Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Теорема 2.2. Любой простой атом совпадает либо с атомом $A$, либо с атомом $B$, либо с атомом $\widetilde{B}$. Этим трем атомам отвечают пять $f$-атомов: два для атома $A$, два — для атома $B$ и один — для атома $\widetilde{B}$.
Доказательство.
Из леммы Морса вытекает, что любая перестройка поверхности $\{f \leqslant c-\varepsilon\}$, где $f$ — простая функция Морса, при переходе через критической уровень $c$ сводится либо к приклейке 2 -диска к границе множества $\{f \leqslant c-\varepsilon\}$, либо к приклейке прямоугольника. Приклейка 2-диска дает атом $A$. Приклейка прямоугольника дает либо атом $B$, либо атом $\widetilde{B}$.
Отметим, что каждый из атомов $A$ и $B$ появляется в теории простых функций Морса двумя способами. Атом $A$ может отвечать либо минимуму, либо максимуму функции. Атом $B$ может описывать либо распад одной окружности, т. е. линии уровня функции, на две окружности, либо, наоборот, слияние двух окружностей в одну. Ясно, что эти перестройки переходят друг в друга при замене функции $f$ на функцию $-f$.
Можно дать и другое доказательство теоремы 2.2 , полезное для понимания топологии атомов.
Рис. 2.10
Рис. 2.11
Доказательство.
Рассмотрим малую окрестность критической седловой точки функции Морса, гомеоморфную диску, выделим в этой окрестности область $\{c-\varepsilon \leqslant f \leqslant c+\varepsilon\}$. Отметим в ней области положительности и отрицательности функции Морса. Получим объект, который иногда в дальнейшем будем называть крестом (рис. 2.10). Концами креста будем называть четыре ориентированных отрезка $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ (рис. 2.10). Ориентация каждого из них указывает направление роста функции, т. е. ее градиента.
Вся поверхность $P^{2}=\{c-\varepsilon \leqslant f \leqslant c+\varepsilon\}$ получается из этого креста простой процедурой. Нужно попарно склеить концы креста с учетом их ориентации. Ясно, что число различных способов склейки равно трем. Соответствующие склейки показаны на рис. 2.11. В результате мы получаем два различных ориентируемых $f$-атома, отвечающих атому $B$, и один неориентируемый $f$-атом, отвечающий атому $\widetilde{B}$. Таким образом, в случае седлового атома никаких других возможностей нет. Теорема доказана.
