Мы будем рассматривать гладкие динамические системы и следующие шесть типов их эквивалентности:

1) Топологическая сопряженность динамических систем.
2) Гладкая сопряженность динамических систем.
3) Траекторная топологическая эквивалентность динамических систем.
4) Траекторная гладкая эквивалентность динамических систем.
5) Лиувиллева эквивалентность интегрируемых гамильтоновых систем.
6) Грубая лиувиллева эквивалентность интегрируемых гамильтоновых систем.

Определение 1.27. Две гладкие динамические системы $v_{1}$ и $v_{2}$ на гладких многообразиях $Q_{1}$ и $Q_{2}$ называются топологически сопряженными (соотв. гладко сопряженными), если существует гомеоморфизм (соотв. диффеоморфизм) $\tau: Q_{1} \rightarrow Q_{2}$, переводящий поток $\sigma_{1}^{t}$ (отвечающий системе $v_{1}$ ) в поток $\sigma_{2}^{t}$ (отвечающий системе $v_{2}$ ), т. е. $\sigma_{2}^{t}=\tau \circ \sigma_{1}^{t} \circ \tau^{-1}$.

Для гладких систем их гладкая сопряженность означает, что существует диффеоморфизм $\tau$, переводящий $v_{1}$ в $v_{2}$, т.е. $d \tau\left(v_{1}\right)=v_{2}$. Другими словами, гладко сопряженные системы получаются друг из друга регулярной заменой координат. Поэтому сопряженность – самое сильное отношение эквивалентности на множестве динамических систем, означающее по существу изоморфизм. Фактически, с точки зрения обыкновенных дифференциальных уравнений сопряженные системы представляют одно и то же уравнение, записанное в разных координатах.

Определение 1.28. Пусть $v_{1}$ и $v_{2}$ – две гладкие динамические системы на многообразиях $Q_{1}$ и $Q_{2}$. Они называются топологически (гладко) траекторно эквивалентными, если существует гомеоморфизм (диффеоморфизм) $\xi: Q_{1} \rightarrow Q_{2}$, переводящий ориентированные траектории первой системы в ориентированные траектории второй системы.

При этом не требуется сохранения параметра (времени) на траекториях. Другими словами, траектория рассматривается здесь как кривая без параметризации (но с направлением, задаваемым потоком).

Прокомментируем это определение. Рассмотрим две системы дифференциальных уравнений $\frac{d x}{d t}=f(x)$ и $\frac{d y}{d t}=g(y)$. Что означает их (гладкая) траекторная эквивалентность? Это означает, что найдется регулярная замена переменных и времени
\[
x=x(y), \quad d t=\lambda(y) d \tau \quad(\text { здесь } \lambda(y)>0),
\]

которая переводит первое уравнение во второе.
Пусть $M^{4}$ – гладкое симплектическое многообразие, на котором задана интегрируемая гамильтонова система $v=\operatorname{sgrad} H$ с первым интегралом $f$. В этом случае на многообразии М возникает структура слоения Лиувилля. Напомним, что его слоями по определению являются связные компоненты совместных поверхностей уровня гамильтониана $H$ и интеграла $f$. Мы будем предполагать, что они компактны. В частности, все регулярные слои представляют собой двумерные торы Лиувилля.

Фиксировав значение гамильтониана, мы получаем также слоение Лиувилля на фиксированной изоэнергетической 3 -поверхности $Q^{3}=\{H=h\}$. Мы будем предполагать здесь, что $Q^{3}=Q_{h}^{3}$ является гладким компактным многообразием.

Определение 1.29. Две интегрируемые гамильтоновы системы $v_{1}$ и $v_{2}$ на $M_{1}^{4}$ и $M_{2}^{4}$ (соответственно, на $Q_{1}^{3}$ и $Q_{2}^{3}$ ) называются лиувиллево эквивалентными, если существует диффеоморфизм $M_{1}^{4}$ на $M_{2}^{4}$ (соответственно, $Q_{1}^{3}$ на $Q_{2}^{3}$ ), переводящий слоение Лиувилля первой системы в слоение Лиувилля второй системы.

Другими словами, системы лиувиллево эквивалентны, если они имеют одинаковые слоения Лиувилля.

Определение 1.30. Пусть $v$ – интегрируемая по Лиувиллю гамильтонова система на $M^{4}$. Рассмотрим соответствующее ей слоение Лиувилля на $M^{4}$. Базой слоения Лиувилля называется пространство его слоев с обычной фактор-топологией, т.е. топологическое пространство, точками которого объявляются слои слоения Лиувилля (каждый слой заменяется точкой).

Аналогично определяется база слоения Лиувилля на $Q^{3}$.
В типичных случаях база слоения Лиувилля является не только хаусдорфовым пространством, но даже клеточным комплексом.

Определение 1.31. Две интегрируемые гамильтоновы системы $v_{1}$ и $v_{2}$ называются грубо лиувилево эквивалентными, если существует гомеоморфизм между базами соответствующих слоений Лиувилля, который локально (т.е. в окрестности каждой точки базы) поднимается до послойного гомеоморфизма слоений Лиувилля.

Это определение имеет смысл как для гамильтоновых систем, заданных на симплектических многообразиях $M_{1}^{4}$ и $M_{2}^{4}$ в целом, так и для их ограничений на изоэнергетические 3-поверхностях $Q_{1}^{3}$ и $Q_{2}^{3}$.

Ясно, что лиувиллево эквивалентные системы являются грубо лиувиллево эквивалентными (но не наоборот).

Базой слоения Лиувилля на $Q_{h}^{3}$ является некоторый одномерный граф $W_{h}$. В этом случае можно описать грубую лиувиллеву эквивалентность по-другому. Введем операцию скручивания слоения Лиувилля на $Q^{3}$. Разрежем $Q^{3}$ вдоль какого-то регулярного тора Лиувилля, в результате чего получим 3 -многообразие с краем. Край состоит из двух торов. Склеим их обратно, применив, однако, для этого произвольный диффеоморфизм торов. Получим, вообще говоря, новое 3 -многообразие со структурой Лиувиллева слоения. Скажем, что оно получено скручиванием $Q^{3}$ вдоль тора Лиувилля. Две интегрируемые системы будут грубо лиувиллево эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие им слоения Лиувилля получаются друг из друга в результате нескольких скручиваний.

Два последних определения, конечно, имеют смысл и для многомерных интегрируемых систем. Лиувиллеву эквивалентность интегрируемых систем можно рассматривать также и для любых инвариантных подмножеств (относительно пуассонова действия $R^{n}$ ). Например, в окрестности особого слоя слоения Лиувилля.

Отметим, что две интегрируемые системы с одинаковым числом степеней свободы в окрестности любых своих компактных неособых слоев (т.е. торов Лиувилля) всегда лиувиллево эквивалентны. Это сразу вытекает из теоремы Лиувилля.