Изучим теперь поведение траекторий интегрируемой гамильтоновой системы в окрестности особого слоя, т.е. на 3 -атоме $U(L)$ в нашей терминологии. Пусть $L=L_{c}=f^{-1}(c)$ — особый слой слоения Лиувилля, где $f$, как и выше, 一 боттовский интеграл системы, а $c \in \mathbb{R}$ — его критическое значение. Согласно данному выше описанию структуры 3 -атома $U(L)$, слой $L$ является расслоением типа Зейферта над графом $K$, который вложен в двумерную поверхность $P$, являющуюся базой расслоения Зейферта $\pi: U(L) \xrightarrow{S^{1}} P$ (см. главу 3 ).
Выделим два случая:
a) атом $U(L)$ не содержит седловых критических окружностей с неориентируемыми сепаратрисными диаграммами;
б) атом $U(L)$ содержит хотя бы одну такую окружность.
Как мы уже видели выше, в случае (а) база $P$ может быть реализована как сечение расслоения $\pi$.

В случае (б) такого сечения нет. Однако вместо базы $P$ мы можем рассмотреть «удвоенную» поверхность $\widehat{P}$ с инволюцией $\tau$ такую, что $P=\widehat{P} / \tau$. Поверхность $\widehat{P}$ уже может быть реализована как трансверсальное «сечение» расслоения $\pi$ так, что каждый неособый слой пересекает $\widehat{P}$ дважды, а особые слои только один раз. Причем точки пересечения особых слоев с сечением $\widehat{P}$ в точности совпадают с неподвижными точками инволюции $\tau$. Простейший пример показан на рис. 5.2.

Предложение 5.4. Для топологически устойчивых интегрируемых систем поверхности $P$ и $\widehat{P}$ всегда можно выбрать так, чтобы они были трансверсальны интегральным траекториям системы $v$ в окрестности особого слоя $L$ атома $U(L)$. Доказательство.

Мы начнем с изучения свойств траекторий на особом слое $L$. Выбросим из слоя $L$ все критические окружности интеграла $f$, т. е. все критические периодические решения. Слой $L$ распадется в несвязное объединение некоторого числа колец, каждое из которых расслоено на траектории гамильтонова векторного поля $v$. Поведение этих траекторий на кольце может быть трех типов (a), (b) и (c), описанных в главе 3 (том 1) и изображенных на рис. 3.16.

Далее, в главе 3 было доказано, что если интегрируемая система топологически устойчива, то особый слой $L$ не имеет колец типа (с).

Рассмотрим теперь какое-нибудь вложение поверхности $P$ или дубля $\widehat{P}_{\text {в }}$ 3 -атом $U(L)$, трансверсальное слоям расслоения Зейферта. Рассмотрим пересечение этой поверхности с особым слоем. Это будет некоторый граф $K=P \cap L$ (соотв. $\widehat{K}=\widehat{P} \cap \widehat{L}$ ). Поскольку колец третьего типа (с) нет, то можно продеформировать вложение этого графа в особый слой $L$ таким образом, чтобы оно стало трансверсальным потоку $v$ на $L$. Действительно, считая вершины графа неподвижными, мы сразу сводим задачу к тому, чтобы сделать такую деформацию на каждом кольце особого слоя по отдельности. Это, как легко видеть, всегда можно сделать для колец типа (a) и (b). И наоборот, этого нельзя сделать для колец типа (c). В результате мы получим трансверсальное вложение графа $K$ (или $\widehat{K}$ ) в особый слой $L$.

Теперь это вложение можно попросту «утолщить» до вложения некоторой достаточно узкой двумерной окрестности этого графа, которой как раз и является ния, при этом очевидно сохранится. Предложение доказано.

Определение 5.4. Построенную в предложении 5.4 двумерную поверхность в $U(L)$ мы назовем трансверсальным сечением 3 -атома $U(L)$. Обозначим эту поверхность через $P_{t r}$.

Замечание. Иногда такие поверхности, обладающие свойством трансверсальности потоку, называют сечениями Пуанкаре.