Выше были введены множества $\Delta(V)$ и $Z(V)$, являющиеся множествами допустимых значений $\Delta$ – и $Z$-инвариантов. Наша цель – описать эти множества, т. е. описать множества значений $\Delta$ и $Z$ инвариантов.

Начиная с этого момента будем считать для простоты, что $\Lambda$-инвариант имеет вид $\{1: 1: \ldots: 1\}$, т.е. все $\Lambda_{i}$ равны между собой. Общий случай мы разберем затем отдельно.

Из определения оператора $\phi_{1}^{\prime}$ сразу следует, что множество допустимых значений $\Delta$-инварианта совпадает с его образом $\operatorname{Im}\left(\phi_{1}^{\prime}\right)$. Поэтому наша цель – описать образ оператора $\phi_{1}^{\prime}: B_{0}^{*} \rightarrow B_{0}$. Распространим действие оператора $\phi_{1}^{\prime}$ с $B_{0}^{*}$ на $C_{0}^{*}$, т. е. – на все пространство 0 -цепей сопряженного графа $Г$. Это распространение осуществляется при помощи доказанной выше явной формулы для оператора $\phi_{1}^{\prime}$ (см. лемму 6.7). Получающийся оператор обозначим через $\psi: C_{0}^{*} \rightarrow C_{0}$.

Как и выше, вершины графа $K$ мы обозначаем через $S_{j}$, а вершины двойственного графа $\Gamma=K^{*}$ (отвечающие кольцам $C_{m}$ ) – через $C_{m}^{*}$. В качестве естественных базисов в пространствах 0 -цепей $C_{0}$ и $C_{0}^{*}$ мы возьмем наборы вершин $S_{1}, \ldots, S_{n}$ и $C_{1}^{*}, \ldots, C_{l}^{*}$ соответственно. Будем считать оба базиса ортонормированными.

Пусть $A(\psi)=\left(a_{j m}\right)$ – матрица оператора относительно указанных базисов. Укажем явный вид коэффициентов $a_{j m}$. Из леммы 6.7 сразу вытекает, что числа $a_{j m}$ имеют следующий вид:
\[
a_{j m}=\left\{\begin{array}{ll}
0, & \text { если } S_{j} \text { не принадлежит границе } \\
\frac{n(j, m)}{k(m)}, & \text { есльца } C_{m} ; \\
& \text { на кольце } C_{m} .
\end{array}\right.
\]

Здесь $n(j, m)$ – кратность вхождения данной вершины $S_{j}$ в кольцо $C_{m}$ (кольцо может пройти мимо вершины один или два раза); число $k(m)$ – количество вершин графа $K$, мимо которых проходит кольцо $C_{m}$ (с учетом кратности).

Лемма 6.8. Образ оператора $\phi_{1}^{\prime}=\left.\psi\right|_{B_{0}^{*}}: B_{0}^{*} \rightarrow B_{0}$ является пересечением образа оператора $\psi: C_{0}^{*} \rightarrow C_{0}$ с подпространством $B_{0}$.
Доказательство.
Требуемое равенство $\psi\left(B_{0}^{*}\right)=\psi\left(C_{0}^{*}\right) \cap B_{0}$ легко вытекает из двух очевидных фактов:
1) пространства 0 -границ $B_{0}^{*}$ и $B_{0}$ состоят из тех и только тех 0 -цепей, сумма координат которых равна нулю,
2) оператор сохраняет сумму координат.
Теперь мы можем заняться изучением образа оператора $\psi$. Легко видеть, что этот образ является ортогональным дополнением к ядру оператора $\beta: C_{0} \rightarrow C_{0}^{*}$, матрица которого получается из выписанной выше матрицы $A(\psi)$ транспонированием и умножением каждой строки на число $k(m)$. Это следует из того, что ядро $\beta$ совпадает с ядром оператора, сопряженного к $\psi$.

Опишем явно действие оператора $\beta$. Набору чисел на вершинах графа $K$ он ставит в соответствие набор чисел на кольцах $C_{m}$. А именно, число, которое он ставит на кольце $C$, равно сумме всех чисел, стоящих на вершинах графа $K$, мимо которых проходит это кольцо (с учетом кратности). Таким образом, оператор $\beta$ оказывается довольно простым.

Рассмотрим линейное подпространство $\Delta^{*}(V)=\operatorname{ker} \beta$ в $C_{0}$, образованное всеми наборами чисел, стоящими на вершинах графа $K$ и обладающими тем свойством, что для каждого кольца сумма этих чисел по вершинам, входящим в это кольцо, равна нулю. Легко видеть, что общая сумма всех чисел из такого набора тоже равна нулю, и поэтому $\Delta^{*}(V)=\operatorname{ker} \beta$ является подпространством в $B_{0}$. В результате мы приходим к следующему утверждению.
Предложение 6.5. Пусть $\Lambda$-инвариант имеет вид $\{1: 1$ : … : 1\}. Тогда пространство $\Delta(V)$ допустимых значений $\Delta$-инварианта для данного атома $V=(P, K)$, является ортогональным дополнением к подпространству $\Delta^{*}(V)$ в $B_{0}$.

Рассмотрим теперь случай, когда $\Lambda$-инвариант произвольный. Введем новое пространство $\Delta^{*}(V, \Lambda)$. Оно получается из подпространства $\Delta^{*}(V)$ следующим образом. Рассмотрим линейное преобразование пространства $C_{0}$ в себя, задаваемое на базисе, состоящем из вершин $S_{1}, \ldots, S_{n}$, диагональной матрицей, по диагонали которой стоят числа $\Lambda_{1}, \ldots, \Lambda_{n}$. Матрица определена с точностью до скалярного множителя, что не влияет на дальнейшие рассуждения. Образ подпространства $\Delta^{*}(V)$ в результате описанного линейного преобразования мы и обозначим через $\Delta^{*}(V, \Lambda)$. Отметим, что это подпространство уже не обязано лежать в $B_{0}$.
Предложение 6.6. Пусть $\Lambda$-инвариант является произвольным. Тогда пространство $\Delta(V)$ допустимых значений $\Delta$-инварианта для данного атома $V=$ $=(P, K)$ является пересечением ортогонального дополнения $\kappa \Delta^{*}(V, \Lambda)$ с подпространством $B_{0}$.

Доказательство этого утверждения проводится точно так же, как и доказательство для случая $\Lambda=\{1: 1: \ldots: 1\}$.

Отметим также, что из этого утверждения легко вытекает тот факт, что размерность пространства $\Delta(V)$ не зависит от значения $\Lambda$-инварианта.
Вернемся теперь снова к случаю, когда $\Lambda$-инвариант единичный.
На время мы можем забыть о гамильтоновых системах и рассмотреть совершенно частный вопрос о строении пространства $\Delta(V)$.

Итак, у нас имеется замкнутая ориентируемая двумерная поверхность $\widetilde{P}$ с вложенным в нее связным графом $K$. Этот граф разбивает поверхность на клетки (т.е. области, гомеоморфные диску), и каждая вершина графа имеет степень 4. Кроме этого выполнено еще одно условие: все двумерные клетки могут быть раскрашены в черный и белый цвет в шахматном порядке, т.е. так, что к каждому ребру графа $K$ примыкают клетки разных цветов.

Элементом пространства $\Delta^{*}(V)$ является набор чисел на вершинах графа $K$ такой, что для каждой двумерной клетки сумма чисел, стоящих на вершинах, лежащих на ее границе, равна нулю (при этом мы учитываем кратность вхождения вершины в границу клетки). Наша задача состоит в том, чтобы описать

все такие наборы и найти, в частности, размерность пространства $\Delta^{*}(V)$. Мы сейчас сделаем это, используя гомологические характеристики пары $(\widetilde{P}, K)$.

Сопоставим каждому набору $b$ из $\Delta^{*}(V)$ некоторую 1-коцепь на графе $K$. Напомним, что ребра графа $K$ естественным образом ориентированы потоком, поэтому каждое ребро имеет однозначно определенные начало и конец. Рассмотрим 1-коцепь $y=\sum y_{i} K_{i}^{*}$, для которой коэффициент $y_{i}$ равен числу, стоящему в вершине, являющейся началом ребра $K_{i}$ (рис. 6.12). Это правило задает нам линейный оператор $\vartheta: C_{0}(\widetilde{P}) \rightarrow C^{1}(\widetilde{P})$.
Лемма 6.9. Если $b \in \Delta^{*}(V)$, то 1-коцепь $y=$ $=\vartheta($ ) является $1-$ коциклом.
Рис. 6.12

Доказательство.
Рассмотрим произвольное кольцо $C$ атома $V$. Пусть $K_{i_{1}}, \ldots, K_{i_{p}}$ – ребра графа $K$, примыкающие к этому кольцу, а $S_{i_{1}}, \ldots, S_{i_{p}}$ – начала этих ребер, т.е. вершины лежащие на границе кольца. Нам достаточно проверить, что для любого кольца $C$ сумма чисел вида $y_{i_{j}}$ равна нулю, где $y_{i_{j}}$ – значение коцепи $y$ на ребре $K_{i_{j}}, j=1, \ldots, p$. Но это очевидно, поскольку по определению $y_{i_{j}}$ равно числу, стоявшему ранее в вершине $S_{i_{j}}$, а сумма этих чисел была равна нулю по определению пространства $\Delta^{*}(V)$.

Отметим, что коцикл $y$ не может быть произвольным. Дело в том, что он содержит некоторые «симметрии», а именно: он принимает одинаковые значения на паре ребер, выходящих из одной вершины. Легко видеть, что это – единственное ограничение на интересующие нас 1-коциклы. Устраним эту лишнюю (для нас) симметрию, перейдя от поверхности $\widetilde{P}$ к новому объекту – клеточному двумерному комплексу $\widetilde{\widetilde{P}}$, получающемуся из нее следующей склейкой. Для каждой вершины отождествим друг с другом пару выходящих из нее ребер графа $K$. В результате Рис. 6.13 получаем некоторое непрерывное отображение $p: \widetilde{P} \rightarrow \widetilde{\widetilde{P}}$. Возникает встречное отображение $p^{*}: Z^{1}(\widetilde{\widetilde{P}}) \rightarrow Z^{1}(\widetilde{P})$, которое изоморфно отображает пространство 1-коциклов комплекса $\widetilde{\widetilde{P}}$ на пространство интересующих нас «симметричных» $1-$ коциклов поверхности $\tilde{P}$. В результате мы имеем следующее утверждение.
Лемма 6.10. Линейное пространство $\Delta^{*}(V)$ естественным образом изоморфно пространству $Z^{1}(\widetilde{\widetilde{P}})$ 1-коциклов клеточного комплекса $\widetilde{\widetilde{P}}$.

Найдем размерность пространства $\Delta^{*}(V)$. В силу леммы 6.10 достаточно вычислить размерность $Z^{\mathbf{1}}(\widetilde{\widetilde{P}})$.

Введем новый интересный объект – набор атомных окружностей, отвечающих данному атому $V$. Рассмотрим его граф $K$ и произвольное ребро. Начнем двигаться по направлению к одной из двух вершин графа, являющихся концами ребра. Придя в вершину, мы можем однозначно выйти из нее по противоположному ребру креста (т.е. продолжать движение, не сворачивая). Движемся таким образом по графу $K$ (вообще говоря, с самопересечениями) до тех пор, пока не вернемся на начальное ребро. Ясно, что в результате мы описали некоторую окружность, погруженную в 2-поверхность $P$. Берем какое-либо из оставшихся ребер (если такие есть) и повторяем процесс. В результате мы представим граф $K$ как объединение некоторого числа окружностей $\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{q}$, погруженных в поверхность $P$ (рис. 6.13).
Определение 6.7. Построенные описанным способом окружности $\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{q}$ будем называть атомными окружностями.

Каждая атомная окружность $\gamma_{i}$, рассматриваемая как образ окружности при ее погружении в поверхность $\widetilde{P}$, реализует некоторый $1-ц и к л ~\left[\gamma_{i}\right]$ в группе одномерных вещественных гомологий $H_{1}(P)$. Обозначим через $\gamma H^{1}(\widetilde{P})$ подгруппу в $H^{1}(\widetilde{P})$, порожденную всеми циклами $\left[\gamma_{1}\right], \ldots,\left[\gamma_{q}\right]$. Пусть $\operatorname{dim} \gamma H^{1}(\widetilde{P})$ – ее размерность. Далее, напомним, что каждый атом $V$ имеет род $g$, т.е. число ручек поверхности $\widetilde{P}$.
Предложение 6.7. Имеет место следующее равенство:
\[
\operatorname{dim} \Delta^{*}(V)=(q-1)+2 g-\operatorname{dim} \gamma H^{1}(\widetilde{P}) .
\]

Из предложений 6.6 и 6.7 вытекает интересующая нас формула для размерности пространства $\Delta(V)$ – пространства допустимых значений $\Lambda$-инварианта на атоме $V=(P, K)$.
Следствие. Имеет место следующее равенство:
\[
\operatorname{dim} \Delta(V)=n-2 g-q+\operatorname{dim} \gamma H^{1}(\widetilde{P}),
\]

где $n$ – число вериин графа $К$.
Доказательство предложения 6.7.
Как мы уже знаем, $\operatorname{dim} \Delta^{*}(V)=\operatorname{dim} Z^{1}(\widetilde{\widetilde{P}})$. Но $\operatorname{dim} Z^{1}(\widetilde{\widetilde{P}})=\operatorname{dim} H^{1}(\widetilde{\widetilde{P}})+$ $+\operatorname{dim} B^{1}(\widetilde{\widetilde{P}})$, где $B^{1}$ – пространство 1-кограниц. Поэтому требуемое равенство сразу вытекает из доказываемых ниже лемм 6.11 и 6.12 .
Лемма 6.11. Имеет место следующее равенство:
\[
\operatorname{dim} B^{1}(\widetilde{\widetilde{P}})=q-1,
\]

ґде $q$ – число атомных окружностей.
Доказательство.
Ясно, что число независимых 1-кограниц в комплексе $\widetilde{\widetilde{P}}$ на единицу меньше числа вершин комплекса $\widetilde{\widetilde{P}}$. Поэтому нужно доказать, что число вершин комплекса $\widetilde{\widetilde{P}}$ равно числу атомных окружностей.

Рассмотрим граф $\widetilde{K}$ – одномерный остов комплекса $\widetilde{\widetilde{P}}$. Он получается из графа $K$ в результате склеек пар ребер, выходящих из каждой вершины графа $K$. Рассмотрим $q$ абстрактно заданных непересекающихся окружностей. Чтобы получить из них граф $K$, нужно объявить их атомными окружностями, т.е. отобразить в поверхность $\widetilde{P}$ на граф $K$. На каждой такой абстрактно заданной окружности возникает набор точек – прообразов ее самопересечений и пересечений с другими окружностями внутри графа $K$. Эти вершины разбивают каждую абстрактную окружность на ориентированные дуги – будущие ребра графа $K$. Дуги, отвечающие тем ребрам, которые при переходе к графу $\widetilde{K}$ будут попарно склеиваться, мы обозначим одинаковыми буквами (рис. 6.14). Ясно, что эти дуги, снабженные одинаковыми буквами, стоят рядом и имеют противоположную ориентацию. Закрасим концы ориентированных дуг в белый цвет, а их начала – в черный (рис. 6.14). Из этого абстрактного набора окружностей мы хотим изготовить граф $\widetilde{K}$. Для этого нужно провести два типа склеек.

Первый тип – попарные отождествления некоторых вершин, диктуемые пересечениями и самопересечениями окружностей внутри графа $K$ (при выполнении отождествлений этого 1 -го типа мы получим из абстрактного набора окружностей граф $K$ ). При этом каждая черная вершина обязательно отождествляется с некоторой белой вершиной. Дело в том, что каждая вершина графа $K$ является одновременно началом двух выходящих ребер и концом двух входящих ребер.

Второй тип отождествлений – это склейки пар ребер, обозначенных одинаковыми буквами.
Рис. 6.14
Рис. 6.15
Ясно, что мы можем провести эти два типа склеек в обратном порядке, т.е. сначала выполнить склейки второго типа, а лишь затем – склейки первого типа.

Начав со склеек второго типа, мы обнаруживаем, что каждая абстрактно заданная окружность превратится в «звезду», у которой в центре расположена белая вершина, а концы всех выходящих из центра ребер – черные (рис. 6.15). При этой склейке черные и белье вершины не перемешиваются.

Теперь мы можем приступить к склейкам первого типа. При этом (исходя из определения) мы должны склеить каждую черную (концевую) вершину каждой

звезды с какой-то другой белой (центральной) вершиной другой (быть может, той же самой) звезды.

В результате должен получиться граф $\widetilde{K}$ комплекса $\widetilde{\widetilde{P}}$. Совершенно очевидно, что при этой операции число белых вершин не меняется и все они превращаются в различные вершины комплекса $\widetilde{K}$. Следовательно, число вершин комплекса $\widetilde{K}$ в точности равно числу белых вершин (после первой склейки), т.е. – числу исходных абстрактно заданных окружностей $q$. Лемма 6.11 доказана.

Лемма 6.12. Имеет место следующее равенство:
\[
\operatorname{dim} H^{1}(\widetilde{\widetilde{P}})=2 g-\operatorname{dim} \gamma H_{1}(\widetilde{\widetilde{P}}) .
\]

Доказательство.
Мы утверждаем, что интересующий нас комплекс $\widetilde{\widetilde{P}}$ будет гомотопически эквивалентен комплексу, который может быть получен из поверхности $\widetilde{P}$ заклейкой каждой атомной окружности диском. Более точно это означает, что сначала мы рассматриваем погружение $S^{1}$ в поверхность $\widetilde{P}$, образом которого является данная атомная окружность, а затем, считая $S$ границей 2-диска, приклеиваем этот диск по отображению его границы к $\widetilde{P}$.
Рис. 6.16
Покажем, что полученный комплекс гомотопически эквивалентен комплексу $\widetilde{\widetilde{P}}$. Для этого устроим непрерывную деформацию каждого приклеенного 2 -диска по себе так, чтобы граничная окружность стянулась на звезду с центральной белой вершиной и ребрами, кончающимися черными вершинами. Это в точности даст комплекс $\widetilde{\widetilde{P}}$ (рис. 6.16).

Таким образом, при переходе от $\widetilde{P}$ к $\widetilde{\widetilde{P}}_{\text {мы }}$ заклеиваем дисками все атомные окружности и только их. С гомологической точки зрения это означает, что переходя от $\widetilde{P}$ к $\widetilde{\widetilde{P}}$ мы просто «убиваем» циклы, образованные атомными окружностями. Следовательно, отображение $p_{*}: H_{1}(P) \rightarrow H_{1}(\widetilde{\widetilde{P}})$, индуцированное склейкой $p: \widetilde{P} \rightarrow \widetilde{\widetilde{P}}$, является эпиморфизмом, причем $\operatorname{ker} p_{*}=\gamma H_{1}(\widetilde{P})$. Отсюда
\[
\operatorname{dim} H^{1}(\widetilde{\widetilde{P}})=\operatorname{dim} H_{1}(\widetilde{\widetilde{P}})=\operatorname{dim} H_{1}(\widetilde{P})-\operatorname{dim} \gamma H_{1}(\widetilde{P})=2 g-\operatorname{dim} \gamma H_{1}(\widetilde{P}),
\]

что и требовалось доказать.
Опишем теперь базис в пространстве $\Delta^{*}(V)$.

Укажем сначала часть этого базиса, отвечающую атомным окружностям $\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{q}$. Возьмем любую атомную окружность $\gamma_{i}$ и построим с ее помощью набор чисел $b\left(\gamma_{i}\right)$ на вершинах графа $K$, принадлежащий пространству $\Delta^{*}(V)$. Двигаясь вдоль этой окружности, мы будем поочередно ставить на встречающихся нам вершинах графа $K$ числа +1 и -1 (рис. 6.17). Для определенности, стартуя с какого-нибудь ребра, мы ставим на его начало +1 , а на конец -1 . Если через какую-то вершину мы проходим два раза, то, следуя сформулированному выше правилу, мы должны поставить на нее, как нетрудно убедиться, числа разных знаков (т.е. +1 и -1). В качестве итога возьмем их сумму, т.е. ноль. Кроме того, нули мы поставим на всех остальных вершинах графа $K$, через которые атомная окружность не проходит. В результате мы получим некоторую 0 -мерную цепь $b\left(\gamma_{i}\right)$.

Несложно непосредственно убедиться в том, что 0 -цепи $b\left(\gamma_{1}\right), \ldots, b\left(\gamma_{q-1}\right)$ являются линейно независимыми элементами пространства $\Delta^{*}(V)$. Для формального доказательства достаточно воспользоваться описанным выше изоморфизмом пространства $\Delta^{*}(V)$ и пространства $Z^{1}(\widetilde{\widetilde{P}})$ 1-коциклов комплекса $\widetilde{\widetilde{P}}$ (лемма 6.10). Напомним, что каждой атомной окружности $\gamma_{i}$ взаимно-однозначно соответствует некоторая вершина $\widetilde{S}_{j}$ комплекса $\widetilde{\widetilde{P}}$. Рассмотрим элементарную коцепь $\widetilde{S}_{j}^{*} \in C^{0}(\widetilde{\widetilde{P}})$, Рис. 6.17 отвечающую этой вершине. Легко видеть, что кограница этой коцепи в точности отвечает элементу $b\left(\gamma_{i}\right)$.

Перейдем к явному описанию «второй половины» базиса в подпространстве $\Delta^{*}(V)$. Эта часть базиса отвечает элементам группы $H^{1}(\widetilde{\widetilde{P}})$. Рассмотрим подгруппу $\gamma H_{1}(\widetilde{P})$, порожденную классами гомологий $\left[\gamma_{i}\right] 1 \leqslant i \leqslant q$ на поверхности $\widetilde{P}$. Пусть $\alpha$ – произвольный целочисленный 1 -коцикл из $H^{1}(\widetilde{P})$, ортогональный подпространству $\gamma H_{1}(\widetilde{P})$. Таких линейно независимых коциклов существует, очевидно, $p$ штук, где $p=2 g-\operatorname{dim} \gamma H_{1}(\widetilde{P})$, и для каждого из них мы предъявим сейчас некоторый элемент $b(\alpha)$ из $\Delta^{*}(V)$. Будем считать, что коцикл $\alpha$ реализован в виде окружности, гладко погруженной в поверхность $\widetilde{P}$. Условие ортогональности этого коцикла всем атомным окружностям означает, что его индекс пересечения с каждой из них равен нулю.
Построение элемента $b(\alpha)$ мы разобьем на несколько шагов.

Шаг 1. Рассмотрим произвольную атомную окружность $\gamma_{i}$ и все точки пересечения этой окружности с коциклом $\alpha$. Считая, что на атомной окружности и на коцикле задана какая-то ориентация, каждой из точек пересечения мы можем приписать знак плюс или минус, как это обычно делается при определении индекса пересечения. Поскольку индекс пересечения $\alpha$ и $\gamma_{i}$ равен нулю, то точек

пересечения четное число и все они могут быть разбиты на пары, отвечающие разным знакам. Рассмотрим произвольную такую пару $x$ и $x^{\prime}$.

Шаг 2. Будем двигаться от точки $x$ вдоль атомной окружности $\gamma_{i}$ (можно выбрать любое из двух возможных направлений движения) и ставить по очереди числа +1 и -1 на встречающихся вершинах до тех пор, пока не дойдем до точки $x^{\prime}$. Первое число ставится по следующему правилу. Точка $x$ лежит на каком-то ребре графа $K$. Это ребро имеет свою собственную каноническую ориентацию. Если индекс пересечения данного ребра графа $K$ с окружностью $\alpha$ в точке $x$ положителен, то в первой встретившейся нам вершине графа $K$ ставим знак +1 , в противном случае -1 (рис. 6.18). Затем на всех остальных встречающихся вершинах знаки чередуются. Если через какую-то вершину мы проходим два раза, то мы суммируем те числа, которые должны на нее поставить. Таким образом, мы получим некоторый набор чисел $b\left(x, x^{\prime}\right)$ на одной из двух половинок атомной окружности, на которую ее делят точки $x$ и $x^{\prime}$.
Рис. 6.18

Шаг 3. Проделаем теперь ту же самую процедуру для всех остальных парных точек пересечения коцикла и атомной окружности $\gamma_{i}$. Затем повторим то же самое для каждой атомной окружности. Если через какую-либо вершину графа мы проходим несколько раз, то все числа, поставленные на нее, суммируются. Другими словами, мы суммируем между собой все наборы $b\left(x, x^{\prime}\right.$ ) (рассматриваемые как 0 -цепи).

В результате мы получим некоторый набор чисел на вершинах графа $K$ (т.е. 0 -цепь), который и обозначим через $b(\alpha)$. Отметим, что этот набор будет определен, вообще говоря, неоднозначно. Однако он всегда будет удовлетворять следующему легко проверяемому свойству: 1-коцепь $\vartheta(b(\alpha))$ является коциклом, гомологичным $\alpha$. Другими словами, описанное выше отображение $b$, сопоставляющее каждому коциклу некоторую 0 -цепь $b(\alpha)$, является обратным отображением к $\vartheta$. См. определение $\vartheta$ перед леммой 6.9 .

Как мы уже отмечали выше, существует $p=2 g-\operatorname{dim} \gamma H_{1}(\widetilde{P})$ линейно независимых классов $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{p} \in H^{1}(\widetilde{P})$, ортогональных подпространству $\gamma H^{1}(\widetilde{P})$. Обозначим отвечающие им 0 -цепи, построенные описанным выше способом, через $b\left(\alpha_{1}\right), \ldots, b\left(\alpha_{p}\right)$.

Предложение 6.8. Набор 0 -цепей $b\left(\gamma_{1}\right), \ldots, b\left(\gamma_{q-1}\right), b\left(\alpha_{1}\right), \ldots, b\left(\alpha_{p}\right)$ образует базис пространства $\Delta^{*}(V)$.
Доказательство.
Доказательство этого утверждения фактически вытекает из леммы 6.10 , которая дает интерпретацию элементов пространства $\Delta^{*}(V)$ как 1-коциклов комплекса $\widetilde{\widetilde{P}}$, или, что то же самое, как 1 -коциклов из $Z^{1}(\widetilde{P})$, удовлетворяющих условию симметричности. Напомним, что каждой 0 -цепи мы сопоставили выше некоторую 1-коцепь: каждой вершине $S$ графа $K$ мы сопоставили 1-коцепь вида $\vartheta(S)=K_{i}+K_{i^{\prime}}$, где $K_{i}$ и $K_{i^{\prime}}$ – ребра графа $K$, выходящие из вершины $S$, и затем продолжили это отображение по линейности. Для доказательства нашего утверждения нам нужно, в частности, показать, что 1 -коцепи, отвечающие при описанном соответствии 0 -цепям
\[
b\left(\gamma_{1}\right), \ldots, b\left(\gamma_{q-1}\right), \quad b\left(\alpha_{1}\right), \ldots, b\left(\alpha_{p}\right),
\]

являются коциклами и кроме того линейно независимы.
Рассмотрим сначала 1 -коцепь, отвечающую 0 -цепи $b\left(\gamma_{i}\right)$. Пример изображен на рис. 6.17. Легко видеть, что эта коцепь является не только коциклом, но даже и кограницей вида $\delta\left(\sum S^{*}\right)$, где суммирование ведется по всем белым вершинам $S$ атомной окружности $\gamma_{i}$. Напомним, что выше (см. лемму 6.11) белым цветом мы обозначили те вершины, которые являются концами ребер атомной окружности. Далее, мы показали в лемме 6.11, что белые вершины атомной окружности склеиваются в некоторую вершину комплекса $\widetilde{\widetilde{P}}$. Отсюда следует, что построенные нами 0 -цепи $b\left(\gamma_{1}\right), \ldots, b\left(\gamma_{q-1}\right)$ в точности отвечают элементарным кограницам вида $\delta\left(\widetilde{S}_{1}^{*}\right), \ldots, \delta\left(\widetilde{S}_{q-1}^{*}\right)$, где $\widetilde{S}_{1}, \ldots, \widetilde{S}_{q-1}$ – вершины комплекса $\widetilde{\widetilde{P}}$, отвечающие атомным окружностям.

Рассмотрим теперь 1 -коцепь, отвечающую 0 -цепи $b(\alpha)$, где $\alpha$ – один из коциклов $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{p}$. Мы утверждаем, что эта коцепь является коциклом, гомологичным коциклу $\alpha$. Если мы это проверим, то наше утверждение будет доказано, поскольку коциклы $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{p}$ были выбраны независимыми по модулю кограниц (т.е. как классы когомологий). Для проверки нам следует вернуться к процедуре построения $b(\alpha)$ по коциклу $\alpha$. Без ограничения общности мы можем считать, что окружность, реализующая коцикл $\alpha$ составлена из ребер сопряженного графа $K^{*}$. Эти ребра находятся во взаимно однозначном соответствии с точками пересечения коцикла $\alpha$ и графа $K$. Все такие точки пересечения при построении цепи $b(\alpha)$ были разбиты на пары $x, x^{\prime}$. На аналогичные пары $K_{j(x)}^{*}, K_{j\left(x^{\prime}\right)}^{*}$ будут разбиты и ребра графа $K^{*}$. Таким образом,
\[
\alpha=\sum\left( \pm K_{j(x)}^{*} \pm K_{j\left(x^{\prime}\right)}^{*}\right),
\]

где суммирование ведется по всем парным точкам пересечения ( $\left.x, x^{\prime}\right)$, а знаки зависят от согласованности собственной ориентации ребра сопряженного графа и ориентации коцикла $\alpha$, рассматриваемого как погруженная окружность. См. рис. 6.18.

Поскольку $b(\alpha)=\sum b\left(x, x^{\prime}\right)$, то 1 -коцепь, соответствующая 0 -цепи $b(\alpha)$, получается суммированием 1 -коцепей, соответствующих элементарным 0 -цепям $b\left(x, x^{\prime}\right)$.

Легко видеть, что каждая из этих 1-коцепей отличается от $\left( \pm K_{j(x)}^{*} \pm K_{j\left(x^{\prime}\right)}^{*}\right)$ на некоторую кограницу, а именно на общую кограницу всех белых вершин, через которые мы проходили, двигаясь по атомной окружности $\gamma_{i}$ из точки $x$ в точку $x^{\prime}$ (рис. 6.19).

Таким образом, мы можем задать интересующее нас пространство $\Delta(V)$ допустимых $\Delta$-инвариантов двумя способами:
1) как ортогональное дополнение к подпространству $\Delta^{*}(V)$, базис в котором был только что описан;
2) как образ заданного явной формулой оператора $\phi_{1}^{\prime}: B_{0}^{*} \rightarrow B_{0}$.
Теперь мы опишем область значений $Z$-инварианта.

Предложение 6.9. Любой класс гомологий из группы $H_{1}(\widetilde{P})$ реализуется как $Z$-инвариант некоторой гамильтоновой системы (с одной степенью свободы) на данном атоме $V$. Другими словами, $Z(V)=H_{1}(\widetilde{P})$.
Рис. 6.19
Рис. 6.20

Доказательство.
Поскольку нашей целью является реализация всех элементов группы $H_{1}$, то достаточно доказать предложение для базисных 1 -циклов на поверхности $\widetilde{P}$. Возьмем произвольный базисный цикл $z$ из группы $H_{1}(\widetilde{P})$. Можно считать, что он геометрически реализован на поверхности $\widetilde{P}$ какой-то самонепересекающейся окружностью, составленной из ребер графа $K$, причем каждое ребро входит в него ровно один раз (т.е. с кратностью 1), рис. 6.20. Другими словами, цикл $z$ задается как 1 -цепь, принимающая на ребрах графа $K$ значения $\pm 1$ или 0 . Мы

должны найти подходящий 1-коцикл $m$ из $H^{1}(\widetilde{P})$ такой, что действуя оператором $\phi_{2}^{\prime}$ на этот коцикл, мы и получаем цикл $z$.

Оператор $\phi_{2}^{\prime}$ был индуцирован на группе 1-когомологий операцией вклейкивырезания $\Phi_{m}$ на 0 -модели. С геометрической точки зрения 1 -коцикл $m$ (имеющий носитель на графе $K$ ) можно трактовать как 1 -цикл на той же поверхности $\widetilde{P}$, имеющий носитель на двойственном графе. Двойственный граф $K^{*}=\Gamma$ состоит из отрезков, трансверсальных ребрам графа $K$ и пересекающих их «в середине» ровно по одному разу. Концы ребер графа $\Gamma$ – это центры 2 -клеток поверхности $\widetilde{P}$. Пусть 1 -коцикл $m$ реализуется в виде окружности (пунктир на рис. 6.20), составленной из некоторых ребер графа Г. Эта пунктирная окружность идет «вдоль» окружности 1-цикла $z$ и гомологична ему.

Рассмотрим ленту $L$, границей которой является пара циклов $z$ и $m$, и все вершины графа $K$, принадлежащие циклу $z$. В каждой такой вершине встречаются 4 ребра. Два из них лежат в цикле $z$, а два других в нем не лежат. Рассмотрим те из них, которые имеют непустое пересечение с выбранной нами лентой (они могут входить в нее или выходить из нее). Обозначим эти ребра через $K_{1}, \ldots, K_{2 p}$. Легко видеть, что их четное число. Отметим далее, что ориентации каждой пары соседних ребер из $K_{1}, \ldots, K_{2 p}$ – противоположны. При обходе вдоль $z$ их ориентации чередуются (входит-выходит).

Запишем теперь коцикл $m$ как линейную комбинацию ребер графа $Г$. Легко видеть, что $m=\sum_{i=1}^{2 p}(-1)^{i} K_{i}^{*}$, где $K_{i}^{*}$ – ребра графа $\Gamma$, двойственные к указанным выше ребрам $K_{1}, \ldots, K_{2 p}$ графа $K$. Здесь $m=\left\{m_{i}\right\}$, где $m_{i}= \pm 1,1 \leqslant i \leqslant 2 p$. При этом $m_{i}=+1$, если ребро $K_{i}$ входит в ленту $L$, и $m_{i}=-1$, если ребро $K_{i}$ выходит из ленты $L$. Операция вклеивания-вырезания будет устроена как обычно. Если $m_{i}=+1$, мы вклеим прямоугольник «длины 1 » в ребро $K$, а если $m_{i}=-1$, то из ребра $K_{i}$ мы вырежем прямоугольник «длины $1 »$.
Рис. 6.21
Вычислим теперь цепь $l$ ( $Z$-инвариант системы, полученной из 0 -модели операцией $\Phi_{m}$ ). Легко проверяется, что при вклеивании-вырезании прямоугольника на некотором ребре графа $K$ изменения $Z$-инварианта касаются только ребер, лежащих на границе двух колец, примыкающих к данному ребру. Таким образом, в рассматриваемом случае нетривиальные коэффициенты $l_{j}$ цепи $l$ будут стоять только на тех ребрах графа $K$, которые принадлежат границам колец $C_{1}, \ldots, C_{p}$, примыкающих с внутренней стороны к циклу $z$. С внешней стороны цикла $z$ никаких изменений не происходит. Возьмем какое-то конкретное кольцо $C_{i}$ из указанного набора колец. Надо доказать, что коэффициенты $l_{j}$, отвечающие данному кольцу, равны нулю на всех ребрах графа $K$ (инцидентных с данным кольцом), которые не являются ребрами цикла $z$, а на ребрах цикла $z$ эти коэффициенты должны равняться 1 .
Выберем на кольце $C_{i}$ начальную точку раздела $X$ на первом ребре, выхо-

дящем из ленты $L$ (рис. 6.21). Напомним, что после этого все остальные точки раздела однозначно восстанавливаются. Для вычисления цепи $l$ нужно проанализировать смещения этих точек раздела после применения операции вклейкивырезания. Рассмотрим серию точек раздела на тех ребрах, которые не лежат в цикле $z$. Поскольку выбор начальной точки раздела $X$ – в нашей власти, то мы можем считать, что после вклеивания-вырезания эта точка остается на месте.

Начнем двигаться от нее вдоль кольца «внутрь» цикла $z$. Следующие точки раздела (не лежащие на цикле $z$ ) также останутся на прежних местах. Это следует из того, что вклеивание-вырезание не изменило полного периода потока вдоль кольца, а расстояния между этими точками раздела и начальной точкой $X$ вычисляются как некоторые функции (см. предложение 6.3) от «конечной части» полного периода потока на рассматриваемом кольце и значений $\Lambda$-инварианта. Таким образом, до тех пор, пока мы движемся по кольцу $C_{i}$ вне цикла $z$, точки раздела остаются на прежних местах, а потому значения цепи $l$ на соответствующих ребрах графа равны нулю (смещений точек раздела нет). Наконец, мы доходим до цикла $z$ (рис. 6.21) и выходим на первое его ребро. Здесь мы выполнили операцию вклеивания прямоугольника «длины 1» в поток. Более точно, мы вклеиваем прямоугольник на последнем ребре, которое втыкается в цикл $z$ между точками $S$ и $Y$. Здесь $S$ – вершина графа, лежащая на цикле $z$, а $Y-$ точка раздела этого ребра. Следовательно, точка $Y$ – последняя из точек раздела, остающихся на месте, а все остальные точки раздела, следующие за ней вдоль кольца $C$ и лежащие на цикле $z$, сместятся «назад» (по отношению к направлению потока $w$ ) на «величину 1 ». Однако важно отметить, что все «парные им» точки раздела, появляющиеся из наружных колец (примыкающих к циклу $z$ снаружи), не изменились. Следовательно, «расстояния» между парными (положительными и отрицательными) точками раздела на всех ребрах цикла $z$ (примыкающих к кольцу $C_{i}$ ) стали равны 1 . Если кольцо $C_{i}$ было положительным, то значения $l_{j}$ цепи $l$ будут равняться -1 (поскольку «назад отъехали» положительные точки раздела на ребрах). Соответственно, если кольцо было отрицательным, то соответствующие $l_{j}$ будут равняться +1 . Все числа $l_{j}$ на ребрах графа, инцидентных кольцу, но лежащих вне цикла $z$, будут равняться нулю (здесь точки раздела не сместились).

Совершенно аналогичные рассуждения проводятся и для всех других колец типа $C_{i}$, примыкающих к циклу $z$ изнутри, т. е. со стороны ленты $L$.

В результате мы получаем 1 -цепь $l=\sum_{i=1}^{2 p} l_{i} K_{i}$, где $K_{i}-$ совокупность ребер цикла $z$. При этом числа $l_{i}$ равны +1 или -1 если, соответственно, кольцо отрицательно или положительно. Вне цикла $z$ цепь $l$ равна нулю.

Мы утверждаем, что в действительности верно равенство: $l= \pm z$, где знак определяется выбором ориентации $z$. В самом деле, двигаясь вдоль $z$ в направлении положительного ребра потока $w$ и вдоль отрицательного кольца типа $C_{i}$, мы ставим на этом ребре коэффициент +1 . Это рассуждение повторяется до тех пор, пока мы движемся вдоль данного кольца (пока оно «не сошло» с цикла $z$ ). Как только мы переходим на следующее кольцо, меняется ориентация ребра графа $K$ (поток переворачивается), также меняется знак кольца (например, вместо положительного кольца мы вышли на отрицательное кольцо) и также меняет-

ся коэффициент $l_{j}$, который теперь становится равным -1 . Но все это означает лишь то, что значения цепи $l$ и цикла $z$ на этих следующих ребрах продолжают совпадать.

Этот же факт можно усмотреть и из других, более формальных соображений. Дело в том, что $m$ – это 1-коцикл, а при отображении, индуцированном операцией вклеивания-вырезания, 1-коциклы переходят в 1-циклы (лемма 6.6). Поэтому $l$ (как образ $m$ ) – это цикл. Ясно, что он должен совпадать с $z$ (с точностью до знака), поскольку оба они имеют одинаковый носитель (на ребрах графа $K$ ).

Итак, мы реализовали любой базисный 1 -цикл $z$ как $Z$-инвариант, предъявив (посредством операций вклеивания-вырезания) гамильтонову систему (получающуюся из 0 -модели) со значением $Z$-инварианта, равным $z$. Отсюда следует, что можно таким же образом реализовать произвольный 1 -цикл $z$, разложив его по базису одномерной группы гомологий поверхности $\widetilde{P}$. Предложение 6.9 полностью доказано.

Важный комментарий. Из доказательства предложения 6.9 видно, что образом 1-коцикла $m$ при отображении $\phi_{2}^{\prime}$ является 1 -цикл $z$, причем из рис. 6.20 видно также, что их носители гомологичны. Грубо говоря, цикл $z$ идет «рядом» с 1 -коциклом $m$. Отсюда сразу следует, что отображение $\phi_{2}^{\prime}$ является в действительности известным отображением Пуанкаре $H^{1}(\widetilde{P}) \rightarrow H_{1}(\widetilde{P})$, устанавливающим изоморфизм между 1 -когомологиями и 1 -гомологиями двумерной замкнутой поверхности.

Следствие. Гомоморфизм $\phi_{2}^{\prime}$ является изоморфизмом двойственности Пуанкаре как между группами $H^{1}(\widetilde{P}, \mathbb{R}) \cong H_{1}(\widetilde{P}, \mathbb{R})$, так и между целочисленными группами $H^{1}(\widetilde{P}, \mathbb{Z}) \cong H_{1}(\widetilde{P}, \mathbb{Z})$.

Предложение 6.10. Пусть на седловом атоме $V$ заданы произвольные допустимые значения инвариантов $\Lambda, \Delta$ и $Z$. Тогда на этом атоме существует гамильтонова система (получаемая операциями вклеивания-вырезания из 0-модели атома $V$ ) с заданными значениями инвариантов $\Lambda, \Delta$ и $Z$.

Доказательство.
Мы должны доказать, что можно реализовать систему с любой наперед заданной тройкой инвариантов $\Lambda, \Delta$ и $Z$. Фактически это мгновенно будет следовать из факта независимости $\Delta$ и $Z$, т.е. из факта, что между ними нет никаких соотношений. Берем систему, реализующую требуемые значения $\Delta$ и $Z$.

Мы уже знаем, что такая система существует и может быть получена из 0 -модели подходящей операцией вклейки-вырезания (см. параграф 6.4). Начнем применять к ней операции $\Phi_{m}$, где в качестве 1 -коцепи $m$ берем 1 -коциклы. В результате мы будем получать гамильтоновы системы с прежним значением $\Delta$-инварианта (см. лемму 6.6). Само собой, при этих операциях не меняется и $\Lambda$-инвариант. В то же время значения $Z$-инварианта будут меняться. Как было доказано в предложении 6.9 , в результате мы можем реализовать любой 1 -цикл из группы $H_{1}(\widetilde{P})$.

Таким образом, можно произвольно менять $Z$-инвариант, не меняя при этом значений инвариантов $\Lambda$ и $\Delta$, что и требовалось доказать. Предложение 6.10 доказано.