Пусть $L$ – особый слой лиувиллева слоения, содержащий одну или несколько особых точек типа фокус-фокус. Обозначим эти точки через $x_{1}, \ldots, x_{n}$. Напомним, что согласно теореме 1.5 главы 1 в окрестности точки $x_{i}$ существует каноническая система координат $p_{1}, q_{1}, p_{2}, q_{2}$ такая, что гамильтониан $H$ и дополнительный интеграл $f$ могут быть представлены в виде
\[
\begin{aligned}
H & =H\left(f_{1}, f_{2}\right), \\
f & =f\left(f_{1}, f_{2}\right),
\end{aligned}
\]

где $f_{1}=p_{1} q_{1}+p_{2} q_{2}, f_{2}=p_{2} q_{1}-p_{1} q_{2}$. Отметим, что замена
\[
(H, f) \rightarrow\left(f_{1}, f_{2}\right)
\]

является регулярной, и поэтому функции $f_{1}, f_{2}$ локально можно представить как гладкие функции от $H$ и $f$. В частности, слоение, задаваемое интересующей нас парой функций $H$ и $f$, совпадает со слоением, задаваемым более простыми функциями $f_{1}$ и $f_{2}$.

Для понимания локальной структуры слоения в окрестности особой точки удобно перейти к комплексным переменным
\[
\begin{array}{c}
z=q_{1}+i q_{2}, \\
w=p_{1}-i p_{2} .
\end{array}
\]

Тогда функции $f_{1}$ и $f_{2}$ могут быть представлены соответственно как вещественная и мнимая части комплексной функции $F=z w$. Отсюда, в частности, следует, что особый слой $L$ локально устроен как пара трансверсально пересекающихся лагранжевых дисков, задаваемых уравнениями $z=0$ и $w=0$.
Замечание. Отметим, что вещественная особенность типа фокус-фокус совпадает с простейшей невырожденной комплексной особенностью типа двойной точки.

Отметим, что функция $f_{2}$ задает в окрестности особой точки типа фокусфокус гамильтоново $S^{\mathbf{1}}$-действие. Это сразу следует из того, что все интегральные траектории векторного поля sgrad $f_{2}$ замкнуты с периодом $2 \pi$. Причем это действие является свободным всюду за исключением единственной неподвижной точки, совпадающей с особой точкой типа фокус-фокус. Это легко следует из явного вида векторного поля $\operatorname{sgrad} f_{2}$, которое в комплексных координатах $w$ и $z$ записывается так:
\[
\dot{w}=i w, \quad \dot{z}=-i z .
\]

Поэтому действие окружности $S^{1}$ задается простой формулой:
\[
(z, w) \rightarrow\left(e^{-i \varphi} z, e^{i \varphi} w\right) .
\]

Рассмотрим окрестность одной точки типа фокус-фокус и ее шаровую окрестность. Границей окрестности является 3-сфера, на которой указанное действие окружности задает расслоение, топологически эквивалентное известному расслоению Хопфа.

Изучим теперь структуру особого слоя $L$ в целом. На нем лежит $n$ особых точек типа фокус-фокус. В окрестности каждой из них особый слой представляет собой трансверсальное пересечение двух дисков. Условно можно изобразить их в виде окрестности вершины конуса (рис. 9.49). твенной склейки в цепочку (рис. 9.50). Получается последовательность 2-сфер, на каждой из которых отмечена пара точек, и соседние сферы склеены по этим точкам. Подчеркнем, что в каждой точке $x_{i}$ две соседние сферы пересекаются трансверсально внутри 4 -мерного многообразия. Этот же особый слой $L$ можно представить и по-другому. Вспомним, что особый слой $L$ «происходит» из двумерного тора, когда тот стремится к особому слою. Этот процесс можно представлять себе так: на торе выделяются $n$ параллельных нетривиальных циклов, каждый из которых стягиваются в точку. Это – исчезающие циклы. В результате получается «тор с $n$ перетяжками» (рис. 9.50). Получившуюся картину мы оформим в виде леммы.

Лемма 9.7. Особый слой $L$ гомеоморфен двумерному тору с $n$ «перетяжками», где $n$ – число точек типа фокус-фокус, лежащих на слое $L$.

Доказательство.
Особый слой $L$ состоит из орбит действия абелевой группы $\mathbb{R}^{2}$. Следовательно, каждая орбита может быть либо точкой (нульмерной орбитой), либо прямой или окружностью (одномерной орбитой), либо диском, тором или кольцом (двумерной орбитой). Ясно, что нульмерные орбиты – это в точности особые точки типа фокус-фокус, то есть точки $x_{1}, \ldots, x_{n}$. Далее мы утверждаем, что одномерных орбит нет вообще. Напомним, что по предположению, все орбиты действия $\mathbb{R}^{2}$ невырождены. В самом деле, если допустить существование невырожденных одномерных орбит, то они организуются в одномерные семейства (предложение 1.18 главы 1 ).
При отображении момента каждое такое семейство проектируется в гладкую одномерную дугу на бифуркационной диаграмме. Однако в нашем случае бифуркационная диаграмма является изолированной точкой. Следовательно, никаких одномерных орбит нет. Перейдем к двумерным орбитам. Мы утверждаем, что торов и дисков здесь нет. В самом деле, поскольку одномерных орбит нет, то каждая двумерная орбита из особого слоя должна примыкать по крайней мере к одной особой точке. В окрестности этой точки определено свободное действие окружности (см. выше). Это действие естественным образом продолжается на все орбиты, проходящие через окрестность особой точки. Таким образом, на всех двумерных орбитах особого слоя $L$ имеется свободное действие окружности. Ясно, что это возможно только при условии, что все эти орбиты гомеоморфны кольцу. Итак, особый слой $L$ склеен из нульмерных орбит и колец. Причем кольца примыкают к нульмерным орбитам в точности так, как описано выше. Другими словами, граница каждого кольца стягивается в две осо-

бые точки. В результате $n$ особых точек последовательно соединены кольцами. Лемма доказана.

Лемма 9.8. На $U(L)$ определено гладкое гамильтоново действие окружности $S^{1}$, являющееся свободным всюду за исключением особых точек $x_{1}, \ldots, x_{n}$ и оставляющее каждый слой слоения Лиувилля инвариантным. Таюое действие определено однозначно с точностью до замены ориентации на действующей окружности $S^{\mathbf{1}}$. Доказательство.

Мы уже видели, что действие окружности с нужными нам свойствами определено по отдельности в окрестности каждой особой точки $x_{i}$. Возьмем одну из них. В ее окрестности, в подходящей системе координат $p_{1}, q_{1}, p_{2}, q_{2}$, 一 являющейся на самом деле канонической, — гамильтониан этого действия есть функция $f_{2}=p_{1} q_{2}-p_{2} q_{1}$. На самом деле эта функция является вполне определенной функцией от $f$ и $H$, т.е. $f_{2}=f_{2}(f, H)$. Поскольку $f$ и $H$ заданы глобально на всем $U(L)$, и функцию $f_{2}$ можно считать заданной на всем $U(L)$. С другой стороны, интегральные траектории поля sgrad $f_{2}$ замкнуты с периодом $2 \pi$ в окрестности точки $x_{i}$. В частности, они замкнуты и на каждом торе Лиувилля, проходящем через окрестность точки $x_{i}$. Но в таком случае интегральные траектории поля sgrad $f_{2}$ будут замкнуты на всем торе Лиувилля, т.е. «вдали» от точки $x_{i}$. Следовательно, интегральные траектории поля $\operatorname{sgrad} f_{2}$ замкнуты с периодом $2 \pi$ на всех торах
Лиувилля в $U(L)$. Тогда, по непрерывности, они замкнуты и на всей окрестности $U(L)$. Но это и означает, что на окрестности $U(L)$ гладко действует окружность $S^{1}$, с периодом $2 \pi$. Ясно, что слои Лиувилля в $U(L)$ инвариантны относительно этого действия. Дело в том, что гамильтониан этого действия, то есть функция $f_{2}$, является функцией от $H$ и $f$. Однозначность действия, с точностью до замены ориентации на действующей окружности, следует из локальной однозначности в окрестности даже одной особой точки $x_{i}$. Лемма доказана.