В теореме редукции траекторной классификации трехмерных систем к точной классификации двумерных систем мы выделяли два естественных случая. Первый – когда 3 -атом не имеет критических окружностей с неориентируемой сепаратрисной диаграммой. Соответствующий 2 -атом в этом случае не имеет вершин-звездочек. Второй – когда такие критические окружности есть. В этом случае соответствующий 2 -атом имеет вершины-звездочки. Теорема 6.1 дает полное описание «атомных» инвариантов гамильтоновых потоков на 3-атомах для первого случая. Теперь мы перейдем к описанию инвариантов на 3-атомах $U(L)$, где есть критические окружности с неориентируемыми сепаратрисными диаграммами. В этом случае, как мы показали в предыдущей главе, теорема редукции также имеет место, но теперь мы должны рассматривать потоки на 2-атомах $P_{t r}$ с инволюцией $\chi$. Напомним, что $P_{t r}$ – это трансверсальное сечение в 3 -атоме $U(L)$. Его фактор по инволюции $\chi$ дает 2 -атом $P$ с вершинамизвездочками. В этом смысле $P_{t r}$ – дубль атома $P$.

Согласно теореме редукции, мы должны научиться решать следующую задачу. Пусть на поверхности $P_{t r}$ задана инволюция $\chi$ и гамильтонов поток $\sigma^{t}$, отвечающий гамильтонову полю $w=\operatorname{sgrad} F$, инвариантный относительно $\chi$. Нужно классифицировать потоки $\sigma^{t}$ с точностью до топологических сопряжений, согласованных с инволюцией $\chi$. Другими словами, мы считаем две тройки $\left(P_{t r}, \sigma^{t}, \chi\right)$ и $\left({ }^{\prime}{ }_{t r}, \sigma^{\prime}, \chi^{\prime}\right)$ эквивалентными, если существует гомеоморфизм $\xi: P \rightarrow P^{\prime}$ такой, что $\chi^{\prime}=\xi^{-1} \chi \xi, \sigma^{\prime t}=\xi^{-1} \sigma^{t} \xi$. Для классификации нужны подходящие инварианты. Естественно изготовить их из уже описанных выше инвариантов $(\Lambda, \Delta, Z)$, учтя теперь наличие инволюции $\chi$.

Обозначим через $\left(\Lambda_{t r}, \Delta_{t r}, Z_{t r}\right.$ ) инварианты потока $\sigma^{t}$ на дубле $P_{t r}$. Поскольку поток $\sigma^{t}$ инвариантен относительно инволюции $\chi$, то и эти инварианты выдерживают действие этой же инволюции. Поэтому можно считать, чисто формально, что они принимают значения на фактор-пространстве $P=P_{t r} / \chi$. Поверхность $P$ – это 2 -атом со звездочками. Обозначим эти значения через $(\Lambda, \Delta, Z)$.

Другими словами, мы считаем, что инвариант $\Lambda$ – это набор чисел на вершинах графа $K$ атома $P$. Инвариант $\Delta$ – это элемент группы нульмерных границ $B_{0}(\widetilde{P})$. Инвариант $Z$ – это элемент группы гомологий $H_{1}(\widetilde{P})$, где $\widetilde{P}-$

замкнутая поверхность, полученная из атома $P$ заклейкой дисками всех его граничных окружностей.

Таким образом, траекторные инварианты гамильтоновой системы на 3-атоме $U(L)$, имеющем критические окружности с неориентируемыми сепаратрисными диаграммами, принимают значения на соответствующем 2 -атоме $P$ со звездочками, а не на его дубле $P_{t r}$. И это очень хорошо, так как атом $P$ определен однозначно, а его дубль $P_{t r}$ – неоднозначно. Опишем теперь эту конструкцию подробнее.

Возьмем произвольное трансверсальное сечение $P_{t r}$ для данного 3 -атома $U(L)$. На ней действует инволюция $\chi$, определенная в предыдущей главе. Рассмотрим проекцию
\[
\left(P_{t r}, K_{t r}\right) \rightarrow(P, K)=\left(P_{t r}, K_{t r}\right) / \chi .
\]

На вершинах графа $K_{t r}$ уже расставлены числа $\Lambda_{i}$. Эти числа образуют инвариант $\Lambda_{t r}=\left\{\Lambda_{1}: \Lambda_{2}: \ldots: \Lambda_{m}\right\}$ потока Пуанкаре на трансверсальном сечении $P_{t r}$. Возьмем произвольную вершину графа $K$ и сопоставим ей число $\Lambda_{i}$, стоящее на прообразе этой вершины в графе $K_{t r}$. Вершина из графа $K$ имеет либо один прообраз (тогда это – звездочка), либо два прообраза. В случае двух прообразов, на них стоит одно и то же число $\Lambda_{i}$ в силу инвариантности потока $\sigma^{t}$ относительно инволюции $\chi$. Таким образом, мы корректно определяем во всех вершинах графа $K$ некоторый набор чисел $\left\{\Lambda_{i}\right\}$. Обозначим его через $\Lambda$.

Теперь определим инварианты $\Delta$ и $Z$. Для этого рассмотрим все кольца дубля $P_{t r}$. Они разбиваются на два класса. Первый класс – кольца, переходящие в себя под действием инволюции $\chi$. Второй класс состоит из пар колец, переходящих друг в друга под действием инволюции $\chi$. На кольцах первого типа выберем отрезки раздела произвольным образом. Отметим сразу, что полученный набор отрезков раздела на каждом таком кольце будет автоматически инвариантен относительно инволюции $\chi$.

На кольцах второго типа поступим так. Берем пару колец, переходящих друг в друга при действии $\chi$. На одном из колец выберем отрезки раздела произвольным образом. На другом кольце в качестве отрезков раздела возьмем их образы под действием $\chi$.

Теперь точно таким же образом, как и выше, построим одномерную цепь $l_{t r}$. Легко видеть, что эта 1-цепь инвариантна относительно $\chi$. Дело в том, что набор отрезков раздела был построен так, что он инвариантен относительно $\chi$. Рассмотрим теперь произвольное ребро графа $K$. У него есть ровно два ребрапрообраза в графе $K_{t r}$. Коэффициенты цепи $l_{t r}$, отвечающие этой паре ребер, одинаковы. Это общее их значение мы и припишем ребру графа $K$. В результате получим некоторую 1 -цепь, которую мы обозначим через $l$. Другими словами, мы фактически отождествляем множество $\chi$-инвариантных 1 -цепей графа $K_{t r}$ с множеством 1-цепей графа $K$.

Теперь, точно так же, как и выше, из 1 -цепи $l$ мы изготовляем инварианты $\Delta$ и $Z$ для гамильтонова потока $\sigma^{t}$, инвариантного относительно инволюции $\chi$.

Итак, каждому $\chi$-инвариантному потоку $\sigma^{t}$ на дубле, т.е. на трансверсальном сечении $P_{t r}$, мы сопоставили тройку инвариантов $(\Lambda, \Delta, Z)$, принимающих

значения на атоме $P=P_{t r} / \chi$. Отметим, что на самом атоме $P$ никакого гамильтонова потока уже нет. Симплектическая структура «не спускается» с $P_{t r}$ на $P$, поскольку проекция $P_{t r} \rightarrow P$ не является локальным диффеоморфизмом около вершин-звездочек. Однако с формальной точки зрения искомые инварианты $(\Lambda, \Delta, Z)$ в конце концов появляются все-таки на атоме $P$, а не на его дубле $P_{t r}$.

Эта тройка $(\Lambda, \Delta, Z)$ и дает полный набор инвариантов для гамильтоновой системы на 2-атоме с инволюцией (или, что то же самое, полный набор траекторных инвариантов на 3 -атоме, имеющем критические окружности с неориентируемыми сепаратрисными диаграммами). Подчеркнем, что говоря о 2-атомах с инволюцией, мы имеем в виду инволюцию весьма специального вида: она является симплектической, сохраняет гамильтонов поток, и ее неподвижными точками являются некоторые из вершин графа $K_{t r}$. Кроме того, напомним, что здесь мы рассматриваем только системы с морсовскими гамильтонианами.
Теорема 6.2. Пусть даны два гладких гамильтоновых потока на атомах с инволюциями $\left(\sigma^{t}, P_{t r}, \chi\right)$ и $\left(\sigma^{\prime t}, P_{t r}^{\prime}, \chi^{\prime}\right)$. Эти потоки топологически сопряжены при помощи гомеоморфизма, согласованного с инволюциями $\chi$ и $\chi^{\prime}$, тогда и только тогда, когда соответствующие им инварианты $(\Lambda, \Delta, Z) u\left(\Lambda^{\prime}, \Delta^{\prime}, Z^{\prime}\right)$ совпадаюom.

Теорема 6.2 доказывается по аналогии с теоремой 6.1. Действительно, по инвариантам $\left(\Lambda, \Delta, Z\right.$ ) и ( $\Lambda^{\prime}, \Delta^{\prime}, Z^{\prime}$ ) мы можем однозначно восстановить обычные инварианты $\left(\Lambda_{t r}, \Delta_{t r}, Z_{t r}\right.$ ) и ( $\Lambda_{t r}^{\prime}, \Delta_{t r}^{\prime}, Z_{t r}^{\prime}$ ) этих систем. В силу теоремы 6.1 из их совпадения следует топологическая сопряженность потоков $\sigma^{t}$ и $\sigma^{\prime t}$ пока без учета инволюции. Однако этот недостаток легко исправить, учитывая симметрию инвариантов относительно инволюций.