Здесь мы изложим общую схему построения траекторных инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.

Итак, пусть $v$ – интегрируемая гамильтонова система на трехмерной изоэнергетической поверхности $Q^{3}, f$ – дополнительный боттовский первый интеграл системы, $Q=\sum Q_{c}$ – каноническое разложение на компоненты, каждая из которых содержит ровно один особый слой лиувиллева слоения. Такое разложение мы называем «атомным». Напомним, что выше мы использовали для $Q_{c}$ также обозначение $U(L)$, где $L \subset f^{-1}(c)$ – особый слой, отвечающий критическому значению с интеграла $f$ на $Q$.

Одна из трудностей, которая встречается при построении инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем на изоэнергетических 3 -многообразиях, состоит в том, что многие объекты, возникающие в рамках этой теории естественным образом, зависят от выбора базисных циклов на торах Лиувилля. Прежде всего мы имеем в виду матрицы склейки и функции вращения. Поэтому решение задачи об инвариантах системы мы разделим на две части. Сначала мы предположим, что базисы на торах Лиувилля фиксированы, определим необходимые инварианты и покажем, что системы эквивалентны, если эти инварианты совпадают. См. ниже понятие избыточного оснащения. После этого мы проанализируем то, что происходит при изменении базисов на лиувиллевских торах и сделаем инвариант корректно определенным, т.е. не зависящим от выбора базиса.

Другими словами, из избыточного оснащения путем факторизации по действию «групшы замен базисов» мы построим «t»-молекулу, в топологическом случае, и «st»-молекулу, в гладком случае. Эти молекулы будут полностью определять слоение изоэнергетической поверхности $Q^{3}$ на траектории системы, т.е. будут полными траекторными инвариантами системы.

Отметим, что излагаемая ниже конструкция применима для атомов общего вида. Однако при рассмотрении гладкого случае мы будем для простоты предполагать, что все атомы являются плоскими, и кроме того не имеют критических окружностей с неориентируемыми сепаратрисными диаграммами.