ИHTEГPИPУEMЫE ГAMИЛЬTOHOBЫ СИСТЕМЫ(А. В. Болсинов, А. Т. Фоменко)

Научная библиотека

Научная библиотека

ИHTEГPИPУEMЫE ГAMИЛЬTOHOBЫ СИСТЕМЫ(А. В. Болсинов, А. Т. Фоменко)

А. В. Болсинов
А. Т. Фоменко

Интегрируемые Гамильтоновы системы
Геометрия, топология, классификация

Настоящая книга посвящена активно развивающемуся направлению современной математики — теории интегрируемых гамильтоновых систем. Систематически излагается теория лиувиллевых слоений, описано качественное поведение интегральных траекторий при бифуркациях торов Лиувилля и получена траекторная классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы на трехмерных изоэнергетических поверхностях. Вторая часть книги посвящена общим методам вычисления топологических инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем.

Книга рассчитана на студентов и аспирантов математических специальностей университетов, а также на специалистов-математиков и физиков, занимающихся теорией динамических систем и интересующихся современными приложениями геометрии и топологии.

Оригинал-макет подготовлен в редакции журнала «Регулярная и хаотическая динамика».
А. В. Болсинов, А. Т. Фоменко, 1999
Редакция журнала «Регулярная и хаотическая динамика», 1999
Издательский дом «Удмуртский университет», 1999

Оглавление

Предисловие
Глава 1 Основные понятия
1.1. Линейная симплектическая геометрия
1.2. Симплектические и пуассоновы многообразия
1.3. Теорема Дарбу
1.4. Вложения и погружения симплектических многообразий. Симплектические и лагранжевы подмногообразия
1.5. Интегрируемые по Лиувиллю гамильтоновы системы. Теорема Лиувилля
1.6. Нерезонансные и резонансные системы
1.7. Число вращения
1.8. Отображение момента интегрируемой системы и его бифуркационная диаграмма
1.9. Простой пример интегрируемой механической системы
1.10. Невырожденные точки отображения момента
1.10.1. Случай двух степеней свободы
1.10.2. Интегралы Ботта с точки зрения четырехмерного симплектического многообразия
1.10.3. Определение невырожденной особенности в случае многих степеней свободы
1.10.4. Типы невырожденных особенностей в многомерном случае
1.11. Основные типы эквивалентностей динамических систем
Глава 2 Топология слоений, порождаемых функциями Морса на двумерных поверхностях
2.1. Простые функции Морса
2.2. Граф Риба функции Морса
2.3. Понятие атома
2.4. Простые атомы
2.4.1. Случай минимума и максимума. Атом $A$
2.4.2. Случай ориентируемого седла. Атом $B$
2.4.3. Случай неориентируемого седла. Атом $\widetilde{B}$
2.4.4. Классификация простых атомов
2.5. Простые молекулы
2.5.1. Определение простой молекулы
2.5.2. Теорема реализации
2.5.3. Примеры простых функций Морса и простых молекул
2.5.4. Классификация минимальных простых функций Морса на поверхностях малого рода
2.6. Сложные атомы
2.7. Классификация атомов
2.7.1. Склейка атомов из крестов
2.7.2. Алгоритм построения полного списка всех атомов
2.7.3. Алгоритм распознавания одинаковых атомов
2.7.4. Задание атома в виде $f$-графа
2.7.5. Задание ориентированного атома в виде некоторой подгруппы в группе $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$
2.7.6. Изображение атомов в виде погружений графов в плоскость
2.7.7. Атомы как клеточные разбиения двумерных замкнутых поверхностей
2.7.8. Таблица атомов малой сложности
2.7.9. Зеркальные атомы
2.8. Группы симметрий ориентированных атомов и универсальное накрывающее дерево
2.8.1. Симметрии $f$-графов
2.8.2. Универсальное накрывающее дерево над $f$-графами. $f$-граф как фактор-пространство универсального дерева
2.8.3. Соответствие между $f$-графами и подгруппами в группе $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}_{2}$
2.8.4. Граф $J$. Группы симметрий $f$-графа и его связь с самим $f$-графом. Максимально симметричные $f$-графы
2.8.5. Список плоских максимально симметричных атомов. Примеры максимально симметричных атомов произвольного рода
2.8.6. Представление атомов в виде факторов плоскости Лобачевского по подгруппам ее группы изометрий. Атомы как поверхности постоянной отрицательной кривизны
2.9. Общее понятие молекулы
2.10. Примеры сложных функций Морса и сложных молекул
2.11. Аппроксимация сложных молекул простыми. Деформации функций Морса
2.12. Классификация потоков Морса-Смейла на двумерных поверхностях при помощи атомов и молекул
Глава 3. Грубая лиувиллева эквивалентность интегрируемых систем с двумя степенями свободы
3.1. Классификация невырожденных критических подмногообразий на изоэнергетических 3-поверхностях
3.2. Топологическое строение окрестности особого слоя слоения Лиувилля
3.3. Топологически устойчивые гамильтоновы системы
3.4. Пример неустойчивой интегрируемой системы
3.5. 2-атомы и 3-атомы
3.6. Классификация 3-атомов
3.7. Атомы как перестройки торов Лиувилля
3.8. Молекулы интегрируемой системы
3.9. Сложность интегрируемых систем
Глава 4. Лиувиллева эквивалентность интегрируемых систем с двумя степенями свободы
4.1. Допустимые системы координат на границе 3-атома
4.2. Матрицы склейки и избыточные оснащения молекулы
4.3. Инварианты, числовые метки $r, \varepsilon, n$
4.4. Меченая молекула – полный инвариант лиувиллевой эквивалентности
4.5. Влияние ориентаций
4.5.1. Изменение ориентации на ребре молекулы
4.5.2. Изменение ориентации 3-многообразия $Q$
4.5.3. Изменение ориентации гамильтонова векторного поля
4.6. Теорема реализации
4.7. Простые примеры молекул
4.8. Гамильтоновы системы с критическими бутылками Клейна
4.9. Топологические препятствия к интегрируемости гамильтоновых систем с двумя степенями свободы
4.9.1. Класс $(M)$
4.9.2. Класс $(H)$
4.9.3. Класс $(Q)$ трехмерных многообразий, склеенных из блоков двух типов
4.9.4. Класс $(W)$ многообразий Вальдхаузена (граф-многообразий)
4.9.5. Класс $\left(H^{\prime}\right)$ многообразий, отвечающих интегрируемым гамильтонианам с ручными интегралами
4.9.6. Теорема о совпадении четырех классов многообразий
4.9.7. Доказательство теоремы 4.3
Глава 5. Траекторная классификация интегрируемых систем с двумя степенями свободы. Первый шаг
5.1. Функция вращения системы на ребре молекулы. Вектор вращения
5.2. Редукция трехмерной траекторной классификации к двумерной классификации с точностью до сопряженности
5.2.1. Трансверсальные сечения
5.2.2. Поток Пуанкаре и гамильтониан Пуанкаре
5.3. Редукция двух степеней свободы к одной
5.4. Общая концепция построения траекторных инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем
Глава 6. Классификация гамильтоновых потоков на двумерных поверхностях с точностью до топологической сопряженности
6.1. Инварианты гамильтоновой системы на 2-атоме
6.1.1. $\Lambda$-инвариант
6.1.2. $\Delta$-инвариант и $Z$-инвариант
6.2. Теорема классификации гамильтоновых потоков на 2-атомах с точностью до топологической сопряженности
6.3. Теорема классификации гамильтоновых потоков на 2-атомах с инволюцией с точностью до топологической сопряженности
6.4. Операция вклейки-вырезания
6.5. Описание области значений $\Delta$ – и $Z$-инвариантов
6.6. Теорема классификации гамильтоновых систем на замкнутой поверхности с точностью до топологической сопряженности
Глава 7. Гладкая сопряженность гамильтоновых потоков на двумерных поверхностях
7.1. Построение гладких инвариантов на 2-атомах
7.2. Теорема классификации гамильтоновых потоков на 2-атомах с точностью до гладкой сопряженности
Глава 8. Траекторная классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Второй шаг
Введение
8.1. Избыточное $t$-оснащение молекулы (топологический случай). Основная лемма о $t$-оснащениях
8.2. Группа замен трансверсальных сечений. Операция вклейки-вырезания
8.3. Действие группы замен $G \mathbb{P}$ на множестве избыточных оснащений
8.4. Три общих принципа построения инвариантов
8.5. Допустимые избыточные оснащения и их реализация
8.5.1. Реализация оснащения на атоме
8.5.2. Реализация оснащения на ребре молекулы
8.5.3. Реализация избыточного $t$-оснащения на всей молекуле
8.6. Построение траекторных инвариантов в топологическом случае. Определение $t$-молекулы
8.6.1. $R$-инвариант и индекс вращения на ребре
8.6.2. $b$-инвариант (на радикалах молекулы)
8.6.3. $\tilde{\Lambda}$-инвариант
8.6.4. $\widetilde{\Delta} \widetilde{Z}[\tilde{\theta}]$-инвариант
8.6.5. Окончательное определение $t$-молекулы интегрируемой системы
8.6.6. Влияние ориентации на инварианты
8.7. Теорема топологической траекторной классификации интегрируемых систем с двумя степенями свободы
8.8. Частный случай: простые интегрируемые системы и их топологическая траекторная классификация
8.9. Теория гладкой траекторной классификации
Глава 9. Лиувиллева классификация интегрируемых систем с двумя степенями свободы в четырехмерных окрестностях особых точек
9.1. $L$-тип четырехмерной особенности
9.2. Круговая молекула четырехмерной особенности
9.3. Случай центр-центр
9.4. Случай центр-седло
9.5. Случай седло-седло
9.5.1. Структура особого слоя
9.5.2. $\mathrm{Cl}$-тип особенности
9.5.3. Список особенностей типа седло-седло малой сложности
9.6. Представление четырехмерной особенности типа седло-седло как почти прямого произведения двумерных атомов
9.7. Доказательства теорем 9.3 и 9.4
9.8. Случай особенности типа фокус-фокус
9.8.1. Структура особого слоя типа фокус-фокус
9.8.2. Классификация особенностей типа фокус-фокус
9.8.3. Модельный пример особенности типа фокус-фокус и теорема реализации
9.8.4. Круговая молекула и группа монодромии особенности типа фокус-фокус
9.9. Представление многомерных невырожденных особенностей слоений Лиувилля в виде почти прямых произведений
Таблицы к главе 9
Атомы участвующие в классификации