Рассмотрим тор Лиувилля $T$ интегрируемой системы $v=\operatorname{sgrad} H$. Согласно теореме Лиувилля в переменных действие-угол векторное поле $v$ на этом торе имеет вид $\dot{\varphi}_{1}=c_{1}, \ldots, \dot{\varphi}_{n}=c_{n}$, где $c_{i}$ – некоторые постоянные. Они называются частотами. При изменении тора $T$ эти частоты, вообще говоря, изменятся. Определение 1.13. Тор Лиувилля $T$ называется резонансным, если существует нетривиальная целочисленная линейная комбинация частот равная нулю, т.е.
\[
\sum k_{i} c_{i}=0,
\]

где $k_{i}$ – целые числа и $\sum k_{i}^{2}
eq 0$. В противном случае тор называется нерезонансным.

Тор Лиувилля является нерезонансным тогда и только тогда, когда замыкание любой интегральной траектории поля, лежащей на нем, совпадает со всем тором. И напротив, в резонансном случае замыкание траектории является тором строго меньшей размерности.

Определение 1.14. Интегрируемая система называется нерезонансной на $M^{2 n}$ (или на каком-то инвариантном подмножестве), если почти все торы Лиувилля нерезонансны. Система называется резонансной, если все ее торы Лиувилля резонансны.

Замечание. В гладком случае интегрируемая система может не принадлежать ни к одному из этих двух классов (т.е. не быть ни резонансной, ни нерезонансной). Такие системы мы рассматривать не будем, поскольку реальные аналитические системы всегда имеют однозначно определенный тип: либо резонансные, либо нерезонансные.