Рассмотрим один элементарный 4-блок и изготовим из него открытое симплектическое 4-многообразие без границы, на котором будет определено слоение Лиувилля с ровно одной особенностью типа фокус-фокус. Ее мы и назовем модельным примером. Опишем построение этого примера.

Напомним, что симплектическая структура на $\mathbb{C}^{2}(z, w)$ задается формулой $\operatorname{Re}(d w \wedge d z)=d p \wedge d q=$ $=d p_{1} \wedge d q_{1}+d p_{2} \wedge d q_{2}$. Рассмотрим теперь в $\mathbb{C}^{2}(z, w)$ 4-мерную область $U$, задаваемую следующими формулами:
\[
|z w|<\varepsilon, \quad|z|<1+\delta, \quad|w|<1+\delta .
\]

Эта область является окрестностью «координатного креста», то есть двух ортогонально пересекающихся в точке $(0,0)$ координатных 2 -дисков: $\{|z| \leqslant 1$, Рис. 9.52 $w=0\}$ и $\{z=0,|w| \leqslant 1\}$. См. условный рис. 9.52. Рассмотрим открытые 4-окрестности граничных окружностей каждого из этих дисков в области $U$. Обозначим их через
\[
U_{z}=U \cap\left\{(1+\delta)^{-1}<z<1+\delta\right\}, \quad U_{w}=U \cap\left\{(1+\delta)^{-1}<w<1+\delta\right\} .
\]

Они заштрихованы на рис. 9.52. Топологически каждая из них очевидно гомеоморфна прямому произведению $S^{1} \times D^{3}$, т. е. – окружности на 3 -диск. Склеим эти 4 -окрестности друг с другом по отображению $\xi: U_{w} \rightarrow U_{z}$, задаваемому

следующей формулой:
\[
\xi:(z, w) \rightarrow\left(w^{-1}, z w^{2}\right) .
\]

Это отображение выбрано так, что оно является комплексным. Далее, легко проверяется, что оно является симплектическим, поскольку $d w \wedge d z=$ $=d\left(z w^{2}\right) \wedge d\left(w^{-1}\right)$. Кроме того, оно сохраняет функцию $z w$.

Легко видеть, что в результате получается некоторое 4-мерное комплексное симплектическое многообразие $U_{1}$, на котором корректно определена голоморфная функция $F$, которая в локальных координатах имеет вид $z w$. Эта функция имеет ровно одну особую точку $(0,0)$. Особый слой $F=0$ получается в результате склейки двух трансверсально пересекающихся дисков по их границам, т.е. является сферой с одной точкой самопересечения, а само получившееся многообразие $U_{1}$ представляет собой регулярную окрестность этого слоя вида $\{|F|<\varepsilon\}$, расслоенную на компактные неособые слои, диффеоморфные двумерным торам.

С вещественной точки зрения мы получили две коммутирующие функции $f_{1}=\operatorname{Re} F, f_{2}=\operatorname{Im} F$, задающие на полученном многообразии $U_{1}$ структуру лиувиллева слоения с единственным особым слоем типа фокус-фокус, содержащим одну особую точку.

Аналогичным образом можно построить модельный пример особенности, в котором будет $n$ особых точек типа фокус-фокус. Нужно последовательно, «по цепочке» склеить $n$ экземпляров многообразия $U$ как было описано выше. Получится многообразие $U_{n}$.
Рис. 9.53
Можно поступить и по-другому, а именно, рассмотрев $n$-кратное накрытие над многообразием $U_{1}$. Здесь мы используем тот факт, что фундаментальная группа особого слоя в $U_{1}$, как и самого $U_{1}$, равна $\mathbb{Z}$. Выберем в ней подгруппу $n \mathbb{Z}$ и построим, стандартным приемом, накрытие, отвечающее этой подгруппе. Полученное многообразие $U_{n}$ также имеет фундаментальную группу, изоморфную $\mathbb{Z}$. Отметим, что универсальное накрытие $U_{\infty}$ над $U_{1}$ совпадает с универсальным накрытием над $U_{n}$. Другими словами, разные многообразия $U_{m}$ и $U_{k}$ имеют одно и то же универсальное накрытие $U_{\infty}$. Причем и структура возникающего на $U_{\infty}$ лиувиллева слоения тоже будет одна и та же для разных $U_{m}$ и $U_{k}$. См. рис. 9.53. Слои лиувиллева слоения здесь некомпактны и являются бесконечными 2-цилиндрами. На этом универсальном накрытии естественно действует группа $\mathbb{Z}$, как группа сдвигов. Итак, любая особенность типа фокус-фокус получается из этой универсальной модели путем факторизации по подгруппе индекса $n$ в группе $\mathbb{Z}$. Подчеркнем, что это утверждение справедливо лишь в дифференциально-топологическом смысле. С симплектической точки зрения неверно, что любая особенность типа фокус-фокус получается факторизацией из одной универсальной модели, с фиксированной на ней одной и той же симплектической структурой. Дело в том, что имеются нетривиальные симплектические инварианты, отличающие друг от друга некоторые особенности типа фокус-фокус даже если у них одинаковое число особых точек на особом слое $L$. Поэтому хотя с дифференциально-топологической точки зрения есть ровно одно слоение
типа $U_{\infty}$, на нем можно задать много неэквивалентных симплектических структур.