Пусть $f$ – функция Морса на компактном гладком многообразии $X^{n}$. Рассмотрим произвольную поверхность уровня $f^{-1}(a)$ и ее компоненты связности,
которые назовем слоями. В результате многообразие разбивается в объединение слоев, получается слоение с особенностями. Подчеркнем, что каждый слой связен, по определению. Объявляя каждый слой одной точкой и вводя естественную фактор-топологию в пространство Г слоев, получаем некоторое факторпространство. Его можно рассматривать как базу этого слоения. Для функции Морса пространство Г является графом.
Определение 2.2. Граф Г называется графом Риба для функции Морса $f$ на многообразии $X^{n}$. Вершиной графа Риба назовем точку, отвечающую особому слою функции $f$, т.е. связной компоненте уровня, содержащей критическую точку функции. Вершину графа Риба назовем концевой, если она является концом ровно одного ребра графа. Все остальные вершины назовем внутренними.
Рис. 2.3
Рассмотрим для примера двумерный тор в $\mathbb{R}^{3}$, вложенный, как показано на рис. 2.3, и в качестве функции Морса возьмем естественную функцию высоты на торе. Тогда граф Риба имеет вид, показанный на рис. 2.3. На рис. 2.3 показан еще один пример функции Морса на кренделе – функция высоты. Здесь граф Риба устроен сложнее.
Рис. 2.4
Лемма 2.1. Концевые вериины графа Риба взаимно-однозначно отвечают локальным минимумам и максимумам функиии. Внутренние вериины графа Риба взаимно-однозначно отвечают особым слоям функции, содержащим седловые критические точки.
Доказательство.
Каждая критическая точка функции является либо локальным минимумом, либо локальным максимумом, ли-
бо седловой точкой. В первых двух случаях она, очевидно, соответствует концевой вершине графа Риба (рис. 2.4). И наоборот, каждая концевая вершина графа Риба отвечает локальному минимуму или максимуму. В самом деле, допустим противное, т.е. что критическая точка – седловая. Можно считать, что функция $f$ равна нулю в этой точке. Тогда в сколь угодно малой окрестности такой критической точки существуют точки, в которых функция принимает противо-
положные по знаку значения. Это означает, что в данную вершину графа Риба входят по крайней мере два ребра – на одном из которых функция положительна, а на другом – отрицательна. Получили противоречие. Лемма доказана.
Если заранее известно, является ли изучаемая поверхность ориентируемой или неориентируемой, то граф Риба произвольной простой функции на ней позволяет восстановить топологию поверхности.
Теорема 2.1. Граф Риба простой функции Морса на замкнутой двумерной ориентируемой (или, соответственно, неориентируемой) поверхности $X^{2}$ определяет эту поверхность однозначно с точностью до диффеоморфизма.
Доказательство.
Для простой функции Морса имеется взаимно-однозначное соответствие между ее критическими точками и вершинами графа Риба. В самом деле, каждая вершина графа Риба взаимно-однозначно отвечает критическому слою. В силу простоты функции, на нем – ровно одна критическая точка. В силу леммы 2.1 мы можем однозначно разбить вершины графа Риба на два класса: концевые отвечающие локальным минимумам и максимумам, и внутренние – отвечающие седловым критическим точкам. Хорошо известно, что эйлерова характеристика двумерного многообразия равна разности числа локальных минимумов и максимумов, т.е. концевых вершин, и числа седел, т.е. внутренних вершин. Таким образом, опираясь только на граф Риба, мы можем найти эйлерову характеристику поверхности. Поскольку мы заранее знаем – ориентируема она, или нет, это и доказывает теорему, так как эйлерова характеристика является полным топологическим инвариантом поверхности как для ориентируемого, так и для неориентируемого случая. Теорема доказана.
Если функция не является простой, то аналог теоремы 2.1 неверен. Дело в том, что здесь на особом слое может быть несколько критических точек. Поэтому знание числа и типа вершин графа Риба не позволяет найти эйлерову характеристику поверхности.
