебре Ли $G$.
Изучим теперь локальные свойства симплектических многообразий.
Пусть $H$ — гладкая функция на симплектическом многообразии $(M, \omega)$.
Определим для этой функции вектор кососимметрического градиента $\operatorname{sgrad} H$ из тождества
\[
\omega(v, \operatorname{sgrad} H)=v(H),
\]

где $v$ — произвольный касательный вектор, $v(H)$ — производная функции $H$ вдоль $v$.
В локальных координатах $x^{1}, \ldots, x^{2 n}$ получим следующее выражение:
\[
(\operatorname{sgrad} H)^{i}=\omega^{i j} \frac{\partial H}{\partial x^{j}} .
\]

Здесь $\omega^{i j}$ — коэффициенты матрицы, обратной к матрице $\Omega$. Мы пользуемся обычным соглашением, подразумевая суммирование по повторяющимся верхним и нижним индексам.

Определение 1.6. Векторные поля вида $\operatorname{sgrad} H$ называются гамильтоновыми векторными полями. Функция $H$ называется гамильтонианом векторного поля $\operatorname{sgrad} H$.

Одним из важнейших свойств гамильтоновых векторных полей является то, что они сохраняют симплектическую структуру $\omega$.

Предложение 1.7. Пусть $g_{t}$ — однопараметрическая группа диффеоморфизмов (гамильтонов поток), отвечающая гамильтонову полю $v=\operatorname{sgrad} f$. Тогда диффеоморфизмы $g_{t}$ сохраняет симплектическую форму $\omega$, m.е. $g_{t}^{*}(\omega)=\omega$.

Доказательство.
Достаточно показать, что производная Ли от формы $\omega$ вдоль векторного поля $v$ обращается в нуль. В силу замкнутости формы $\omega$ имеем
\[
\left.L_{v}(\omega)=d(v\rfloor \omega\right)
\]

где $v\rfloor \omega$ означает 1-форму, полученную подстановкой поля $v$ в форму $\omega$, т.е. $v\rfloor \omega(\xi)=\omega(v, \xi)=\omega(\operatorname{sgrad} f, \xi)=-d f(\xi)$ для любого касательного вектора $\xi$. Таким образом,
\[
L_{v}(\omega)=d(d f)=0,
\]

что и требовалось доказать.
Из приведенного доказательства сразу вытекает и обратное утверждение. Если векторное поле $v$ сохраняет симплектическую структуру $\omega$, то форма $v\rfloor \omega$ замкнута и, следовательно, по крайней мере локально существует функция $f$ такая, что $v\rfloor \omega=d f$ или, что то же самое, $v=\operatorname{sgrad} f$. Векторные поля, обладающие этим свойством, называются локально гамильтоновыми.

Определение 1.7. На пространстве всех гладких функций на симплектическом многообразии $M$ можно ввести операцию скобки Пуассона по следующему правилу. Пусть $f, g$ — две гладкие функции. Положим по определению
\[
\{f, g\}=\omega(\operatorname{sgrad} f, \operatorname{sgrad} g)=\operatorname{sgrad} f(g) .
\]

Легко видеть, что в локальных координатах скобка Пуассона приобретает следующий вид
\[
\{f, g\}=\omega^{i j} \frac{\partial f}{\partial x^{i}} \frac{\partial g}{\partial x^{j}} .
\]

Предложение 1.8 (Свойства скобки Пуассона). Скобка Пуассона удовлетворяет следующим свойствам:

1) билинейность над полем вещественных чисел;
2) кососимметричность
\[
\{f, g\}=-\{g, f\}
\]
3) тождество Якоби
\[
\{g,\{f, h\}\}+\{f,\{h, g\}\}+\{h,\{g, f\}\}=0 ;
\]
4) правило Лейбница
\[
\{f g, h\}=f\{g, h\}+g\{f, h\}
\]
5) Oператор sgrad осуществляет гомоморфизм алгебры Ли гладких функций на многообразии в алгебру Ли векторных полей. Другими словами, имеет место тождество
\[
\operatorname{sgrad}\{f, g\}=[\operatorname{sgrad} f, \operatorname{sgrad} g] .
\]

В частности, гамильтоновы векторные поля образуют подалгебру.
6) Функция $f$ является первым интегралом гамильтонова векторного поля $v=\operatorname{sgrad} H$ тогда и только тогда, когда $\{f, H\}=0$. в частности, гамильтониан $H$ всегда является интегралом поля $\operatorname{sgrad} H$.

Доказательство.
Билинейность и кососимметричность скобки Пуассона очевидны. Докажем тождество Якоби. Напомним следующую хорошо известную формулу Картана:
\[
d \omega(\xi, \eta, \zeta)=\xi \omega(\eta, \zeta)-\omega([\xi, \eta], \zeta)+\text { (цикл. перестановка) }
\]

где $\omega$ — произвольная 2-форма, $\xi, \eta$ и $\zeta$ — произвольные векторные поля. Применим ее в случае, когда $\omega-$ симплектическая структура, а $\xi=\operatorname{sgrad} f, \eta=\operatorname{sgrad} g$ и $\zeta=\operatorname{sgrad} h$. В силу замкнутости симплектической структуры имеем:
$\operatorname{sgrad} f(\omega(\operatorname{sgrad} g, \operatorname{sgrad} h))-\omega([\operatorname{sgrad} f, \operatorname{sgrad} g], \operatorname{sgrad} h)+$
\[
+ \text { (цикл. перестановка) }=0 .
\]

Перепишем это выражение иначе:
\[
\operatorname{sgrad} f(\{g, h\})-[\operatorname{sgrad} f, \operatorname{sgrad} g](h)+\text { (цикл. перестановка) }=0 .
\]

Переписывая еще раз, получаем тождество Якоби:
\[
\begin{aligned}
\{f,\{g, h\}\} & -\operatorname{sgrad} f(\operatorname{sgrad} g(h))+\operatorname{sgrad} g(\operatorname{sgrad} f(h))+ \\
& + \text { (цикл. перестановка })=\{g,\{f, h\}\}+\text { (цикл. перестановка })=0 .
\end{aligned}
\]

Из приведенного доказательства вытекает следующее полезное наблюдение. Тождество Якоби для скобки Пуассона на самом деле эквивалентно замкнутости формы $\omega$.

Правило Лейбница легко вытекает из аналогичного правила для косого градиента:
\[
\operatorname{sgrad}(f g)=f \operatorname{sgrad} g+g \operatorname{sgrad} f .
\]

Докажем свойство 5. Дифференцируя произвольную функцию $h$ вдоль векторного поля sgrad $\{f, g\}$, имеем
\[
\begin{aligned}
\operatorname{sgrad}\{f, g\}(h) & =\{\{f, g\}, h\}=(\text { в силу тождества Якоби })= \\
& =\{f,\{g, h\}\}-\{g,\{f, h\}\}= \\
& =\operatorname{sgrad} f(\operatorname{sgrad} g(h))-\operatorname{sgrad} g(\operatorname{sgrad} f(h))= \\
& =[\operatorname{sgrad} f, \operatorname{sgrad} g](h),
\end{aligned}
\]

что и требовалось доказать.
Свойство 6, очевидно, следует из определения скобки Пуассона.
Иногда вместо симплектической структуры на многообразии при построении гамильтоновой механики в качестве исходной структуры берут скобку Пуассона. При этом скобка Пуассона не предполагается обязательно невырожденной.

Определение 1.8. Гладкое многообразие называется пуассоновым, если на нем задана скобка Пуассона, т. е. операция $\{\cdot, \cdot\}$ : $C^{\infty}(M) \times C^{\infty}(M) \rightarrow C^{\infty}(M)$, задающая структуру алгебры Ли на пространстве гладких функций и удовлетворяющая правилу Лейбница.

Легко проверяется, что задание скобки Пуассона на многообразии эквивалентно заданию кососимметрического тензорного поля $A^{i j}(x)$, удовлетворяющего соотношению
\[
A^{j \alpha} \frac{\partial A^{k i}}{\partial x^{\alpha}}+A^{i \alpha} \frac{\partial A^{j k}}{\partial x^{\alpha}}+A^{k \alpha} \frac{\partial A^{i j}}{\partial x^{\alpha}}=0 .
\]

При этом связь между скобкой Пуассона и тензорным полем $A^{i j}$, называемым пуассоновой структурой, проста и естественна:
\[
\{f, g\}=A^{i j} \frac{\partial f}{\partial x^{i}} \frac{\partial g}{\partial x^{j}},
\]

а соотношение на компоненты тензора $A^{i j}$ в точности эквивалентно тождеству Якоби.

Если скобка Пуассона невырождена (т.е. $\operatorname{det}\left(A^{i j}\right)
eq 0$ всюду на $M$ ), то пуассоново многообразие является симплектическим. Симплектическая структура имеет в этом случае вид $\omega=A_{i j} d x^{i} \wedge d x^{j}$, где $A_{i j}$ — компоненты матрицы, обратной к $\left(A^{i j}\right)$.

В качестве примера вырожденной скобки Пуассона укажем скобку ПуассонаЛи на двойственном пространстве $G^{*}$ к произвольной алгебре Ли $G$. Она задается формулой:
\[
\{f, g\}=c_{j k}^{i} x_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{j}} \frac{\partial g}{\partial x_{k}} .
\]

Здесь $c_{j k}^{i}$ — структурные константы алгебры Ли $G$ в некотором базисе $e_{1}, \ldots, e_{n}$, а $x_{1}, \ldots, x_{s}$ — координаты на $G^{*}$ в сопряженном базисе $e^{1}, \ldots, e^{n}$.

Эта скобка становится невырожденной на орбитах коприсоединенного представления, и задаваемая ею на орбитах симплектическая структура совпадает с описанной выше.