Итак, мы определили допустимые системы координат на граничных торах каждого атома. Рассмотрим теперь произвольное ребро $e_{i}$ молекулы $W$ и зададим на нем некоторую ориентацию, например, по возрастанию функции $f$. Мы разрезали это ребро вдоль некоторого тора Лиувилля и определили на берегах разреза допустимые системы координат, которые мы обозначим теперь через ( $\lambda_{i}^{-}, \mu_{i}^{-}$) и $\left(\lambda_{i}^{+}, \mu_{i}^{+}\right)$. Знак минус отвечает началу ребра, а плюс – его концу. Рассматривая эти пары циклов как базисы в группе одномерных гомологий, мы получаем естественную матрицу склейки
\[
\begin{array}{c}
C_{i}=\left(\begin{array}{ll}
\alpha_{i} & \beta_{i} \\
\gamma_{i} & \delta_{i}
\end{array}\right): \\
\left(\begin{array}{c}
\lambda_{i}^{+} \\
\mu_{i}^{+}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
\alpha_{i} & \beta_{i} \\
\gamma_{i} & \delta_{i}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
\lambda_{i}^{-} \\
\mu_{i}^{-}
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

Ясно, что $C_{i}$ является целочисленной матрицей с определителем, равным -1 . В остальном эта матрица может быть совершенно произвольной.

Легко видеть, что заданием всех матриц склеек мы полностью определяем топологию лиувиллева слоения в целом. Однако, эти матрицы не определены однозначно, поскольку мы можем делать замены допустимых систем координат. Поэтому мы введем следующее важное понятие.
Определение 4.1. Совокупность всех матриц склеек $\left\{C_{i}\right\}$ мы будем называть избыточным оснащением молекулы $W$.

Рассмотрим теперь произвольную замену допустимых систем координат. Легко видеть, что все такие замены образуют группу, которая естественным образом действует на множестве избыточных оснащений данной молекулы, т.е. на совокупности матриц склеек.
Определение 4.2. Два избыточных оснащения $\left\{C_{i}\right\}$ и $\left\{C_{i}^{\prime}\right\}$ молекулы $W$ назовем эквивалентными, если от одного к другому можно перейти заменой допустимых систем координат на атомах молекулы.
Предложение 4.1. Две интегрируемые системы $v$ на $Q$ и $v^{\prime}$ на $Q^{\prime}$ лиувиллево эквивалентны, если и только если выполнены следующие два условия:
1) Их молекулы $W$ и $W^{\prime}$ совпадают, т.е. системы грубо лиувиллево эквивалентны.
2) Избыточные оснащения на молекуле $W=W^{\prime}$ эквивалентны.

Комментарий. Это предложение можно переформулировать еще и так. Существует естественное взаимно-однозначное соответствие между классами лиувиллевой эквивалентности интегрируемых систем и классами эквивалентности избыточных оснащений молекул.
Доказательство.
В одну сторону утверждение очевидно: если две системы лиувиллево эквивалентны, то их молекулы совпадают и их избыточные оснащения эквивалентны. Докажем обратное. Пусть две системы имеют эквивалентные избыточные оснащения на совпадающих молекулах. Тогда, подбирая допустимые замены координат, можно добиться того, что матрицы склеек у двух систем будут совпадать. Совпадение же самих молекул гарантирует, что два слоения Лиувилля склеены из одинаковых кусков, т.е. из одних и тех же 3 -атомов. Совпадение матриц склеек означает, что эти куски склеиваются одинаково, что и дает один и тот же результат – одно и то же слоение на одном и том же 3 -многообразии. Предложение доказано.

После этого предложения 4.1 проблема лиувиллевой классификации интегрируемых систем на изоэнергетических 3 -поверхностях сводится к описанию инвариантов избыточных оснащений молекул относительно действия группы замен допустимых систем координат. Эта задача в определенном смысле – уже алгебраическая. Явное действие группы замен допустимых координат на избыточных оснащениях, т.е. на матрицах, задается леммами 4.1 и 4.3. Сейчас мы укажем полную систему инвариантов этого действия.