Пусть на поверхности $X^{2}$, ориентируемой или неориентируемой, задана функция Морса $f$. Ее линии уровня расслаивают поверхность, т.е. возникает слоение с особенностями. Мы хотим построить инвариант этого слоения. Для этого рассмотрим все критические значения $c_{i}$ функции $f$ и соответствующие им критические уровни $f=c_{i}$. Каждому такому уровню отвечает некоторый атом. При этом граничные окружности атомов соединены цилиндрами (трубками), являющимися однопараметрическими семействами неособых связных линий уровня функции, т.е. окружностей. Изобразим рассматриваемое нами слоение в виде графа, в качестве вершин которого возьмем атомы, обозначенные теми или иными буквами. Это означает, что каждой вершине графа сопоставлен некоторый атом, причем указано взаимно-однозначное соответствие между граничными окружностями атома и ребрами графа, примыкающими к данной вершине-атому. Далее, концы атомов соединим ребрами, отвечающими указанным однопараметрическим семействам регулярных Рис. 2.65 окружностей, т.е. трубкам. Пример показан на рис. 2.65.
Если поверхность $X^{2}$ является ориентируемой, то вершины графа, т.е. атомы, рассматриваемые как поверхности $P$ с графом $K$, тоже естественно считать

ориентированными. Другими словами, в молекуле следует различать друг от друга зеркально симметричные атомы, т.е. отличающиеся друг от друга лишь ориентацией. Если же поверхность $X^{2}$ неориентируема, то мы рассматриваем атомы без учета их ориентации.
Определение 2.21. Описанный граф назовем молекулой $W$, отвечающей паpe $\left(X^{2}, f\right)$.

Для удобства, на месте каждой вершины молекулы мы будем ставить стандартное буквенное обозначение данного атома.
Какие молекулы мы будем считать одинаковыми, совпадающими?

Определение 2.22. Две молекулы $W$ и $W^{\prime}$ будем считать одинаковыми, если существует гомеоморфизм одного графа на другой, который переводит ребра в ребра, атомы в атомы, причем этот гомеоморфизм продолжается на сами атомы. Это означает, что гомеоморфизму ребер отвечает гомеоморфизм отвечающих им граничных окружностей атомов и этот гомеоморфизм должен продолжаться с границы атома внутрь, т.е. на весь атом.

КоммЕНТАРИй. Для каждого атома полезно рассмотреть его стандартную модель в виде поверхности $P$ с графом $K$. Задавая молекулу, мы задаем тем самым некоторый гомеоморфизм между этой стандартной моделью и атоРис. 2.66 мом, посаженным в вершину молекулы. То же самое происходит, когда тот же атом появляется в составе какой-то другой молекулы $W^{\prime}$. Если же теперь задан гомеоморфизм между двумя молекулами $W$ и $W^{\prime}$, то он индуцирует перестановку граничных оюружностей стандартной модели атома. Для того, чтобы считать молекулы одинаковыми, надо требовать, чтобы эта перестановка порождалась некоторым гомеоморфизмом стандартного атома на себя. Поясним, что не любая перестановка граничных окружностей поверхности продолжается до гомеоморфизма всей поверхности на себя. Это и означает, что концы атомов, вообще говоря, неравноправны. Например, у атома $D_{1}$ концы 1 и 3 равноправны, а концы 1 и 2 (а также 2 и 3) — нет (рис. 2.66). На рис. 2.66 приведены три молекулы $W_{1}, W_{2}, W_{3}$, из которых молекулы $W_{1}$ и $W_{2}$ одинаковы, а молекулы $W_{2}$ и $W_{3}$ различны. Дело в том, что гомеоморфизм, отождествляющий графы молекул $W_{1}$ и $W_{2}$, индуцирует следующую перестановку граничных окружностей стандартной модели атома $D_{1}$ (расположенной в стороне): $(1,2,3,4) \rightarrow(3,2,1,4)$. Эта перестановка очевидно индуцируется гомеоморфизмом атома на себя, являющимся отражением его относительно центра симметрии (рис. 2.66).

Гомеоморфизм, отождествляющий графы молекул $W_{2}$ и $W_{3}$, индуцирует следующую перестановку граничных окружностей стандартной модели атома $D_{1}$ (расположенной в стороне): $(1,2,3,4) \rightarrow(1,3,2,4)$. Эта перестановка уже не может быть получена путем гомеоморфизмом атома $D_{1}$ на себя, что очевидно.

Эту проблему нельзя обойти, обозначив одинаковым номером те граничные окружности атома, которые могут быть переведены друг в друга путем подбора подходящего гомеоморфизма атома на себя. В этом можно убедиться на примере атома $V$ (рис. 2.67). Две нарисованные молекулы $W_{1}$ и $W_{2}$ – различны, несмотря на то, что все четыре конца $1,2,3,4$ атома $V$ равноправны в том смысле, что каждый из них может быть переведен в любой другой подходящим гомеоморфизмом атома $V$. Дело в том, что для совмещения молекул потребовалось бы переставить концы 1 и 2 атома $V$. Но в таком случае мы должны были бы автоматически переставить между собой его концы 3 и 4 . Но к концам 3 и 4 примыкают различные части молекул. Их нельзя совместить гомеоморфизмом.

С формальной точки зрения мы должны были бы занумеровать концы атомов в нашем списке (см. выше) различными цифрами, а при построении молекул следовало бы у ребер, примыкающих к атому, ставить тот же номер, что и на соответствующем конце атома. Мы не будем этого делать, поскольку в приложениях будут встречаться, в основном, не очень сложные атомы: $A, B, \widetilde{B}, C_{1}, C_{2}, D_{1}$. Для них соответствие между концами атома, исходящими из его буквенного обозначения с реальными его граничными окружностями усматривается без труда. Например, атом $D_{1}$, показанный на рис. 2.68, мы будем изображать в виде буквы $D_{1}$ с одним нижним концом и тремя верхними концами. Здесь ясно, что нижний конец отвечает внешней окружности атома, а три верхних – остальным трем граничным окружностям атома. Средний верхний конец атома отвечает центральной граничной окружности поверхности.
Теорема 2.16. Пусть $\left(X^{2}, f\right)$ и $\left(X^{\prime 2}, f^{\prime}\right)$ – две ориентированные поверхноти с функциями Морса, и W, $W^{\prime}$ – соответствующие им молекулы. Тогда пары $\left(X^{2}, f\right) u\left(X^{\prime 2}, f^{\prime}\right)$ послойно эквивалентны с сохранением ориентации, в том и только в том случае, когда молекулы $W$ и $W^{\prime}$ одинаковы.
Дожазательство.
В одну сторону утверждение очевидно: если пары $\left(X^{2}, f\right)$ и $\left(X^{\prime 2}, f^{\prime}\right)$ послойно эквивалентны, то их молекулы, конечно, совпадают. Обратно, пусть молекулы $W$ и $W^{\prime}$ одинаковы. Возьмем гомеоморфизм, отображающий $W$ на $W^{\prime}$. Он устанавливает взаимно-однозначное соответствие между однопараметрическими семействами регулярных линий уровня функций $f$ и $f^{\prime}$, а также между их критическими слоями. Окрестность каждого критического уровня – это атом. Из совпадения молекул следует, что соответствующие атомы одинаковы. В силу определения атома это означает, что функции $f$ и $f^{\prime}$ послойно эквивалентны в окрестности своих критических уровней. Эту эквивалентность нужно продолжить на оставшиеся трубки, расслоенные на регулярные окружности (линии уровня функций $f$ и $f^{\prime}$ ). Это тоже можно сделать, по определению молекулы, поскольку на концах трубок гомеоморфизм уже задан. Теорема доказана.

Что произойдет с молекулой, если мы заменим ориентацию поверхности $X^{2}$ на противоположную, не меняя при этом функции $f$ ?
Предложение 2.8. При замене ориентации $X^{2}$ все атомы соответствующей молекулы заменятся на зеркально симметричные.

Не следует думать, что молекула не меняется при замене ориентации $X$, если все ее атомы зеркальные. Дело в том, что концы атомов неравноправны, помечены разными цифрами. Поэтому при изменении ориентации поверхности на каждом атоме происходит, вообще говоря, некоторая перенумерация его концов, индуцируемая зеркальной симметрией атома на себя.

Назовем атом сильно зеркальным, если его зеркальная симметрия оставляет на месте его концы. То есть, каждая граничная окружность переходит в себя при зеркальной симметрии. Таковыми являются, например, все атомы сложности 1 и 2 , что видно из таблицы 2.1 .
Следствие. Пусть паре $\left(X^{2}, f\right)$ отвечает молекула $W$, вершинами которой являются лишь сильно зеркальные атомы, например, любые атомы сложности не превосходящей 2. Тогда всегда существует диффеоморфизм поверхности $X^{2}$ на себя, меняющий ориентацию и сохраняющий функцию $f$.

Доказательство очевидно, так как при указанных условиях молекула $W$ не меняется при изменении ориентации поверхности $X^{2}$.

Отсюда видно, что молекула $W$ – это достаточно хороший инвариант, позволяющий давать ответы на многие вопросы.

Приведем теперь список всех простейших молекул, т.е. составленных из атомов малой сложности.
Теорема 2.17. Все классы послойной эквивалентности функций Морса с числом критических точек не больше 6 , на сфере и на торе описываются молекулами, изображенными на рис. 2.69. Все перечисленные молекулы – различны. На сфере таких классов – 8, на торе – 14 .

Доказательство получается перебором всевозможных вариантов, с учетом эйлеровой характеристики поверхности.

Замечание. В теореме 2.17 ориентация несущественна, в том смысле что классов послойной эквивалентности с учетом ориентации и без учета ориентации – одинаковое количество. Другими словами, каждая из перечисленных молекул не меняется при замене ориентации поверхности. Это следует из свойств атомов, образующих эти молекулы.

Рассмотрим ориентированную поверхность $X^{2}$ как симплектическое 2-многообразие. Тогда любую функцию Морса на нем можно считать гамильтонианом интегрируемой системы с одной степенью свободы. Напомним, что любая гамильтонова система с одной степенью свободы интегрируема. Интегральные траектории задается линиями уровня функции. Поэтому послойная эквивалентность пар $\left(X^{2}, f\right)$ и $\left(X^{\prime 2}, f^{\prime}\right)$ фактически может рассматриваться как траекторная эквивалентность соответствующих гамильтоновых систем $\operatorname{sgrad} f$ и $\operatorname{sgrad} f^{\prime}$. Небольшое отличие состоит в том, что на каждой интегральной траектории гамильтонова поля задана естественная ориентация – направление потока. При траекторной эквивалентности потоков мы договорились (см. выше) учитывать это направление. Чтобы добиться этого, нужно добавить к молекуле эту дополнительную информацию, указав, например, на каждом ее ребре направление роста

функции $f$. Такую молекулу естественно назвать направленной. Зная направление роста функции и ориентацию на каждом атоме, мы однозначно находим направление потока на каждой из граничных окружностей атома.
Следствие. Два гамильтоновых векторных поля sgrad $f u \operatorname{sgrad} f^{\prime}$ на ориентированных поверхностях $X^{2}$ и ${X^{\prime 2}}^{2}$ траекторно эквивалентны (гладко или топологически) тогда и только тогда, когда соответствующие направленные молекулы $W$ и $W^{\prime}$ одинаковы.

Таким образом, направленная молекула является полным траекторным инвариантом гамильтоновой системы с одной степенью свободы.