Выше мы дали полную классификацию особенностей седло-седло в терминах $\mathrm{Cl}$-типов. Несмотря на эффективность этого описания, оно все-таки несколько громоздко. Подойдем к их описанию с другой стороны. Попробуем представить себе — как могут они быть устроены. Простейший способ получения 4-мерной особенности типа седло-седло состоит в прямом перемножении двух двумерных особенностей, т.е. атомов. Приведем простейший пример.

Рассмотрим два атома $B$, т.е. две двумерные ориентируемые поверхноти $P_{1}, P_{2}$ с функциями $f_{1}, f_{2}$. Особая линия уровня функции $f_{1}$ на каждом атоме $P_{i}$ — это восьмерка, т.е. простейшая седловая особенность. Зададим на $P_{i}$

симплектическую структуру и рассмотрим прямое произведение $P_{1} \times P_{2}$ с симплектической структурой, являющейся суммой двух симплектических структур $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$. Функции $f_{1}$ и $f_{2}$, продолженные на $P_{1} \times P_{2}$, очевидно, коммутируют относительно этой структуры и задают слоение Лиувилля на $P_{1} \times P_{2}$. Это слоение имеет ровно одну особенность типа седло-седло. Ее особый слой $L$ является прямым произведением двух восьмерок. Эта особенность в теореме 9.5 указана как первая в списке.

Ясно, что таким же образом можно перемножать и любые седловые атомы $V_{1}$ и $V_{2}$, получая при этом все новые и новые примеры 4-мерных особенностей седлоседло. Эту конструкцию можно несколько модернизировать. Приведем пример.

Рассмотрим прямое произведение $C_{2} \times B$ двух атомов: $C_{2}$ и $B$, получим 4 -мерное симплектическое многообразие, структура которого является прямой суммой симплектических структур сомножителей. Рассмотрим на атомах $C_{2}$ и $B$ центральные симметрии, которые обозначим $\tau_{1}$ и $\tau_{2}$ соответственно. Ясно, что инволюция $\tau_{1}$ не имеет на атоме $C_{2}$ неподвижных точек. Определим инРис. 9.39 волюцию $\tau$ на $C_{2} \times B$ при помощи естественной формулы: $\tau(x, y)=$ $=\left(\tau_{1}(x), \tau_{2}(y)\right)$. Очевидно, что она свободно действует на $C_{2} \times B$, т.е. не имеет неподвижных точек. См. рис. 9.39. Кроме того, инволюция сохраняет симплектическую структуру на $C_{2} \times B$. Поэтому можно профакторизовать $C_{2} \times B$ по этому действию группы $\mathbb{Z}_{2}$. В результате получится 4 -многообразие $\left(C_{2} \times B\right) / \mathbb{Z}_{2}$, на котором, очевидно, возникает интегрируемая система с ровно одной особенностью седло-седло. Проанализировав топологию получившегося особого слоя, мы увидим, что она имеет тип 2 из теоремы 9.5.

Нетрудно видеть, что особенности вида 3 и 4 из этой же теоремы 9.5, могут быть описаны в рамках такой же конструкции, а именно: прямое произведение атомов с последующей его факторизацией по свободному действию некоторой конечной группы.

Оказывается, в этом проявляется некоторый общий факт: в некотором смысле любая особенность типа седло-седло получается таким образом.

Пусть $V_{1}$ и $V_{2}$ — два седловых атома со своими симплектическими структурами и, соответственно, функциями Морса $f_{1}$ и $f_{2}$. Пусть на каждом атоме симплектически действует одна и та же конечная группа $G$, причем действие сохраняет функции $f_{1}$ и $f_{2}$. Тогда на прямом произведении $V_{1} \times V_{2}$ определена симплектическая структура, как сумма двух структур атомов. Определена также структура лиувиллева слоения, задаваемого парой коммутирующих функций $f_{1}, f_{2}$. Определено действие группы $G$, задаваемое формулой $\varphi(g)\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(\varphi_{1}(g)\left(x_{1}\right), \varphi_{2}(g)\left(x_{2}\right)\right)$, где $\varphi_{i}$ — действие $G$ на атоме $V_{i}$. Очевидно, действие $\varphi$ — симплектическое и сохраняет структуру слоения Лиувилля. Если действие $\varphi$ — свободно, то можно рассмотреть фактор-многообразие $\left(V_{1} \times V_{2}\right) / G$. Оно, очевидно, тоже симплектическое, имеет естественную структуру слоения Лиувилля, и является 4 -мерной окрестностью связного особого слоя $L$ типа седлоседло.

Определение 9.6. Описанная выше четырехмерная особенность седло-седло будет называться особенностью типа почти прямого произведения.

Напомним, что, как всегда, мы рассматриваем особенности, удовлетворяющие естественным условиям невырожденности, сформулированным ранее.
Теорема 9.9 (Т.З.Нгуен [344]). Любая четырехмерная особенность $U(L)$ седло-седло имеет тип почти прямого произведения.
Доказательство.
Фактически нужно доказать, что для каждой такой особенности существует некоторое накрытие, диффеоморфное прямому произведению двух 2-атомов, причем группа накрытия действует покомпонентно и свободно на этом прямом произведении.

Рассмотрим универсальное 4-мерное накрытие $\widetilde{U} \rightarrow U(L)$ окрестности особого слоя $L$. Это — снова симплектическое 4-многообразие, на котором задана пара коммутирующих функций $\widetilde{f}_{1}, \widetilde{f}_{2}$. Они получаются естественным поднятием на $\widetilde{U}$ функций $f_{1}, f_{2}$, заданных на 4 -многообразии $U(L)$. В результате на $\widetilde{U}$ также возникает структура лиувиллева слоения. Слои его будут в действительности некомпактными, в отличие от слоения на $U$. Отметим, что $\tilde{U}$ можно представить в виде 4 -мерной регулярной окрестности $\widetilde{U}(\widetilde{L})$ особого слоя $L$, задаваемого уравнениями $\tilde{f}_{1}=0, \tilde{f}_{2}=0$.
Лемма 9.6.
1) Универсальное 4-мерное накрытие $\tilde{U}(\tilde{L})$ любой особенности $U(L)$ типа седло-седло послойно диффеоморфно универсальному накрытию над прямым произведением $B \times B$ двух атомов $B$.
2) Это 4-мерное универсальное накрытие $\widetilde{U}(\widetilde{L})$ является прямым произведением $\widetilde{B} \times \widetilde{B}$ двух экземпляров универсального накрытия $\widetilde{B}$ над двумерным атомом $B$, показанного на рис. 9.40. Накрытие $\widetilde{B}$ над атомом $B$ является двумерной окрестностью плоского бесконечного дерева, каждая вериина которого имеет кратность 4. Каждая ветвь дерева ветвится до бесконечности.

Рис. 9.40
Рис. 9.41

Доказательство.
Чтобы сделать доказательство понятнее, мы начнем с двумерного случая (так сказать со случая «одной степени свободы»). Рассмотрим 2-атом $V$ и построим над ним универсальное накрытие. Мы утверждаем, что оно для всех атомов — одно и то же с точностью до послойного диффеоморфизма и имеет вид, изображенный на рис. 9.40. Докажем это. Разрежем атом $V$ на двумерные кресты, как показано на рис. 9.41. Мы берем точки на серединах всех ребер и проходящие через них интегральные траектории векторного поля $\operatorname{grad} f$. Здесь $f-$ функция, определяющая 2-атом $V$.

С другой стороны, универсальное накрывающее пространство $\widetilde{B}$, показанное на рис. 9.40, тоже очевидно представляется в виде бесконечного объединения таких же крестов. Чтобы построить искомое накрытие $\widetilde{B} \rightarrow V$, возьмем какойнибудь крест из пространства $\widetilde{B}$ и гомеоморфно отобразим его на любой из крестов атома $V$. При этом нужно следить за сохранением значения функции $f$ и ориентации. При отображении креста на крест это, очевидно, всегда можно сделать. После этого продолжаем построенное отображение на соседние кресты в $\widetilde{B}$, отображая их соответствующим образом на соседние кресты в $V$. Ясно, что такое продолжение всегда возможно и определено однозначно с точностью до послойного диффеоморфизма. Поскольку $\widetilde{B}$ не содержит циклов, то продолжая этот процесс, мы получим послойное отображение $\widetilde{B} \rightarrow V$, являющееся, очевидно, искомым универсальным накрытием.

Совершенно аналогичная конструкция проходит в четырехмерном случае (и даже в многомерном). Для этого нужно в 2-комплексе $L$ рассмотреть все составляющие его квадраты и каждый из них разрезать на 4 маленьких квадрата как показано на рис. 9.42. После этого нужно продолжить эти разрезы с 2 -комплекса $L$ на всю 4 -окрестность $U(L)$ по аналогии с тем, как это мы сделали в двумерном случае. То есть нужно из каждой точки разреза на $L$ выпустить интегральные траектории всех векторных полей вида
\[
\lambda \operatorname{grad} f_{1}+\mu \operatorname{grad} f_{2}
\]

при всех $\lambda$ и $\mu$. Локально получится двумерная гладкая поверхность, «вырастающая» из данной точки и трансверсальная исходному квадрату. В результате возникает трехмерная поверхность разреза, являющаяся, очевидно, гладкой во всех точках, не принадлежащих одномерному остову комплекса $L$. Впрочем, в точках из $L$ она тоже является гладкой, как мы увидим ниже. При этом в точках, являющихся центрами 2-квадратов, сходятся ровно 4 гладкие 3 —

Рис. 9.42 поверхности разреза. Посмотрим, как ведет себя 3 -поверхность разреза в окрестности середины ребра одномерного остова комплекса $L$.

На каждом ребре одномерного остова комплекса $L$ сходятся ровно по 4 квадрата. Возьмем середину ребра одномерного остова. В эту точку $P$ входят ровно 4 линии разреза от четырех соседних квадратов. Эти линии отмечены пунктирами

на рис. 9.42. Локально, около точки $P$ всегда можно выбрать такую регулярную систему координат $x, y, z, t$, в которой функции $f_{1}$ и $f_{2}$ запишутся либо как
\[
f_{1}=x^{2}-y^{2}, \quad f_{2}=z,
\]

либо, наоборот, как
\[
f_{2}=x^{2}-y^{2}, \quad f_{1}=z .
\]

Легко видеть, что выбирая подходящим образом риманову метрику, можно добиться, чтобы 3-поверхность разреза в окрестности точки Р тоже была гладкой. Например, имела бы простой вид: $t=t_{0}=$ const. Далее, легко видеть, что разрезая $U(L)$ вдоль этих трехмерных поверхностей, мы превратим $U(L)$ в несвязное объедиРис. 9.43 нение какого-то числа 4-мерных элементарных блоков, каждый из которых диффеоморфен прямому произведению «креста на крест» (рис. 9.43). Причем, на этом прямом произведении естественно определена структура 2-слоения, задаваемого функциями $f_{1}, f_{2}$.

Отметим, что на каждом 4-блоке «крест на крест» на самом деле задана структура стандартного 2-слоения, одна и та же для всех блоков и имеющая тип прямого произведения. В самом деле, 2 -многообразия $P_{i}$ являются невырожденными критическими подмногообразиями для функций $f_{i}$ соответственно. По обобщенной лемме Морса-Ботта, применяемой к каждому 4-блоку по отдельности, в окрестности той части 2 -поверхности $P_{i}$, которая попала внутрь данного 4 -блока, существуют регулярные координаты $x_{i}, y_{i}$, относительно которых функция $f_{i}$ запишется так: $f_{i}=x_{i} y_{i}$. Каждую из пар функций-координат $x_{i}, y_{i}$ можно продолжить на весь 4 -блок. В результате, слои 2-слоения будут задаваться простыми уравнениями $x_{1} y_{1}=$ const и $x_{2} y_{2}=$ const. Таким образом, на каждом 4 -блоке возникают координаты $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}$, относительно которых исходное слоение превращается в стандартное 2-слоение. В этом смысле все 4-блоки «устроены совершенно одинаково».

Построим теперь 4 -мерное пространство $\widetilde{U}(\widetilde{L})$, накрывающее 4 -многообразие $U(L)$. Как мы сейчас покажем, в действительности пространство $\widetilde{U}(\widetilde{L})$ послойно диффеоморфно прямому произведению $\widetilde{B} \times \widetilde{B}$. В самом деле, это прямое произведение тоже представляется в виде объединения и склейки элементарных блоков «крест на крест». На $\widetilde{B} \times \widetilde{B}$ также заданы две функции $\widetilde{f}_{1}, \widetilde{f}_{2}$, определяющие структуру лиувиллева слоения. Построим теперь послойное отображение
\[
\widetilde{B} \times \widetilde{B} \rightarrow U(L) .
\]

Берем произвольный элементарный блок из $\underset{\widetilde{B}}{\widetilde{B}} \times \widetilde{B}$ и произвольный элементарный блок из $U(L)$. Отображаем блок из $\widetilde{B} \times \widetilde{B}$ на блок из $U(L)$ при помощи послойного диффеоморфизма, переводящего функции $\widetilde{f}_{1}, \widetilde{f}_{2}$ в функции $f_{1}, f_{2}$ и сохраняющего ориентацию. Теперь, как и в двумерном случае, легко видеть, что это отображение легко продолжить, однозначно с точностью до послойной эквивалентности, на все соседние блоки «крест на крест». Распространяя это

отображение «во все стороны», мы и получаем искомое послойное отображение $\widetilde{B} \times \widetilde{B} \rightarrow U(L)$. Построенное отображение будет универсальным накрытием. При этом оно сохраняет ориентацию и переводит слоение Лиувилля в слоение Лиувилля. Дело в том, что на каждом шаге мы требуем, чтобы функции $\widetilde{f}_{1}, \widetilde{f}_{2}$ переходили в функции $f_{1}, f_{2}$. Таким образом, для всех особенностей типа седлоседло универсальное накрытие одно и то же, что и требовалось доказать.

Теперь механизм возникновения структуры почти прямого произведения начинает становиться понятным. Мы видим, что универсальное накрытие над $U(L)$ является прямым произведением $\widetilde{B}$ на $\widetilde{B}$. Чтобы теперь вернуться к $U(L)$, придется факторизовать это прямое произведение по действию фундаментальной группы. Как мы сейчас увидим, эту факторизацию можно разделить на два этапа. Сначала профакторизовать $\widetilde{B} \times \widetilde{B}$ по некоторой подгруппе так, чтобы получить прямое произведение двух компактных 2 -атомов. И лишь затем «дофакторизовать» по действию некоторой конечной группы. Это и даст утверждение теоремы 9.9.

Рассмотрим универсальное накрывающее 4 -многообразие $\widetilde{B} \times \widetilde{B}$ над $U(L)$. Оно односвязно, и на нем действует скольжениями фундаментальная группа $Y=$ $=\pi_{1}(U(L))$. Легко видеть, что это действие является симплектическим, то есть сохраняет симплектическую структуру, естественно возникающую на $\widetilde{B} \times \widetilde{B}$, сохраняет значения обоих интегралов $\widetilde{f}_{1}, \widetilde{f}_{2}$, а поэтому переводит слои слоения Лиувилля в слои слоения Лиувилля. То есть элементы группы $Y$ скольжений накрытия фактически являются автоморфизмами 2-слоения на 4-многообразии $\widetilde{B} \times \widetilde{B}$. Рассмотрим полную группу автоморфизмов слоения Лиувилля на $\widetilde{B} \times \widetilde{B}$. Профакторизуем ее по подгруппе изотопий слоения, то есть будем рассматривать автоморфизмы слоения с точностью до послойных изотопий. В результате получится дискретная группа. Она изоморфна группе
Aut $\times$ Aut,

где группа Aut является дискретной группой автоморфизмов накрытия $\widetilde{B}$, то есть одного сомножителя в прямом произведении $\widetilde{B} \times \widetilde{B}$. Поскольку накрытие $\widetilde{B} \times \widetilde{B}$ является прямым произведением, то его дискретная группа автоморфизмов также распадается в прямое произведение Aut $\times$ Aut.

Легко видеть далее, что группа Aut изоморфна группе $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$. То есть, — свободному произведению группы $\mathbb{Z}(a)$, порожденной образующей $a$, и группы $\mathbb{Z}_{2}(s)$, порожденной образующей $s$ второго порядка. Предъявим действие образующих $a$ и $s$ в явном виде на накрытии $\widetilde{B}$. Преобразование $s: \widetilde{B} \rightarrow \widetilde{B}$ порождается симметрией двумерного креста, показанной на рис. 9.44. Другими словами, $s$ — это центральная симметрия пространства $\widetilde{B}$ относительно одной из вершин, порожденная центральной симметрией атома $B$. Ясно, что $s$ является инволюцией.
Рис. 9.44
Преобразование $a: \widetilde{B} \rightarrow \widetilde{B}$ определяется как элементарный сдвиг, как элементарное скольжение накрытия $\widetilde{B}$ по себе, задаваемое рисунком 9.45 . То есть нужно рассмотреть одну из образующих фундаментальной группы атома $B$

и взять порожденный ею сдвиг на универсальном накрытии $\widetilde{B}$ атома $B$. На рис. 9.45 показано действие этого преобразования а. Оно получается так. Выберем на «дереве» $\widetilde{B}$ произвольную вершину 0 и объявим ее центром «дерева». Затем рассмотрим «сдвиг» всего «дерева» $\widetilde{B}$ вверх на единицу, после чего повернем все «дерево» как жесткое целое вокруг точки 0 на угол $\frac{\pi}{2}$. Результат и есть преобразование $a$.

Итак, мы описали явным образом действие на $\widetilde{B}$ двух образующих $a$ и $s$ группы Aut. Ясно, что на прямом произведении $\widetilde{B} \times \widetilde{B}$ действует прямое произведение этих групп Aut $\times$ Aut. Причем, эта группа является максимальной дискретной группой автоморфизмов накрытия $\widetilde{B} \times \widetilde{B}$. Следовательно, группа скольжений $Y$ может быть рассмотрена как подгруппа в этой группе.

Рассмотрим пересечение группы $Y$ с двумя сомножителями Aut $\times\{e\}$ и $\{e\} \times$ Aut в группе Aut $\times$ Aut. Положим
\[
Y_{1}=Y \cap(\text { Aut } \times\{e\}), \quad Y_{2}=Y \cap(\{e\} \times \text { Aut }) .
\]

Легко видеть, что каждая из подгрупп $Y_{1}$ и $Y_{2}$ является нормальным делителем в группе $Y$. Кроме того, обе эти подгруппы имеют конечный индекс в Aut $\times\{e\}$ и $\{e\} \times$ Aut соответственно. Этим мы скоро воспользуемся.

Рассмотрим далее $Y_{1} \times Y_{2}$ как подгруппу в группе $Y$. Поскольку $Y_{1} \times Y_{2}$ лежит в группе автоморфизмов накрытия $\widetilde{B} \times \widetilde{B}$, то можно на первом шаге профакторизовать накрытие $\widetilde{B} \times \widetilde{B}$ по этой подгруппе. Мы утверждаем, что в результате получится компактное 4 -многообразие.
Рис. 9.45
В самом деле, вся группа $Y$ действует свободно на накрытии $\widetilde{B} \times \widetilde{B}$, поскольку является фундаментальной группой базы. Подгруппа $Y_{1} \times Y_{2}$, следовательно, также действует свободно на накрытии, поэтому фактор-пространство является многообразием.
Далее, поскольку каждый из сомножителей $Y_{1}$ и $Y_{2}$ имеет конечный индекс в «своей» группе Aut, то подгруппа $Y_{1} \times Y_{2}$ имеет конечный индекс в группе Aut $\times$ Aut, и следовательно в группе $Y$. Отсюда следует, что фактор пространство $(\widetilde{B} \times \widetilde{B}) /\left(Y_{1} \times Y_{2}\right)$ компактно.
Кроме того, оно, очевидно, является прямым произведением 2 -многообразий
\[
\widetilde{B} / Y_{1} \text { и } \widetilde{B} / Y_{2},
\]

то есть произведением двух некоторых компактных 2 -атомов $V_{1}$ и $V_{2}$.

Осталось вспомнить, что каждая группа $Y_{1}$ и $Y_{2}$ является нормальным делителем

в группе $Y$. Следовательно, их произведение $Y_{1} \times Y_{2}$ также является нормальным делителем в $Y$. Поэтому определена фактор-группа $G=Y /\left(Y_{1} \times Y_{2}\right)$. Итак, с одной стороны мы имеем
\[
V_{1} \times V_{2}=(\widetilde{B} \times \widetilde{B}) /\left(Y_{1} \times Y_{2}\right),
\]

а с другой стороны,
\[
U(L)=(\widetilde{B} \times \widetilde{B}) / Y .
\]

Следовательно, $U(L)=\left(V_{1} \times V_{2}\right) / G$, где $G$ является конечной группой, так как $Y_{1} \times Y_{2}$ имеет конечный индекс в $Y$. Теорема 9.9 доказана.

Для всех особенностей седло-седло сложностей 1 и 2 , перечисленных выше в теоремах Л.М.Лермана, Я.Л. Уманского и А.В.Болсинова, можно предъявить также другое представление, следуя теореме Т.З.Нгуена. То есть представить их в виде почти прямого произведения.

В качестве примера рассмотрим структуру невырожденной особенности в случае двух степеней свободы при условии, что особый слой содержит ровно одну критическую точку типа седло-седло. Согласно теореме о топологическом разложении, окрестность этого особого слоя может быть представлена в виде произведения двух седловых атомов с последующей факторизацией. Оказывается, в этом случае имеется ровно четыре возможности, перечисляемые ниже и соответствующие, разумеется, четырем случаям, перечисленным в теореме 9.5.
1) прямое произведение $B \times B$ двух атомов типа $B$;
2) $\left(B \times C_{2}\right) / \mathbb{Z}_{2}$, где группа $\mathbb{Z}_{2}$ действует на каждом из сомножителей как центральная симметрия;
3) $\left(B \times D_{1}\right) / \mathbb{Z}_{2}$, где группа $\mathbb{Z}_{2}$ действует на каждом из сомножителей как центральная симметрия;
4) $\left(C_{2} \times C_{2}\right) / \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}$, где две образующие $\alpha$ и $\beta$ группы $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}$ действуют следующим образом. Рассмотрим рис. 9.46, на котором дано несколько иное представление для атома $C_{2}$. Здесь $\alpha$ действует как симметрия относительно оси $O x$ на первом экземпляре атома $C_{2}$, и как симметрия относительно оси $O z$ на втором. Вторая образующая $\beta$, наоборот, действует как симметрия относительно $O z$ на первом сомножителе и как симметрия относительно оси $O x$ на втором.
Соответствующие круговые молекулы без меток изображены на рис. 9.35. Стандартные обозначения для атомов см. в таблице 1 главы 2.

Интересно, что первые три из четырех описанных особенностей встречаются в задачах классической механики (первая и третья — в интегрируемом случае Ковалевской, а вторая — в случае Горячева-Чаплыгина). Авторам неизвестно, реализуется ли в интегрируемых системах механики и физики четвертая возможность. Во всяком случае ее нет в известных на сегодняшний день интегрируемых случаях динамики твердого тела, интегрируемых геодезических потоках

на двумерных поверхностях и целой серии других систем, для которых топологические инварианты были вычислены. См. подробности в томе 2 настоящей книги.

Рис. 9.46

Для 39 случаев особенностей типа седло-седло сложности два, перечисленных в теореме 9.7, их представление в виде почти прямых произведений было получено В.В.Корнеевым. Этот результат приведен в таблице 9.3.
Комментарии к таблице В. Корнеева 9.3.
Во втором столбце таблицы 9.3 указаны номера, которые присвоены перечисляемым здесь особенностям в таблице 9.1 и 9.2. Номера одних и тех же особенностей в разных таблицах оказались разными по той причине, что в таблицах 9.1 и 9.2 особенности упорядочены по их $l$-типу. В то же время, в таблице 9.3 особенности упорядочены по типам действующих групп.

В третьем столбце таблицы 9.3 указаны атомы, являющиеся сомножителями почти прямого произведения. Эти атомы изображены в последней части таблицы 9.1. Здесь же указаны группы симметрий атомов и их образующие. Более того, сами атомы изображены в таблице 9.1 в «симметричном виде», чтобы можно было наглядно увидеть их группы симметрий. Здесь через $\alpha$ во всех случаях мы обозначаем центральную симметрию, т. е. симметрию относительно «центра атома» в специально подобранном нами симметричном изображении атома. Через $\gamma$ мы обозначаем поворот атома на угол $\frac{\pi}{2}$ вокруг того же «центра атома». Наконец, через $\beta$ мы обозначаем дополнительную симметрию атома, которая для разных атомов имеет разный смысл. Каждый раз мы указываем действие симметрии $\beta$ явным образом. С этой целью мы указываем в таблице 9.1 — как именно симметрия действует на ребрах графа $K$ атома. По этой информации действие симметрии на всем атоме восстанавливается однозначно.

В последнем столбце таблицы 9.3 указана группа, действующая на прямом произведении двумерных атомов. Все эти группы абелевы, за исключением последнего случая, когда на прямом произведении действует группа диэдра $D_{4}$. Эта группа некоммутативна.

Во всех случаях действующая группа имеет не более двух образующих. Покомпонентное действие этих образующих на прямом произведении двух атомов указано в четвертом столбце таблицы 9.3. Например, в случае № 32 на прямом произведении $C_{2} \times P_{4}$ первая образующая $e_{1}$ группы $G=\mathbb{Z}_{2}+\mathbb{Z}_{2}$ действует по следующему правилу:
\[
e_{1}\left(C_{2} \times P_{4}\right)=\left(\alpha\left(C_{2}\right) \times \gamma^{2}\left(P_{4}\right)\right) .
\]

Это означает, что на первой компоненте, т. е. на $C_{2}$, образующая $e_{1}$ действует как симметрия $\alpha$, а на второй компоненте, т.е. на $P_{4}$, — как симметрия $\gamma^{2}$. Обозначения для этих симметрий указаны в той же таблице 9.1 (в ее последней части). В рассматриваемом случае $\alpha$ — это центральная симметрия атома $C_{2}$,

а $\gamma$ поворот атома $P_{4}$ на угол $\frac{\pi}{2}$ (в частности $\gamma^{2}$ — это тоже центральная симметрия).

Аналогичным образом, вторая образующая $e_{2}$ группы $G=\mathbb{Z}_{2}+\mathbb{Z}_{2}$ действует по правилу:
\[
e_{2}\left(C_{2} \times P_{4}\right)=\left(\beta\left(C_{2}\right) \times \beta\left(P_{4}\right)\right) \text {. }
\]