Рассмотрим два плоских маятника с длинами $l_{1}$ и $l_{2}$ в поле силы тяжести с ускорением $g$. Их движение описывается гамильтоновой системой на кокасательном расслоении к двумерному тору. Гамильтониан имеет вид
\[
H=\frac{p_{1}^{2}+p_{2}^{2}}{2}-\omega_{1}^{2} \cos q_{1}-\omega_{2}^{2} \cos q_{2},
\]
где $q_{1}$ и $q_{2}$ – углы отклонения маятников от вертикали (рис. 1.6), а $\omega_{i}^{2}=\frac{g}{l_{i}}$, где $g-$ ускорение силы тяжести, а $l_{i}$ – длины маятников. Здесь маятники колеблются независимо друг от друга.
Эта система вполне интегрируема. Интегралами движения являются две функции
Рис. 1.6
\[
f_{1}=\frac{p_{1}^{2}}{2}-\omega_{1}^{2} \cos q_{1} \quad \text { и } \quad f_{2}=\frac{p_{2}^{2}}{2}-\omega_{2}^{2} \cos q_{2} .
\]
Впрочем, в качестве интегралов можно было бы взять гамильтониан $H$ и, например, $f_{1}$ (или $f_{2}$ ). Очевидно, что интегралы $f_{1}$ и $f_{2}$ независимы и находятся в инволюции (так как переменные здесь разделяются).
Построим бифуркационную диаграмму отображения момента. Имеем:
\[
\begin{array}{l}
d f_{1}=\left(p_{1}, \omega_{1}^{2} \sin q_{1}, 0,0\right), \\
d f_{2}=\left(0,0, p_{2}, \omega_{2}^{2} \sin q_{2}\right) .
\end{array}
\]
Множество $K$ критических точек состоит из 4 -х кусков:
\[
\begin{array}{l}
K_{1}=\left\{p_{1}=0, q_{1}=0\right\}, \\
K_{2}=\left\{p_{1}=0, q_{1}=\pi\right\}, \\
K_{3}=\left\{p_{2}=0, q_{2}=0\right\}, \\
K_{4}=\left\{p_{2}=0, q_{2}=\pi\right\} .
\end{array}
\]
Их образ при отображении момента $\mathcal{F}$, т. е. множество $\Sigma$, состоит из четырех лучей
\[
\begin{array}{l}
\mathcal{F}\left(K_{1}\right)=\left\{f_{1}=-\omega_{1}^{2}, f_{2} \geqslant-\omega_{2}^{2}\right\}, \\
\mathcal{F}\left(K_{2}\right)=\left\{f_{1}=\omega_{1}^{2}, f_{2} \geqslant-\omega_{2}^{2}\right\}, \\
\mathcal{F}\left(K_{3}\right)=\left\{f_{1} \geqslant-\omega_{1}^{2}, f_{2}=-\omega_{2}^{2}\right\}, \\
\mathcal{F}\left(K_{4}\right)=\left\{f_{1} \geqslant-\omega_{1}^{2}, f_{2}=\omega_{2}^{2}\right\} .
\end{array}
\]
См. рис. 1.7. Бифуркационная диаграмма разбивает образ отображения момента на 4 камеры (рис. 1.7). Можно убедиться, что над точками камеры, отмеченной на рис. 1.7 цифрой I, висит ровно один
Рис. 1.7 тор Лиувилля, над точками камер II и III – по два тора Лиувилля и, наконец, над точками камеры IV – четыре тора Лиувилля.
Здесь $\Sigma$ оказалась достаточно простой: четыре луча. В других физических системах, которые нам встретятся, диаграмма $\Sigma$ обычно будет устроена сложнее.
Отметим любопытный экспериментальный факт (формально не связанный с темой настоящей главы). Как обнаружил X. Гюйгенс, если на стене, рядом друг с другом повесить двое одинаковых маятниковых часов (т.е. с равными $l_{1}$ и $l_{2}$ ), то через некоторое время их маятники будут качаться либо в одинаковой фазе, либо в противофазе (рис. 1.8). Дело в том, что колебания маятников влияют друг на друга через стену.
Это означает, что с течением времени происходит перераспределение энергии между маятниками так, что в результате энергии уравниваются. В терминах торов Лиувилля это означает, что система оказывается на 2-торе, задаваемом уравнением
Рис. 1.8 $f_{1}=f_{2}=$ const. Это – резонансный тор с числом вращения равным 1 . На этом торе Лиувилля система выберет ровно одну замкнутую траекторию из бесконечного числа других, а именно, траекторию $\gamma$, показанную на рис. 1.9 , в случае колебаний с равной фазой и траекторию $\tau$ – в случае противофазы.
Приведем еще один пример.
Допустим, что система $v$ имеет такие независимые коммутирующие интегралы $f_{1}, \ldots, f_{n}$, что интегральные траектории отвечающих им векторных полей $\operatorname{sgrad} f_{1}, \ldots, \operatorname{sgrad} f_{n}$ замкнуты с одним и тем же периодом $2 \pi$. Это означает, что пуассоново действие абелевой группы $\mathbb{R}^{n}$ фактически сводится к действию тора
$T^{n}$ на $M^{2 n}$. В этом случае образ отображения момента – выпуклый многогранник в $\mathbb{R}^{n}$, а бифуркационная диаграмма – его граница (см. [235], [236]).
Рис. 1.9
