Наступил момент уточнить определение лиувиллевой эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем. В этой главе мы будем считать, что две интегрируемые системы $\left(v, Q^{3}\right)$ и $\left(v^{\prime}, Q^{\prime 3}\right)$ лиувиллево эквивалентны (т.е. имеют одинаковые слоения Лиувилля), если существует послойный диффеоморфизм $Q^{3} \rightarrow Q^{\prime 3}$, который, кроме того, сохраняет ориентацию 3 -многообразий $Q$ и $Q^{\prime}$ и ориентации всех критических окружностей. Напомним, что мы рассматриваем гамильтоновы системы, обладающие боттовскими интегралами. Критические окружности этих интегралов являются замкнутыми траекториями системы и имеют поэтому естественную ориентацию.