Рассмотрим пространство всех гладких функций на гладком многообразии. Вопрос: как устроены типичные функции, функции общего положения? Чем они отличаются от экзотических функций? Ясно, что во многом свойства функции определяются характером ее особенностей, т.е. тех точек, в которых ее дифференциал равен нулю. Поэтому вопрос о типичности можно свести к вопросу как устроены функции с типичными особенностями?
Рассмотрим гладкую функцию $f(x)$ на гладком многообразии $X^{n}$ и пусть $x_{1}, \ldots, x_{n}$ – гладкие регулярные координаты в окрестности точки $x$. Точка $x$ называется критической для функции $f$, если дифференциал
\[
d f=\sum \frac{\partial f}{\partial x_{i}} d x_{i}
\]
обращается в ноль в точке $x$. Это эквивалентно условию обращения в ноль всех частных производных функции в данной точке. Критическая точка называется невырожденной, если второй дифференциал
\[
d^{2} f=\sum \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} d x_{i} d x_{j}
\]
невырожден в этой точке. Это эквивалентно условию, что матрица вторых частных производных имеет определитель, отличный от нуля.
Согласно известной лемме Морса [129], в окрестности каждой невырожденной критической точки всегда можно выбрать такие локальные координаты, в которых функция запишется в виде квадратичной формы:
\[
f(x)=-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\ldots-x_{\lambda}^{2}+x_{\lambda+1}^{2}+\ldots+x_{n}^{2} .
\]
Для каждой невырожденной критической точки число $\lambda$ определено однозначно и называется ее индексом. На рис. 2.1 показаны три возможных типа невырожденных критических точек для функции на двумерной поверхности: минимум, максимум, седло. Здесь же нарисованы линии уровня функции в окрестности каждой из этих особенностей. В подходящих координатах функция записывается так:
1) $f=-x^{2}-y^{2}$ (максимум, индекс $\lambda$ равен двум),
2) $f=x^{2}+y^{2}$ (минимум, индекс $\lambda$ равен нулю),
3) $f=-x^{2}+y^{2}$ (седло, индекс $\lambda$ равен единице).
Определение 2.1. Гладкая функция называется функцией Морса, если все ее критические точки невырождены.
Имеет место важная теорема: функции Морса всюду плотны в пространстве всех гладких функций на гладком многообразии [129]. Другими словами, любую гладкую функцию сколь угодно малым шевелением можно превратить в функцию Морса. При этом сложные, вырожденные критические точки рассыпаются в объединение некоторого числа морсовских, т.е. невырожденных особенностей.
Далее известно, что если $X^{n}$ – компактное замкнутое многообразие, то функции Морса образуют открытое всюду плотное в $C^{2}$-топологии подмножество в пространстве гладких функций на $X$.
Рис. 2.2
В дальнейшем через $f^{-1}(r)$ будем обозначать полный прообраз значения $r$ функции $f$. Через $a$ будем обозначать регулярные значения функции, т. е. такие значения, в прообразе которых нет ни одной критической точки. В этом случае $f^{-1}(a)$ всегда является гладким подмногообразием в $X^{n}$ в силу известной теоремы о неявной функции.
Через $c$ будем обозначать критические значения функции, т. е. такие, в прообразе которых есть хотя бы одна критическая точка.
Далее, сколь угодно малым шевелением функции Морса можно добиться, чтобы на каждом критическом уровне $c$, – т.е. на множестве точек $x$, для которых $f(x)=c$, 一 лежала ровно одна критическая точка. Другими словами, критические точки, попавшие на один уровень, можно развести на близкие уровни (рис. 2.2). Функции Морса, имеющие ровно по одной критической точке на каждом критическом уровне, мы будем называть простыми.
