Молекула $W$ содержит много существенной информации о структуре слоения Лиувилля на $Q^{3}$. Однако, эта информация не достаточно полна. Действительно, молекула вида $A-A$, например, сообщает нам, что многообразие $Q^{3}$ склеено из двух полноторий, расслоенных естественным образом на концентрические торы. Однако, каким образом проведена эта склейка, какое в результате получается трехмерное многообразие, и какое слоение Лиувилля на нем – не сообщается. Поэтому мы должны добавить к молекуле $W$ некоторую дополнительную информацию о правилах склейки изоэнергетической поверхности $Q^{3}$ из отдельных 3-атомов.

Чтобы это сделать, разрежем каждое ребро молекулы посередине. Молекула снова распадется на отдельные атомы. С точки зрения многообразия $Q^{3}$ это операция означает, что мы разрезали его по некоторым торам Лиувилля на отдельные 3-атомы. Представим себе, что мы хотим произвести обратную склейку. Молекула $W$ говорит нам, какие пары граничных торов мы должны склеивать между собой. Чтобы понять, как именно их нужно склеивать, мы должны задать для каждого разрезанного ребра матрицу склейки $C$, определяющую изоморфизм фундаментальных групп склеивающихся торов. Чтобы задать эту матрицу, мы должны фиксировать на торах системы координат. Как обычно, под системой координат на торе мы будем понимать пару независимых ориентированных циклов $(\lambda, \mu)$, являющихся образующими фундаментальной группы $\pi_{1}\left(T^{2}\right)=\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ (или, что в данном случае то же самое, группы одномерных гомологий). Геометрически это попросту означает, что циклы $\lambda$ и $\mu$ нетривиальны и трансверсально пересекаются ровно в одной точке.

Рассмотрим теперь отдельный атом и введем на его граничных торах специальную систему координат, называемую допустимой.

Случай 1. Пусть 3 -атом имеет тип $A$, т. е. является полноторием. Тогда в качестве первого базисного цикла $\lambda$ мы возьмем меридиан полнотория, т.е. цикл, стягивающийся в точку внутри полнотория. В качестве второго цикла $\mu$ мы возьмем произвольный цикл, дополняющий $\lambda$ до базиса. Отметим, что $\mu$ можно считать слоем расслоения Зейферта (рис. 4.1). Поясним, что на полнотории структура расслоения Зейферта определена неоднозначно.

Напомним, что слои расслоения Зейферта имеют естественную ориентацию, задаваемую гамильтоновым векторным полем. Говоря точнее, только один из этих слоев является траекторией рассматриваемого гамильтонова векторного полн, а именно – критическая окружность дополнительного интеграла $f$, ось полнотория. Но ориентация этого слоя позволяет однозначно определить ориентацию на цикле $\mu$.

Кроме того, мы имеем ориентацию на всем 3 -атоме, а, следовательно, и на его граничном торе. Поэтому мы можем однозначно определить ориентацию и Рис. 4.1 первого базисного цикла $\lambda$, потребовав, чтобы пара $(\lambda, \mu)$ была положительно ориентирована. Легко видеть, что этими условиями цикл $\lambda$ будет определен однозначно, в то время как цикл $\mu$ будет определен с точностью до замен вида $\mu^{\prime}=\mu+k \lambda, k \in \mathbb{Z}$.
Лемма 4.1. Пусть $(\lambda, \mu)$ – допустимая система координат на границе атома $A$, т.е. полнотория. Для того, чтобы другая система координат $\left(\lambda^{\prime}, \mu^{\prime}\right)$ была допустимой необходимо и достаточно, чтобы
\[
\begin{array}{l}
\lambda^{\prime}=\lambda, \\
\mu^{\prime}=\mu+k \lambda, \quad \text { где } k-\text { целое число. }
\end{array}
\]

Доказательство.
Цикл $\lambda$, очевидно, определен однозначно, с точностью до изотопии, поскольку он является исчезающим циклом полнотория, т.е. стягивается в точку. См. рис. 4.1. Второе соотношение следует из определения цикла $\mu$. Лемма доказана.

Тем не менее все допустимые системы координат будут абсолютно равноправны, так как могут быть переведены друг в друга с помощью подходящего гомеоморфизма полнотория на себя, сохраняющего ориентацию как всего полнотория, так и особой траектории – оси полнотория.
Лемма 4.2.
а) Любые две допустимые системы координат $(\lambda, \mu)$ и $\left(\lambda^{\prime}, \mu^{\prime}\right)$ на границе атома $A$ могут быть совмещены посредством подходящего диффеоморфизма атома А на себя, сохраняющего структуру слоения Лиувилля.
б) Обратно, любой диффеоморфизм атома $A$ на себя, сохраняющий слоение Лиувилля, переводит допустимую систему координат $(\lambda, \mu)$ в другую допустимую систему координат $\left(\lambda^{\prime}, \mu^{\prime}\right)$.

Доказательство.
Любой автоморфизм атома $A$, т.е. диффеоморфизм полнотория на себя, сохраняющий структуру слоения Лиувилля, устроен так. Нужно разрезать полноторие по меридиональному диску (рис. 4.2) и снова отождествить ному диску (рис. 4.2) и снова отождествить два получившихся берега разреза при помощи поворота диска на угол, кратный $2 \pi$. Такая операция называется скручиванием полнотория вдоль данного диска (рис. 4.2). Отсюда, очевидно, вытекает утверждение леммы.
Случай 2. Пусть 3 -атом $U(L)$ является седловым и имеет структуру тривиального $S^{1}$-расслоения над поверхностью (2-атомом) $P$. В этом случае в качестве первого базисного цикла $\lambda_{i}$ на каждом из граничных торов $T_{i}$ мы возьмем слой этого расслоения. Дополнительные циклы $\mu_{i}$ мы выберем следующим образом. Рассмотрим произвольное сечение $P \subset U(L)$. Оно высекает на каждом граничном торе $T_{i}$ некоторый цикл $\mu_{i}$, который мы и возьмем в качестве второго базисного цикла на $T_{i}$ (рис. 4.3). Отметим, что на каждом отдельном граничном торе $T_{i}$ мы можем выбирать $\mu_{i}$ произвольно, однако в совокупности они должны быть связаны условием существования глобального сечения $P \subset U(L)$, проходящего через них. Ориентация на базисных циклах выбирается однозначно так же, как в предыдущем случае. Две различные совокупности допустимых систем координат $\left\{\left(\lambda_{i}, \mu_{i}\right)\right\}$ и $\left\{\left(\lambda_{i}^{\prime}, \mu_{i}^{\prime}\right)\right\}$ будут при этом связаны следующими соотношениями
\[
\left\{\begin{array}{l}
\lambda_{i}^{\prime}=\lambda_{i}, \\
\mu_{i}^{\prime}=\mu_{i}+k_{i} \lambda_{i},
\end{array}\right.
\]

причем $\sum k_{i}=0$. Доказательство см. ниже.
Это связано с тем, что сечение $P \subset U(L)$ может быть определено многими существенно неэквивалентными способами.

Случай 3. Рассмотрим, наконец, последний случай, когда 3 -атом $U(L)$ содержит седловые критические окружности с неориентируемыми сепаратрисными диаграммами и имеет поэтому нетривиальную структуру расслоения Зейферта. В этом случае, как и в предыдущем, мы в качестве первых базисных циклов $\lambda_{i}$ возьмем слой расслоения Зейферта.Далее нам также хотелось бы поступать аналогично, но к сожалению из-за наличия особых слоев это расслоение не имеет глобального сечения такого, чтобы каждый слой пересекал его ровно один раз. Однако мы можем всегда построить такое сечение, удалив малые окрестности особых слоев. Нам понадобится при этом каким-нибудь естественным образом закрепить это сечение вблизи особого слоя. Оказывается, это действительно можно сделать. Рассмотрим для этого трубчатую окрестность особого слоя и ее гра-

ницу, являющуюся тором. На этом торе уже есть два однозначно определенных цикла: первый из них – это слой $\lambda$ расслоения Зейферта, а второй – меридиан этого полнотория $\varkappa$, стягивающийся в точку внутри полнотория. Этот второй цикл $\varkappa$ мы ориентируем так, чтобы в совокупности эти циклы образовывали положительно ориентированную пару ( $\lambda, \varkappa$ ), не являющуюся однако базисом, поскольку рассматриваемые циклы имеют две точки пересечения. Теперь, имея пару фиксированных ориентированных циклов, мы можем определить еще один цикл $\mu$, дополняющий $\lambda$ до базиса и являющийся поэтому сечением расслоения Зейферта на рассматриваемом торе. Мы определим его однозначно из соотношения (рис. 4.4)
\[
\lambda=\varkappa-2 \mu .
\]

Вернемся теперь к 3-атому $U(L)$ в целом. Удалим из него трубчатые окрестности особых слоев. В результате мы получим некоторое новое многообразие со структурой тривиального $S^{1}$-расслоения, край которого увеличился на несколько новых торов. На каждом из этих торов мы однозначно определили цикл $\mu$. Рассмотрим теперь сечения $\dot{P}$ этого тривиального расслоения, высекающие на новых торах циклы $\mu$. Этим условием мы закрепили сечение вблизи особого слоя. Вдали от особого слоя оно может быть совершенно произвольным. Такие сечения $\dot{P}$ мы будем называть допустимыми. Теперь, как и в случае 2 , в качестве циклов $\mu_{i}$ на торах $T_{i}$ мы возьмем циклы, высекаемые построенным сечением. Две допустимые системы координат, отвечающие различным се-

Рис. 4.4 чениям, будут связаны в точности теми же соотношениями, что и в случае 2 . Отметим, что с топологической точки зрения поверхность $\dot{P}$ представляет собой базу расслоения Зейферта, из которой удалены малые окрестности особых точек.

Для дальнейшего нам потребуется другой способ описания допустимой системы координат на граничных торах седловых 3 -атомов из случая 3 , т. е. с неориентируемыми сепаратрисными диаграммами. Идея состоит в следующем. Оказывается, можно очень естественным способом построить циклы допустимой системы координат, используя для этого дубль $\widehat{P}$ базы расслоения Зейферта (см. выше). Мы будем пользоваться тем, что расслоение Зейферта в случае 3 обладает «удвоенным» сечением, то есть в него можно вложить поверхность $\widehat{P}$ так, что любой неособый слой расслоения Зейферта пересекает $\widehat{P}$ ровно в двух точках, а особый слой – в одной. Такое вложение определяет естественную инволюцию $\tau: \widehat{P} \rightarrow \widehat{P}$ такую, что база $P$ слоения Зейферта является фактор-пространством $P=\widehat{P} / \tau$. См. рис. $4.5(\mathrm{a}, \mathrm{b})$. В реальных примерах такое сечение часто можно построить явно.

Рассмотрим вложенный дубль $\widehat{P} \subset U(L)$ и его границу $\partial \widehat{P}=\widehat{P} \cap \partial U(L)$. Пусть $\widehat{\mu}_{i}=\widehat{P} \cap T_{i}$ – часть границы $\partial \widehat{P}$, лежащая на торе $T_{i} \subset \partial U(L)$.

Возможны два случая. Первая возможность состоит в том, что $\widehat{\mu}_{i}$ представляет собой объединение двух отдельных циклов, каждый из которых пересекается со слоем $\lambda_{i}$ расслоения Зейферта в одной точке и, следовательно, является

сечением расслоения Зейферта на граничном торе $T_{i}$. Во втором случае $\widehat{\mu}_{i}$ является связным циклом, имеющим индекс пересечения 2 со слоем $\lambda$.
Рис. 4.5
Попытаемся построить из циклов $\widehat{\mu}_{i}$ нужные нам циклы $\mu_{i}$ допустимой системы координат. Можно поступить, например, следующим образом. В первом случае в качестве цикла $\mu_{i}$ просто взять одну из связных компонент $\widehat{\mu}_{i}$, а во втором положить $\mu_{i}=\frac{1}{2}\left(\widehat{\mu}_{i}+\lambda_{i}\right)$. Локально на каждом граничном торе построенные циклы $\mu_{i}$ будут полностью удовлетворять требуемым свойствам, т.е. будут настоящими сечениями расслоения Зейферта на каждом из граничных торов. Однако, в целом эта конструкция может отличаться от описанного выше способа построения допустимой системы координат. Чтобы оба способа построения циклов $\mu_{i}$ были эквивалентны между собой, один из этих циклов нужно подправить, добавив к нему цикл кратный слою $\lambda$. При этом кратность должна выбираться так, чтобы выполнялось следующее соотношение:
\[
\sum_{i} \mu_{i}=\frac{1}{2}\left(\sum_{i} \widehat{\mu}_{i}+s \lambda\right)=\frac{\partial \widehat{P}+s \lambda}{2},
\]

где $s$ – число критических окружностей в $U(L)$ с неориентируемыми сепаратрисными диаграммами.
КоммЕНТАРиЙ Это соотношение имеет естественный гомологический смысл, который заключается в следующем. Удалим из $U(L)$ малые окрестности особых слоев и рассмотрим в получившемся трехмерном многообразии $\dot{U}(L)$ две вложенные поверхности $\dot{P}$ и $\widehat{P}$, где $\dot{P}-$ настоящее сечение расслоения Зейферта, которое мы использовали при первом способе построения допустимой системы координат, а $\widehat{P}-$ вложенный дубль. Напомним, что $\mu_{i}=\ddot{P} \cap T_{i}$ и $\widehat{\mu}_{i}=\widehat{P} \cap T_{i}$.

Характер поведения поверхностей $\dot{P}$ и $\widehat{P}$ вблизи особого слоя описывается использованным выше соотношением $\lambda=\varkappa-2 \mu$, где $\mu$ – цикл, высекаемый поверхностью $\dot{P}, \varkappa$ – цикл, высекаемый поверхностью $\widehat{P}$. Учитывая это равенство, легко увидеть, что обсуждаемое соотношение эквивалентно следующему:
\[
\partial \dot{P}=\frac{1}{2} \partial \widehat{P} .
\]

С топологической точки зрения это соотношение, в частности, означает, что индекс пересечения $\partial \dot{P}$ и $\partial \widehat{P}$ на границе $\partial \dot{U}(L)$ равен нулю. Это условие должно, разумеется, выполняться (см. ниже рис. 4.6 и комментарий к нему).

Перейдем теперь к следующему вопросу. Как связаны друг с другом различные допустимые системы координат? Следующая лемма дает ответ. Она справедлива как для случая 2 , так и для случая 3 .
Лемма 4.3. Пусть $\left(\lambda_{i}, \mu_{i}\right)$ – допустимая система координат на граничных торах $T_{i}$ седлового атома с ориентируемыми или неориентируемыми сепаратрисными диаграммами критических окружностей. Для того, чтобы другая система координат $\left(\lambda_{i}^{\prime}, \mu_{i}^{\prime}\right)$ на этих же торах была допустимой, необходимо и достаточно, чтобы для всех $і$ выполнялись соотношения:
\[
\left\{\begin{array}{l}
\lambda_{i}^{\prime}=\lambda_{i}, \\
\mu_{i}^{\prime}=\mu_{i}+k_{i} \lambda_{i},
\end{array}\right.
\]

где $k_{i}$ – целые числа такие, что $\sum_{i} k_{i}=0$.
Доказательство.
Пусть даны две допустимые системы координат. Докажем, что они удовлетворяют указанным соотношениям. Первое равенство очевидно, поскольку $\lambda_{i}-$ однозначно определенный на 3 -атоме слой расслоения Зейферта. Соотношение $\mu_{i}^{\prime}=\mu_{i}+k_{i} \lambda_{i}$ тоже очевидно, и в доказательстве нуждается лишь равенство: $\sum_{i} k_{i}=0$. Рассмотрим два произвольных допустимых сечения 3 -атома $P$ и $P^{\prime}$. Напомним, что для атома без звездочек любое сечение является допустимым, а для атомов со звездочками определение допустимого сечения было дано выше. Оба сечения высекают на границе 3 -атома два набора циклов: $\left\{\mu_{i}\right\}$ и $\left\{\mu_{i}^{\prime}\right\}$, дополняющих циклы $\left\{\lambda_{i}\right\}$ и $\left\{\lambda_{i}^{\prime}\right\}$ (соответственно) до допустимых систем координат на граничных торах. Целые числа $k_{i}$ можно теперь интерпретировать как индексы пересечения циклов $\mu_{i}$ и $\mu_{i}^{\prime}$, а их сумму $\sum_{i} k_{i}$ – как общий индекс пересечения границ двух площадок $P$ и $P^{\prime}$. Напомним, что в атомах со звездочками мы удалили трубчатые окрестности особых слоев, на границах которых две площадки $P$ и $P^{\prime}$ совпадают с

Рис. 4.6 точностью до изотопии. Это означает, что такие торы не дают никакого вклада в общий индекс пересечения границ двух площадок. Напомним теперь следующий факт из трехмерной топологии.

Пусть две ориентируемые поверхности $P$ и $P^{\prime}$ лежат внутри ориентируемого 3 -многообразия $U$ с краем $\partial U$, причем $\partial P$ и $\partial P^{\prime}$ лежат в $\partial U$ и являются двумя гладкими кривыми. Тогда индекс пересечения этих кривых $\partial P$ и $\partial P^{\prime}$ всегда равен нулю. См. рис. 4.6.

Применяя эту лемму в нашем случае, мы сразу получаем, что $\sum_{i} k_{i}$ равна нулю, поскольку она является индексом пересечения $\partial P$ и $\partial P^{\prime}$.

Докажем теперь обратное. Пусть дана какая-то допустимая система координат $\left(\lambda_{i}, \mu_{i}\right)$ и система циклов $\left(\lambda_{i}^{\prime}, \mu_{i}^{\prime}\right)$, задаваемая при помощи формул (1). Докажем, что эти циклы образуют допустимую систему координат. Достаточно показать, что существует допустимое сечение $P^{\prime}$, высекающее на границе 3 -атома циклы $\left\{\mu_{i}^{\prime}\right\}$.

Мы построим искомое сечение $P^{\prime}$ из данного нам сечения $P$ путем последовательных шагов, применяя однотипные операции скручивания. Возьмем два разных граничных тора $T_{i}$ и $T_{j}$ и соединим их внутри 3 -атома простой дугой $a$, целиком лежащей на сечении $P$ (рис. 4.7(а)). Пусть
\[
\pi: U(L) \rightarrow P
\]
– проекция расслоения Зейферта. Рассмотрим полный прообраз $\pi^{-1}(a)$ дуги $a$. Это – некоторое кольцо в $U(L)$, пересекающее сечение $P$ по дуге $a$. Разрежем $U(L)$ вдоль кольца $\pi^{-1}(a)$ и скрутим один из берегов разреза на $2 \pi$, после чего снова подклеим к другому берегу разреза (рис. 4.7(b)). Мы получим послойный гомеоморфизм 3 -многообразия $U(L)$ на себя, переводящий допустимое сечение $P$ в некоторое другое допустимое сечение $P^{\prime}$. Результат показан на рис. 4.7(c). Для этих двух сечений число $k_{i}$ равно 1 , число $k_{j}$ равно -1 , а все остальные $k_{s}$ равны нулю. Ясно, что такими операциями можно реализовать любой набор чисел $\left\{k_{i}\right\}$ с нулевой суммой. Лемма 4.3 доказана.
Рис. 4.7
Подчеркнем еще раз принципиально важный момент: все допустимые системы координат на граничных торах совершенно равноправны и, наоборот, все другие, не являющиеся допустимыми, системы координат им неэквивалентны. Говоря здесь о равноправии или эквивалентности систем, мы имеем в виду су-

ществование диффеоморфизма 3-атома на себя, сохраняющего структуру слоения Лиувилля, ориентацию самого атома и ориентацию критических окружностей, в нем содержащихся.

Лемма 4.4.
a) Любые две допустимые системы координат $\left(\lambda_{i}, \mu_{i}\right)$ и $\left(\lambda_{i}^{\prime}, \mu_{i}^{\prime}\right)$ на границе седлового атома $U(L)$ могут быть совмещены посредством подходящего диффеоморфизма атома $U(L)$ на себя, сохраняющего структуру слоения Лиувилля.
б) Обратно, любой диффеоморфизм атома $U(L)$ на себя, сохраняющий слоение Лиувилля, переводит допустимую систему координат $\left(\lambda_{i}, \mu_{i}\right)$ в другую допустимую систему координат $\left(\lambda_{i}^{\prime}, \mu_{i}^{\prime}\right)$.

Доказательство.
Лемма вытекает из того факта, что любой автоморфизм седлового атома на себя, сохраняющий слоение Лиувилля, порождается последовательностью описанных выше скручиваний. Другими словами, автоморфизм атома однозначно, с точностью до изотопии, задается образом допустимого сечения $P$. Лемма доказана.