Мы снова воспользуемся леммой 6.1 для построения двух новых инвариантов гамильтоновой системы в окрестности особого слоя. Будем считать, что ориентация на поверхности $P$ задается симплектической структурой $\omega$. Граф $K=F^{-1}(0)$ разбивает $P$ на кольца $C_{1}, \ldots, C_{l}$.
Определение 6.2. Кольцо $C=C_{m}$ будем называть положительным, если функция $F$ на этом кольце больше нуля, и отрицательным, если $F<0$.
КоммЕНтАРИй. Это определение эквивалентно следующему. Кольцо называется положительным, если поток $\sigma^{t}$ течет по внешней границе кольца в положительном направлении. При этом граница кольца называется внутренней, если она

примыкает к графу $K$ и внешней – в противном случае. Здесь мы считаем, что ориентация на внешней границе кольца индуцируется ориентацией атома при помощи внешней нормали. Отсюда следует, что свойство кольца быть положительным или отрицательным сохраняется при топологической сопряженности потоков.

Рассмотрим все ребра $K_{i}$ графа $K=F^{-1}(0)$. К каждому ребру $K_{i}$ примыкают ровно два кольца – одно положительное и одно отрицательное. На каждом из этих колец определим, следуя лемме 6.1, переменные «действие-угол» $s$ и $\varphi$ и отрезки раздела (т.е. линии уровня функций «угол», втыкающиеся в ребра $K_{i}$ ). В результате на каждом ребре мы получаем пару точек, которые мы обозначим через $x_{i}^{+}$и $x_{i}^{-}$(соответственно, для положительного и отрицательного колец).
Рис. 6.5
В дальнейшем будем называть $x_{i}^{+}$и $x_{i}^{-}$соответственно положительной и отрицательной точками раздела на ребре $K_{i}$ графа $K$.

В силу предположения о морсовости функции $F$, гамильтоново поле $w=\operatorname{sgrad} F$ отлично от нуля во всех внутренних точках ребер графа $K$. Поэтому поток $\sigma^{t}$ не является тождественным ни на одном из ребер $K_{i}$. Обозначим через $t_{i}$ время, за которое точка под действием потока $\sigma^{t}$ перемещается из положения $x_{i}^{-}$в положение $x_{i}^{+}$(рис. 6.5-а). Другими словами, $t_{i}$ однозначно определяется из соотношения $x_{i}^{+}=\sigma^{t_{i}}\left(x_{i}^{-}\right)$. Рассмотрим теперь формальную линейную комбинацию вида $l=\sum t_{i} K_{i}$ как одномерную цепь $l$ (в смысле теории вещественных гомологий) на графе $K$. Здесь ребра $K_{i}$ рассматриваются как одномерные клетки. Ориентация на них задается потоком $\sigma^{t}$.

Ясно, что сама эта цепь не является инвариантом гамильтоновой системы, поскольку отрезки раздела не определены однозначно. Однако неоднозначность их выбора легко контролируется. Действительно, на каждом кольце мы можем независимо сдвигать эти отрезки «на одну и ту же величину». При этом и соответствующие им точки раздела также будут смещаться, но величина их смещения (в смысле потока $\sigma^{t}$ ) для точек, лежащих на одном и том же кольце, будет одинаковой.

Что это означает в терминах цепи $l$ ? Чтобы дать ответ на этот вопрос, рассмотрим замкнутую поверхность $\widetilde{P}$, которая получается из $P$ заклейкой дисками

всех граничных окружностей (т. е. заменой колец на диски). Граф $K$ задает, очевидно, клеточное разбиение поверхности $\widetilde{P}$, и мы можем поэтому определить отвечающие этому разбиению группы вещественных клеточных цепей, циклов и границ $C_{k}(\widetilde{P}), Z_{k}(\widetilde{P})$ и $B_{k}(\widetilde{P})$ соответственно, рассматривая формальные линейные комбинации $k$-мерных клеток $(k=0,1,2)$.

Используя эти гомологические термины, легко увидеть, что неоднозначность в выборе отрезков раздела отражается на одномерной цепи $l \in C_{1}(\widetilde{P})$ следующим образом: она определена с точностью до одномерных границ, т.е. корректно определенным является ее класс $[l]$ в фактор-пространстве $C_{1}(\widetilde{P}) / B_{1}(\widetilde{P})$.

Мы видели при доказательстве предложения 6.1, что при топологическом сопряжении $\xi$ отрезки раздела переходят в отрезки раздела. Следовательно, и точки раздела $x_{i}^{+}$и $x_{i}^{-}$переходнт при этом в некоторые точки раздела $x_{i}^{\prime+}=\xi\left(x_{i}^{+}\right)$ и $x_{i}^{\prime-}=\xi\left(x_{i}^{-}\right)$. Кроме того, поскольку $\xi$ сопрягает потоки $\sigma^{t}$ и $\sigma^{t^{\prime}}$, то из условия $x_{i}^{+}=\sigma^{t_{i}}\left(x_{i}^{-}\right)$следует, что $x_{i}^{\prime+}=\sigma^{\prime t_{i}}\left(x_{i}^{\prime-}\right)$. Другими словами, сопряжение $\xi$ сохраняет коэффициенты цепи $l$.

Это рассуждение показывает, что класс $[l] \in C_{1}(\widetilde{P}) / B_{1}(\widetilde{P})$ является корректно определенным инвариантом гамильтоновой системы на атоме (в смысле топологической сопряженности).

Нам удобнее будет разделить инвариант $[l]$ на два более простых инварианта. Воспользуемся для этого следующим формальным изоморфизмом
\[
C_{1}(\widetilde{P}) / B_{1}(\widetilde{P}) \cong C_{1}(\widetilde{P}) / Z_{1}(\widetilde{P})+Z_{1}(\widetilde{P}) / B_{1}(\widetilde{P}) \cong B_{0}(\widetilde{P})+H_{1}(\widetilde{P}),
\]

где $B_{0}(\widetilde{P})$ – группа 0 -мерных границ, а $H_{1}(\widetilde{P})$ – группа одномерных вещественных гомологий замкнутой поверхности $\widetilde{P}$. Указанный выше изоморфизм не является естественным, однако, его можно задать явно, введя скалярное произведение на пространстве одномерных цепей $C_{1}(\widetilde{P})$. Пусть для определенности одномерные цепи вида $1 \times K_{i}$, где $K_{i}$ – ребра графа $K$ (т. е. 1 -клетки), образуют ортонормированный базис в пространстве $C_{1}(\widetilde{P})$.

Построим из цепи $l$ два новых объекта. Спроектируем $l$ ортогонально на пространство циклов $Z_{1}(\widetilde{P})$ и рассмотрим класс гомологий получившегося цикла $z=\pi(l)$, где $\pi: C_{1}(\widetilde{P}) \rightarrow Z_{1}(\widetilde{P})$ – ортогональное проектирование.
Определение 6.3. Класс гомологий $[z] \in H_{1}(\widetilde{P})=Z_{1}(\widetilde{P}) / B_{1}(\widetilde{P})$ мы будем обозначать через $Z$ и называть его $Z$-инвариантом гамильтоновой системы $w$ (на атоме $(P, K)$ ).

Далее, рассмотрим границу $\partial(l) \in B_{0}(\widetilde{P})$ цепи $l$. Здесь $\partial: C_{1}(\widetilde{P}) \rightarrow B_{0}(\widetilde{P})-$ стандартный граничный оператор.
Определение 6.4. Границу $\partial(l) \in B_{0}(\widetilde{P})$ цепи $l$ мы будем обозначать через $\Delta$ и называть ее $\Delta$-инвариантом гамильтоновой системы $w$ (на атоме $(P, K)$ ).

Легко видеть, что $Z$ и $\Delta$ не меняются при изменении цепи $l$ на 1 -границу. Таким образом, каждому классу $[l] \in C_{1}(\widetilde{P}) / B_{1}(\widetilde{P})$ мы сопоставили пару $\Delta$ и $Z$. Это сопоставление задает указанный выше изоморфизм $C_{1}(\widetilde{P}) / B_{1}(\widetilde{P}) \cong$ $\cong B_{0}(\widetilde{P})+H_{1}(\widetilde{P})$, поэтому пара $(\Delta, Z)$ содержит ровно столько же информации

о гамильтоновой системе, что и исходный класс $[l] \in C_{1}(\widetilde{P}) / B_{1}(\widetilde{P})$. Кроме того, поскольку $[l]$, как мы уже показали, является инвариантом гамильтоновой системы, то таковыми являются $\Delta$ и $Z$. Другими словами, имеет место следующее утверждение.
Предложение 6.2. $\Delta$-инварианты и $Z$-инварианты топологически сопряженных гамильтоновых систем (заданных на двух экземплярах одного и того же атома) совпадают.

Сейчас мы дадим иную интерпретацию коэффициентов нульмерной цепи $\Delta=\sum \Delta_{i} S_{i}$, чрезвычайно полезную для дальнейшего (здесь $S_{i}-$ вершины графа $K$, т. е. нульмерные клетки). Отметим, что нульмерную границу $\Delta$ можно понимать как набор вещественных чисел, стоящих на вершинах графа $K$, сумма которых равна нулю. Оказывается, числа $\Delta_{i}$ можно задать явными формулами, как функции от $\Lambda$-инварианта и полных периодов потока $\sigma^{t}$ на кольцах атома.

Рассмотрим любую вершину $S=S_{j}$ графа $K$ и инцидентные с ней четыре ребра графа: $K_{1}, K_{2}, K_{3}, K_{4}$. На каждом из ребер $K_{i}$ отмечены две точки раздела: $x_{i}^{+}$и $x_{i}^{-}$. В них втыкаются соответствующие трансверсальные отрезки раздела (рис. 6.5-b) $N_{i}^{+}$и $N_{i}^{-}$. Рассмотрим ограниченную ими область $U=U\left(S_{j}\right)$, показанную штриховкой на рис. 6.5-b. Она состоит из четырех секторов, ограниченных ребрами графа $K$, отрезками раздела и линиями уровня $F= \pm \varepsilon_{0}$ функции $F$. К каждому из этих секторов мы можем применить утверждение леммы 6.2 при $n=0$. В результате в каждом из них возникает непрерывная функция $c_{i}(F)$, входящая в формулу для функции $\Pi_{i}(F)$, которая задает время движения точки в секторе от одного отрезка раздела до другого. Рассмотрим значения этих четырех функций в нуле, т. е. четыре числа $c_{i}(0)=c_{i}$.

К выбранной нами вершине $S$ примыкают четыре кольца (некоторые из которых могут, вообще говоря, совпадать). Обозначим эти кольца через $C_{I}, C_{I I}, C_{I I I}, C_{I V}$. Пусть $\Pi_{I}(F), \Pi_{I I}(F), \Pi_{I I I}(F), \Pi_{I V}(F)$ – соответствующие функции периода. Для каждой из них, как мы видели выше, имеет место асимптотика вида
\[
\Pi_{I}(F)=-\Lambda_{I} \ln |F|+c_{I}(F),
\]

где $c_{I}(F)$ – функция, непрерывная в нуле, а $\Lambda_{I}$ – сумма величин $\Lambda_{i}$ по всем вершинам графа $K$, принадлежащим границе кольца $C_{I}$ с учетом кратности (аналогично для остальных трех колец). Функции $c_{I}(F)$ мы будем иногда называть конечными частями функций периодов. Положим $c_{I}=c_{I}(0)$. Аналогичным образом определяются числа $c_{I I}, c_{I I I}, c_{I V}$ как значения конечных частей функций периодов $\Pi_{I I}(F), \Pi_{I I I}(F), \Pi_{I V}(F)$ при $F=0$.
Предложение 6.3. В каждой вершине $S=S_{j}$ графа $K$ имеют место следующие равенства
a)
\[
\begin{array}{c}
\Delta_{j}=c_{1}+c_{2}-c_{3}-c_{4} . \\
c_{1}=\left(\frac{\Lambda_{j}}{\Lambda_{I}}\right) c_{I}, \quad c_{2}=\left(\frac{\Lambda_{j}}{\Lambda_{I I}}\right) c_{I I}, \\
c_{3}=\left(\frac{\Lambda_{j}}{\Lambda_{I I I}}\right) c_{I I I}, \quad c_{4}=\left(\frac{\Lambda_{j}}{\Lambda_{I V}}\right) c_{I V} .
\end{array}
\]
б)

Доказательство.
Начнем с пункта а). Рассмотрим область $U$ на рис. 6.5-b. Изготовим из нее обычный крест $\tilde{U}$, как показано на рис. 6.5 -b, т.е. продолжив отрезки раздела $N_{i}^{-}$внутрь положительных колец (эти продолжения нарисованы пунктиром на рис. 6.5-b). Рассмотрим для креста $\widetilde{U}$ соответствующие новые величины $\widetilde{c}_{1}, \ldots, \widetilde{c}_{4}$, определяемые тем же способом, что и $c_{1}, \ldots, c_{4}$ в случае области $U$. Обозначим через $t_{1}, \ldots, t_{4}$ коэффициенты коцепи $l$, отвечающие ребрам $K_{1}, \ldots, K_{4}$. Напомним, что они определяются из соотношений $\sigma^{t_{i}}\left(x_{i}^{-}\right)=x_{i}^{+}$ (для $i=1,2,3,4$ ). Из определения областей $U$ и $\widetilde{U}$ легко следует, что:
\[
\begin{array}{ll}
\tilde{c}_{1}-c_{1}=t_{2}-t_{1}, & \tilde{c}_{2}-c_{2}=0, \\
\tilde{c}_{3}-c_{3}=t_{4}-t_{3}, & \tilde{c}_{4}-c_{4}=0 .
\end{array}
\]

Сложим эти четыре равенства с учетом знаков таким образом, чтобы получить следующее выражение:
\[
\left(\widetilde{c}_{1}+\widetilde{c}_{3}-\widetilde{c}_{2}-\widetilde{c}_{4}\right)-\left(c_{1}+c_{3}-c_{2}-c_{4}\right)=t_{2}+t_{4}-t_{1}-t_{3} .
\]

Лемма 6.3. В сделанных выше предположениях $c_{1}+c_{3}-c_{2}-c_{4}=0$. Догазательство.

По построению крест $\tilde{U}$ ограничивается линиями уровня гамильтониана $F= \pm \varepsilon_{0}$ и четырьмя гладкими кривыми, являющимися продолжениями отрезков раздела $N_{i}^{-}$на положительные кольца. Легко видеть, что рассматриваемая нами величина $\widetilde{c}_{1}+\widetilde{c}_{3}-\widetilde{c}_{2}-\widetilde{c}_{4}$ остается постоянной при изменении этих кривых (требуется лишь, чтобы они оставались гладкими и трансверсальными траекториям потока). Кроме того, мы можем при вычислениях воспользоваться леммой Морса-Дарбу (см. ниже главу 8 тома 1), которая утверждает, что в окрестности седловой особой точки $S=S_{j}$ существуют локальные координаты $(u, v)$, в которых $F=u v, \omega=\omega(u v) d u \wedge d v$.

Таким образом, без ограничения общности мы можем считать, что крест $\tilde{U}$ задается в координатах ( $u, v$ ) следующими соотношениями: $|u v|<\varepsilon_{0},|u|<1$, $|v|<1$, т.е. является стандартным. Для такого креста все вычисления легко проводятся явно (см. выше доказательство леммы 6.2). Сделав это, мы увидим, что для стандартного креста все $\tilde{c}_{i}$ просто равны нулю. Лемма доказана.

Теперь для завершения доказательства достаточно заметить, что альтернированная сумма $t_{1}-t_{2}+t_{3}-t_{4}$ по определению совпадает с коэффициентом нульмерной цепи $\partial l$. Формула (а) доказана.

Докажем соотношение $c_{1}=\left(\frac{\Lambda_{j}}{\Lambda_{I}}\right) c_{I}$ из пункта (б). Рассмотрим для этого «прямоугольник», высекаемый на кольце $C_{I}$ отрезками раздела $N_{1}^{+}$и $N_{2}^{+}$. Обозначим через $\Pi_{1}(F)$ время прохождения потока внутри рассматриваемого прямоугольника вдоль траектории $\gamma_{F}$ с данным значением гамильтониана $F$ (приращение времени внутри прямоугольника). Как мы уже видели выше, приращение угла на любом участке траектории и приращение времени $t$ в смысле потока $w$ связаны простым соотношением $\frac{\Delta \varphi}{2 \pi}=\frac{\Delta t}{\Pi_{I}(F)}$. Но в силу лем-

мы 6.2 для приращения «угла» в рассматриваемом «прямоугольнике» мы имеем $\Delta \varphi=\frac{2 \pi \Lambda_{j}}{\Lambda_{I}}$. Поэтому $\Pi_{1}(F)=\frac{\Lambda_{j}}{\Lambda_{I}} \Pi_{I}(F)$. Переходя в этом равенстве конечным частям» $c_{1}$ и $c_{I}$ функций $\Pi_{1}(F)$ и $\Pi_{I}(F)$, мы получаем требуемое равенство $c_{1}=\left(\frac{\Lambda_{j}}{\Lambda_{I}}\right) c_{I}$. Предложение доказано.