Рассмотрим два достаточно простых трехмерных многообразия с краем: $A^{3}$ и $B^{3}$. Они описываются следующим образом.

Многообразие $A^{3}$. Оно диффеоморфно прямому произведению 2-диска на окружность, т.е. $A^{3}=D^{2} \times S^{1}$ (рис. 4.17). Край многообразия диффеоморфен 2-тору $T^{2}$.

Многообразие $B^{3}$. Оно диффеоморфно прямому произведению диска $N^{2}$ с двумя дырками на окружность, т.е. $B^{3}=N^{2} \times S^{1}$. Его край состоит из трех торов (рис. 4.17).

Определение 4.9. Обозначим через $(Q)$ класс всех ориентируемых замкнутых компактных 3-многообразий, представимых в виде
\[
Q^{3}=a A^{3}+b B^{3},
\]

где $a$ и $b$ — целые неотрицательные числа, знак + обознячает склейку многообразий по диффеоморфизмам граничных торов.

Другими словами, $Q^{3}$ получается как результат склейки $a$ экземпляров многообразия $A^{3}$ с $b$ экземплярами многообразия $B^{3}$ по некоторым отождествлениям их граничных торов (так, чтобы в результате получилось многообразие без границы).
Рис. 4.17
Ясно, что числа $a$ и $b$ не могут быть произвольными, между ними должно быть простое соотношение:
\[
a+3 b=\text { четное число. }
\]

Дело в том, что общее число граничных торов должно быть четным. Это условие необходимо и достаточно, чтобы получилось замкнутое 3 -многообразие (т.е. без края).