Пример 1. Рассмотрим на 2-торе стандартную функцию высоты при вложении тора в $\mathbb{R}^{3}$, показанном на рис. 2.3. Ясно, что эта функция является простой и ее молекула имеет вид, показанный на рис. 2.12. Легко видеть, что эта функция Морса на 2 -торе является минимальной, т. е. имеет наименьшее возможное число невырожденных критических точек.
Рис. 2.12
Рис. 2.13
Пример 2. Минимальная простая функция Морса на кренделе, т.е. на сфере с двумя ручками, реализуется как функция высоты при вложении кренделя, показанном на рис. 2.13. Там же показана и соответствующая простая молекула.
Пример 3. Минимальная простая функция Морса на проективной плоскости $\mathbb{R} P^{2}$ строится так. Напомним, что проективная плоскость может быть представлена как результат склейки квадрата, что показано на рис. 2.14. На рис. 2.15 показано слоение $\mathbb{R} P^{2}$ на линии уровня минимальной простой функции Mорса, и изображена соответствующая молекула.
Эту функцию можно записать еще и так. Рассмотрим на $\mathbb{R} P^{2}$ однородные координаты ( $x: y: z$ ). Тогда искомая простая функция имеет вид
\[
f(x: y: z)=\frac{x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} .
\]
Рис. 2.14
Пример 4. Минимальная простая функция Морса на бутылке Клейна строится так. Зададим бутылку Клейна в виде склейки квадрата, показанной на рис. 2.16. Тогда линии уровня искомой функции и соответствующая простая молекула показаны на рис. 2.17.
Интересно, что эту функцию можно реализовать как функцию высоты при подходящем погружении бутылки Клейна в $\mathbb{R}^{3}$. Для этого нужно рассмотреть ее
стандартное погружение и положить его на бок на горизонтальную 2 -плоскость. Бутылку Клейна следует при этом раздуть так, чтобы функция высоты имела ровно один минимум и ровно один максимум.
Кстати, на бутылке Клейна существует еще одна простая функция Морса, молекула которой совпадает с простой молекулой функции на торе (рис. 2.12). Эта функция может быть реализована как функция высоты при погружении бутылки Клейна в $\mathbb{R}^{3}$ как показано на рис. 2.18. Мы изобразили также эволюцию линий уровня функции высоты. Отметьте, что в этой молекуле нет атома $\widetilde{B}$, хотя бутылка Клейна неориентируема.
Пример 5. Вернемся еще раз к простой функции Морса на проективной плоскости, построенной в примере 3. Молекула здесь такова:
\[
A-\widetilde{B}-A \text {. }
\]
Оказывается, эту функцию можно реализовать как функцию высоты при подходящем погружении $\mathbb{R} P^{2}$ в $\mathbb{R}^{3}$. Оказывается далее, что нужное для этого погружение $\mathbb{R} P^{2}$ является хорошо известной поверхностью Боя. Напомним ее конструкцию. Рассмотрим стандартное погружение бутылки Клейна, лежащее на боку на горизонтальной плоскости, разрежем его пополам горизонтальной плоскостью (рис. 2.19) и получим два листа Мебиуса. Возьмем только одну, нижнюю половинку, лист Мебиуса, показанный на рис. 2.19 , и заклеим его диском, после чего получится $\mathbb{R} P^{2}$. Удобно осуществить эту заклейку так. Поднимая плоскость вертикально вверх, будем гладко деформировать вложенный в нее край листа Мебиуса, как показано на рис. 2.20. Деформирующаяся кривая заметает при этом двумерное погруженное кольцо.
Когда граничнан кривая расправится и превратится в стандартно вложенную окружность, заклеим ее диском. Лист Мебиуса, заклеенный диском, превращается в $\mathbb{R} P^{2}$. Мы описали погружение проективной плоскости в $\mathbb{R}^{3}$, являющееся поверхностью Боя. Рассмотрим функцию высоты как проекцию на вертикальную прямую. На рис. 2.21(а) изображены эволюция ее линий уровня. Видно, что у этой функции есть лишь одна седловая точка. Ввиду неориентируемости $\mathbb{R} P^{2}$, эта точка должна отвечать неориентируемому седловому атому $\widetilde{B}$. Получается искомая молекула
Рис. 2.20
\[
A-\widetilde{B}-A \text {. }
\]
Можно еще одним способом, более наглядно, изобразить в $\mathbb{R}^{3}$ функцию высоты на $\mathbb{R} P^{2}$ с молекулой $A-\widetilde{B}-A$. Рассмотрим известное изображение $\mathbb{R} P^{2}$ в $\mathbb{R}^{3}$, показанное на рис. $2.21(\mathrm{~b})$. Эта поверхность $K$ с особенностями является алгебраической в $\mathbb{R}^{3}$ и может быть задана следующим полиномиальным уравнением:
\[
\left(k_{1} x^{2}+k_{2} y^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)-2 z\left(x^{2}+y^{2}\right)=0 .
\]
Расположим эту поверхность $K$ в $\mathbb{R}^{3}$ вертикально и получим естественную функцию высоты $h$ на ней.
Рис. 2.21
Ясно, что можно так подобрать гладкое отображение $g$ проективной плоскости $\mathbb{R} P^{2}$ на поверхность $K$, что сквозное отображение $h g: \mathbb{R} P^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{1}$ будет функцией Морса.
Далее, видно, что у нее ровно три критические точки и ее молекула имеет вид $A-\widetilde{B}-A$, что и требовалось доказать.
На рис. 2.21(b) отдельно показана модель с особенностью атома $\widetilde{B}$ в $\mathbb{R}^{3}$ такая, что одна граничная окружность – плоская, а вторая – погружена в плоскость.
Отметим, что любая простая функция Морса на двумерной поверхности, ориентируемой или неориентируемой, может быть реализована в виде функции высоты при некотором погружении этой поверхности в $\mathbb{R}^{3}$.
